第4讲：全称量词命题与存在量词命题【七大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

**基本信息** 聚焦全称与存在量词命题，以“概念-否定-应用”为主线，通过7类题型系统构建从识别到参数求解的方法体系，培养符号化表达与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念判断|1例2变式|量词识别法（显性/隐性量词）|从具体语句抽象量词类型，建立命题分类标准| |符号改写|1例2变式|符号化表达规则（∀/∃+集合+性质）|实现自然语言到数学符号的转化，发展数学语言| |命题否定|1例2变式|量词互换+结论否定（双重否定法则）|基于逻辑关系推导否定形式，强化数学思维| |参数求解|2例4变式|真假转化求范围（恒成立/能成立问题）|结合函数不等式，体现数学应用意识| |综合应用|1例2变式|多命题关系判断（必要不充分等条件）|整合概念与逻辑，提升综合解题能力|

第4讲：全称量词命题与存在量词命题 题型一：含全称量词和存在量词命题的判断 2 题型二：全称量词或存在量词改写命题 2 题型三：含量词的命题的否定问题 3 题型四：根据全称命题的真假求参数问题 3 题型五：根据存在量词命题的真假求参数问题 4 题型六：含一个量词命题否定的应用 4 题型七：全称量词与存在量词的综合问题 4 考点一：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 考点二：含量词的命题的否定 p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一：含全称量词和存在量词命题的判断 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 【变式1】．（25-26高一上·湖南·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【变式2】．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 题型二：全称量词或存在量词改写命题 【例2】．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【变式1】．（22-23九年级·全国·随堂练习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 题型三：含量词的命题的否定问题 【例3】．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．（2026·重庆渝中·三模）命题 “ ” 的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·北京朝阳·期中）命题“，使得”的否定为（    ） A．， B．，都有 C．， D．，都有 题型四：根据全称命题的真假求参数问题 【例4】．（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据存在量词命题的真假求参数问题 【例5】．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·福建·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：含一个量词命题否定的应用 【例6】．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【变式1】．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【变式2】．（25-26高一上·河北·阶段检测）若命题“任意”为假命题，则实数a的取值范围是________． 题型七：全称量词与存在量词的综合问题 【例7】．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【变式1】．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【变式2】．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题：，，命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 5．（25-26高一上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D．“任意”的否定形式是“存在，使得” 6．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知：，，：，，若和均为假命题，则实数的取范围为（   ） A． B． C． D．或 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课后作业）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 9．（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 10．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则实数的值为1或2 B．命题“，”的否定是“，” C．命题“，”是真命题 D．若集合只有一个元素，则实数的值为1 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）下列说法中正确的有（    ） A．若集合中只有一个元素，则 B．已知，则“”是“”的必要不充分条件 C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” D．是假命题 三、填空题 12．（25-26高二下·河北承德·期末）命题“，”的否定是________． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 14．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 …… 根据以上事实写出含有量词的全称量词命题为_______________________ 三、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 17．（25-26高一上·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲：全称量词命题与存在量词命题 题型一：含全称量词和存在量词命题的判断 1 题型二：全称量词或存在量词改写命题 3 题型三：含量词的命题的否定问题 5 题型四：根据全称命题的真假求参数问题 5 题型五：根据存在量词命题的真假求参数问题 6 题型六：含一个量词命题否定的应用 7 题型七：全称量词与存在量词的综合问题 8 考点一：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 考点二：含量词的命题的否定 p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一：含全称量词和存在量词命题的判断 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)存在量词命题 (4)全称量词命题 【详解】（1）由题意可知说的是所有凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题； （2）因为原命题中含有“有的”，故为存在量词命题； （3）因为原命题中含有“有一个”，故为存在量词命题； （4）由题意可知说的是所有菱形的对角线相互垂直， 故为全称量词命题； 【变式1】．（25-26高一上·湖南·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)存在量词命题，该命题是真命题； (2)全称量词命题，该命题是假命题； (3)存在量词命题．该命题是真命题； (4)全称量词命题，该命题是真命题. 【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假. 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题. 因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 【变式2】．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 题型二：全称量词或存在量词改写命题 【例2】．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 【变式1】．（22-23九年级·全国·随堂练习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【答案】(1)，的内角和是 (2)，表示的相反数 (3)， 【分析】（1）使用特称量词直接转换即可；（2）使用全称量词直接转换即可；（3）使用特称量词直接转换即可. 【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”. （2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”. （3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”. 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 题型三：含量词的命题的否定问题 【例3】．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定的定义判断. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以为：，. 【变式1】．（2026·重庆渝中·三模）命题 “ ” 的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】全称命题和存在命题的否定规则为“改量词，否结论”. 【详解】将存在量词改为全称量词，同时否定结论“”为“”. 所以原命题否定形式为“”，对应选项为D. 【变式2】．（25-26高二下·北京朝阳·期中）命题“，使得”的否定为（    ） A．， B．，都有 C．， D．，都有 【答案】D 【详解】根据存在量词命题的否定形式可知，命题“，使得”的否定为“，都有”. 题型四：根据全称命题的真假求参数问题 【例4】．（25-26高一下·四川内江·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 【变式1】．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 【变式2】．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 题型五：根据存在量词命题的真假求参数问题 【例5】．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 【变式1】．（25-26高一上·福建·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 题型六：含一个量词命题否定的应用 【例6】．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 【变式1】．（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立，当时，，得，综上可知，的取值范围是. 故答案为： 【变式2】．（25-26高一上·河北·阶段检测）若命题“任意”为假命题，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】由于“任意”为假命题， 所以“”为真命题， 所以 ， 在区间 上，当 或4 时， 取得最大值为 ，所以 ． 故答案为： ． 题型七：全称量词与存在量词的综合问题 【例7】．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 【变式1】．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为真命题，所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得．综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即，则对于．由于， 所以，解得，又因为有且只有一个是真命题，所以当真假时， 解得；当假真时，解得． 所以实数的取值范围为． 【变式2】．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)R. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 一、单选题 1．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题：，，命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题的否定为，. 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，，此时对任意，均有，不满足， 因此命题为假命题，故为真命题. 已知，对因式分解可得：. 由得，，因此，即，故命题为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题. 3．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 5．（25-26高一上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角大于” D．“任意”的否定形式是“存在，使得” 【答案】D 【分析】根据或命题、全称命题、且命题的否定性质逐一判断即可. 【详解】A：因为“或”的否定形式是“且”，所以本选项说法不正确； B：因为“”的否定形式是“或”， 所以本选项说法不正确； C：因为“是锐角三角形”的否定形式是“中存在一个内角不小于”，所以本选项说法不正确； D：因为“任意”的否定形式是“存在，使得”， 所以本选项说法正确. 故选：D 6．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 7．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知：，，：，，若和均为假命题，则实数的取范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分别求出命题为假命题时的范围，再求它们的交集可得． 【详解】命题为假命题，则，解得或， 命题为假命题，则恒成立，则有， 所以命题均为假命题，则. 故选：A 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课后作业）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【分析】利用命题的否定知识，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，其命题的否定为，， 因为显然成立，故A正确； 对于选项B，命题的否定为存在一个正方形，它不是矩形. 该命题含有存在性量词，不符合题意，所以不正确. 对于选项C，命题的否定为，， 因为，故该命题正确； 对于选项D，命题的否定为，，显然当时，， 故该命题是假命题，所以D不正确. 9．（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 10．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则实数的值为1或2 B．命题“，”的否定是“，” C．命题“，”是真命题 D．若集合只有一个元素，则实数的值为1 【答案】BC 【详解】对于A，若，则或. 当时，，此时，集合元素有重复，不符合互异性； 当时，，此时，集合为，符合题意. 因此，满足条件的实数的值仅为，故A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”正确； 对于C，由可得：，故正确； 对于D，当时，符合，故错误. 故选：BC 11．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）下列说法中正确的有（    ） A．若集合中只有一个元素，则 B．已知，则“”是“”的必要不充分条件 C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” D．是假命题 【答案】BCD 【分析】根据方程只有一个解，按照和分类讨论求解判断A；根据必要不充分判定可判断B；结合充要条件的概念将1代入方程求解判断C；举反例即可判断全称量词命题的真假判断D． 【详解】对于A，由题意得方程只有一个解，显然当时，有唯一解， 当时，，解得，综上或，故A错误； 对于B， 中，，中， 所以可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，当即时，是方程的一个实数根， 当方程有一个根为1时，代入得即， 故“是方程的一个实数根”的充要条件是“”，故C正确； 对于D，当时，， 所以“”是假命题，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高二下·河北承德·期末）命题“，”的否定是________． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是，. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 14．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 …… 根据以上事实写出含有量词的全称量词命题为_______________________ 【答案】 【详解】∵ 由此可归纳得出： 故答案为： 三、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 【答案】(1)全称量词命题，是真命题．命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集 (2)全称量词命题，是假命题， 命题的否定： (3)存在量词命题，是真命题，命题的否定： (4)全称量词命题，是假命题，命题的否定：，方程无解或至少有两解 【详解】（1）该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． （2）该命题是全称量词命题，是假命题． 因为，所以当时，，该命题的否定：． （3）该命题是存在量词命题，是真命题．因为当时，，该命题的否定：． （4）该命题是全称量词命题，是假命题．当时，方程才恰有一解． 该命题的否定：，方程无解或至少有两解． 17．（25-26高一上·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得；当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则，则，即，则， ，，即，故实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若是真命题，则，得，故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $