第7讲：指数【五大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

第7讲：指数 题型一：利用根式的性质化简或求值 2 题型二：指数和指数幂的运算 3 题型三：根式与分数指数幂的互化 5 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 6 题型五：分数指数幂运算的综合应用 8 知识点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 题型一：利用根式的性质化简或求值 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）. （2），因为，所以，所以. （3）. 【变式1】．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【详解】（1）. （2） （3）， . （4）原式. 当时，原式； 当时，原式． 题型二：指数和指数幂的运算 【例2】．（26-27高一上·全国·课后作业）化简与计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)17 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）因为，故原式. （3）. 题型三：根式与分数指数幂的互化 【例3】．（26-27高一上·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式. 【变式1】．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 【变式2】．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 【例4】．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【答案】， 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 【变式2】．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 题型五：分数指数幂运算的综合应用 【例5】．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】 （1）； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 【变式2】．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）；         （2）原式； （3）因为，所以，. 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 3．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 4．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 5．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 6．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 7（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：BC. 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由；；； ，显然ABC不正确. 故选：ABC 11．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 13．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________． 【答案】 【详解】因为且，若，则，矛盾，所以． 令则所以． 又因此 14．（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【答案】②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 15．（2025高一上·河南安阳·专题练习）化简的结果为____________ 【答案】1 【详解】由 . 故答案为：1 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式； （2）原式 . 17．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 18．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）； （2）； （3）， ，则， . 19．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲：指数 题型一：利用根式的性质化简或求值 2 题型二：指数和指数幂的运算 3 题型三：根式与分数指数幂的互化 4 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 4 题型五：分数指数幂运算的综合应用 5 知识点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 题型一：利用根式的性质化简或求值 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【变式1】．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型二：指数和指数幂的运算 【例2】．（26-27高一上·全国·课后作业）化简与计算： (1)； (2)； (3). 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 题型三：根式与分数指数幂的互化 【例3】．（26-27高一上·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2】．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 【例4】．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式2】．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 题型五：分数指数幂运算的综合应用 【例5】．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【变式2】．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 7（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 13．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 15．（2025高一上·河南安阳·专题练习）化简的结果为____________ 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）化简求值： (1)； (2). 17．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 18．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 19．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $