第11讲 对数（3大知识点+9大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第11讲 对数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、对数概念 3 知识点二、对数的运算法则 3 知识点三、对数公式 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：对数基本定义 5 题型 2：指数对数式互化应用 6 题型 3：对数恒等式化简求值 8 题型 4：对数运算性质应用 9 题型 5：对数方程求解 10 题型 6：对数运算实际应用 12 题型 7：换底公式应用 14 题型 8：已知对数式求值 16 题型 9：对数恒等式证明 17 04 过关测试 21 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 题型 1：对数基本定义 例1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 例2．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 例3．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 变式1．在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 变式2．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 题型 2：指数对数式互化应用 例4．求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【解析】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 例5．将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 例6．把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【解析】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. 变式3．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 变式4．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 题型 3：对数恒等式化简求值 例7．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【解析】. 故选：D 例8．（2026·高一·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 故选：A. 例9．（2026·高一·江苏宿迁·期中）计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：. 故选：B. 变式5．（2026·高一·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】， ， ， 所以. 变式6．化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 【答案】B 【解析】由题意可得： . 故选：B. 题型 4：对数运算性质应用 例10．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【解析】（1） （2） （3） 例11．（2026·高一·新疆和田·阶段检测）计算： (1) (2)； 【解析】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 例12．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）________． 【答案】 【解析】原式. 变式7．（2026·高一·浙江·期中）求值：__________. 【答案】 【解析】原式. 变式8．（2026·高一·天津河北·开学考试）___________． 【答案】 【解析】 题型 5：对数方程求解 例13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【答案】16 【解析】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 例14．（2026·高一·上海宝山·期末）方程的实数解为____________． 【答案】 【解析】令，由指数函数的性质可知，原方程可变形为： ， 对一元二次方程因式分解得，解得或. 由于，故舍去，即. 根据对数的定义，可得. 例15．（2026·高一·云南·开学考试）已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 变式9．（2026·高一·湖南长沙·期中）方程的正实数解为______． 【答案】 【解析】令，两边同时取对数得 ， 所以，所以. 所以对于有. 化简得. 因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 所以，解得. 故答案为：. 变式10．（2026·高三·上海·阶段检测）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根；乙写错了常数，得两根．则这个方程两个真实根的差值的绝对值为______． 【答案】 【解析】由得：，且， 且， 令，则且； 甲写错了常数，； 乙写错了常数，，解得：； ，解得：，，. 故答案为：. 变式11．已知是方程的两个实数根，则的值等于____________． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以． 题型 6：对数运算实际应用 例16．（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 例17．（2026·高一·贵州遵义·期末）“学如逆水行舟，不进则退，心似平原走马，易放难收”（明．《增广贤文》）是勉励人们专心学习的。如果每天的进步率都是，那么一年后是；如果每天的退步率都是，那么一年后是，那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的3倍，请选出最接近的一项． （） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【解析】假设经过天，“进步”是“退步”的3倍，列方程得， 即，解得． 例18．（2026·高一·湖南长沙·期末）科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 【答案】B 【解析】第代种子的数量为， 由题意得，得，即. 因为， 故种子数量首次超过100万粒的是第7代种子. 故选：B. 变式12．（2026·高一·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【解析】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 变式13．（2026·高一·江苏宿迁·期末）一般地，海面上的大气压强是，高空中因空气稀薄，大气压强就小于，高度越高，大气压强就越低，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为，其中是自然对数的底数，是常数.根据实验，已知高空处的大气压强是.如果高空中某点的大气压强是，那么该处的高度约是（参考数值：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由高空处的大气压强是，可得：， 由高空中某点的大气压强是，可得：， 则， 两边取对数得：， 故该处的高度约是， 故选：C 题型 7：换底公式应用 例19．（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知，则______. 【答案】/ 【解析】由，可得，， 则. 例20．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知，则的值为__________. 【答案】1 【解析】已知，则有， 所以，得. 故答案为：1 例21．（2026·高一·河南南阳·期末）若，则______． 【答案】 【解析】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 变式14．（2026·高一·山东青岛·期末）已知，，，则______． 【答案】8 【解析】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 变式15．（2026·高一·上海·期中）已知实数，且，则________． 【答案】16 【解析】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 题型 8：已知对数式求值 例22．（2026·高一·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 例23．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，∴ . 故选：B. 例24．（2026·高一·陕西汉中·期末）已知，则用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, 故选：A. 变式16．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 变式17．（2026·高一·天津·阶段检测），，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，则. 故选：B 变式18．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 则 故选 ：D 题型 9：对数恒等式证明 例25．（2026·高一·陕西安康·期末）某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量． (1)若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值； (2)已知径流量，证明：． 【解析】（1）当时，，扩大，即， 因此，即，则，所以 （2）当时，， 而， 又 , 所以，即原等式成立. 例26．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【解析】（1）由①知：， 将③代入上式，有，得证. （2）由题设，，， 所以. 例27．设，，，，，证明：，. 【解析】设 ， 因为，所以, 由对数的定义得到， 所以； 因为，所以，即 变式19．（2026·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：. 理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式：__. （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 【解析】（1）将指数转化为对数式：. 故答案为：. （2）证明：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得，又因 ， 所以； （3） 故答案为：2. 1．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得．因为， 所以， 得． 2．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 则， 所以. 3．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 4．（2026·高一·河南·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 5．（2026·高一·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【解析】因为， 所以，即，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 6．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 7．（2026·高一·浙江金华·期末）对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【解析】当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 此时； 取，则有， 则的值为. 故选：B 8．（2026·高一·云南普洱·期末）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（    ） A．10 B．34 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 则 ， 所以，即最接近. 故选：C. 9．（多选题）（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 10．（多选题）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】A，，故A错误； B，，故B正确； C，，故C正确； D，，所以，故D正确. 12．（多选题）（2026·高一·广东揭阳·开学考试）下列运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，即，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 13．（2026·高一·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【解析】. 14．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 15．（2026·高一·天津·期末）___________． 【答案】/ 【解析】 . 故答案为：. 16．（2026·高一·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 又， 所以. 17．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）______． 【答案】 【解析】原式化为 . 18．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知为正数，且，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】因为，所以， 则 设，则且关于的一元二次方程有实根， ，即， 则或，即或， 故的取值范围是 19．（2026·高一·山东·阶段检测）（1）求值. （2）已知，证明：. 【解析】（1）原式. （2）证明：因为， 所以. 20．（1）求的值； （2）设，用表示. 【解析】（1）； （2）因为， 所以 . 21．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）（1）计算：． （2）计算：． （3）已知 ，求的值． 【解析】（1）； （2） ； （3）已知，则，解得， ，则， ． 22．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1） （2） . 23．（2026·高一·安徽·期末）计算： (1)； (2). 【解析】（1） （2） . 24．（2026·高一·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）. （2） （3） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 对数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、对数概念 3 知识点二、对数的运算法则 3 知识点三、对数公式 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：对数基本定义 5 题型 2：指数对数式互化应用 5 题型 3：对数恒等式化简求值 7 题型 4：对数运算性质应用 7 题型 5：对数方程求解 8 题型 6：对数运算实际应用 8 题型 7：换底公式应用 9 题型 8：已知对数式求值 9 题型 9：对数恒等式证明 10 04 过关测试 12 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 题型 1：对数基本定义 例1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1．在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式2．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型 2：指数对数式互化应用 例4．求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 例5．将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 例6．把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 变式3．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 3：对数恒等式化简求值 例7．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 例8．（2026·高一·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 例9．（2026·高一·江苏宿迁·期中）计算（   ） A． B．7 C． D． 变式5．（2026·高一·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 变式6．化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 题型 4：对数运算性质应用 例10．计算下列各题： (1)； (2). (3). 例11．（2026·高一·新疆和田·阶段检测）计算： (1) (2)； 例12．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）________． 变式7．（2026·高一·浙江·期中）求值：__________. 变式8．（2026·高一·天津河北·开学考试）___________． 题型 5：对数方程求解 例13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 例14．（2026·高一·上海宝山·期末）方程的实数解为____________． 例15．（2026·高一·云南·开学考试）已知a，b为方程的两个根，则______． 变式9．（2026·高一·湖南长沙·期中）方程的正实数解为______． 变式10．（2026·高三·上海·阶段检测）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根；乙写错了常数，得两根．则这个方程两个真实根的差值的绝对值为______． 变式11．已知是方程的两个实数根，则的值等于____________． 题型 6：对数运算实际应用 例16．（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 例17．（2026·高一·贵州遵义·期末）“学如逆水行舟，不进则退，心似平原走马，易放难收”（明．《增广贤文》）是勉励人们专心学习的。如果每天的进步率都是，那么一年后是；如果每天的退步率都是，那么一年后是，那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的3倍，请选出最接近的一项． （） A．20 B．24 C．28 D．32 例18．（2026·高一·湖南长沙·期末）科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 变式12．（2026·高一·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 变式13．（2026·高一·江苏宿迁·期末）一般地，海面上的大气压强是，高空中因空气稀薄，大气压强就小于，高度越高，大气压强就越低，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为，其中是自然对数的底数，是常数.根据实验，已知高空处的大气压强是.如果高空中某点的大气压强是，那么该处的高度约是（参考数值：，）（   ） A． B． C． D． 题型 7：换底公式应用 例19．（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知，则______. 例20．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知，则的值为__________. 例21．（2026·高一·河南南阳·期末）若，则______． 变式14．（2026·高一·山东青岛·期末）已知，，，则______． 变式15．（2026·高一·上海·期中）已知实数，且，则________． 题型 8：已知对数式求值 例22．（2026·高一·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 例23．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 例24．（2026·高一·陕西汉中·期末）已知，则用表示为（   ） A． B． C． D． 变式16．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高一·天津·阶段检测），，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（    ） A． B． C． D． 题型 9：对数恒等式证明 例25．（2026·高一·陕西安康·期末）某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量． (1)若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值； (2)已知径流量，证明：． 例26．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 例27．设，，，，，证明：，. 变式19．（2026·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：. 理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式：__. （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 1．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·高一·河南·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 5．（2026·高一·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 6．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·浙江金华·期末）对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 8．（2026·高一·云南普洱·期末）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（    ） A．10 B．34 C． D． 9．（多选题）（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 10．（多选题）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 12．（多选题）（2026·高一·广东揭阳·开学考试）下列运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 13．（2026·高一·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 14．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 15．（2026·高一·天津·期末）___________． 16．（2026·高一·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 17．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）______． 18．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知为正数，且，则的取值范围是___________ 19．（2026·高一·山东·阶段检测）（1）求值. （2）已知，证明：. 20．（1）求的值； （2）设，用表示. 21．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）（1）计算：． （2）计算：． （3）已知 ，求的值． 22．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)； (2). 23．（2026·高一·安徽·期末）计算： (1)； (2). 24．（2026·高一·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $