第4章 阶段提升（五）指数与对数（范围：4.1～4.2）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（五） 指数与对数（范围：4.1~4.2） 题型一 根式的化简或求值 1．若，_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】因为，所以. 2．计算：_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式. 3．求值：. 解：要使原式有意义，则 所以，原式. 一组对象能构成集合的两个条件 （1）根式的化简与求值要使用根式的运算性质： ①当为任意正整数时，； ②当为奇数时，； 当为偶数时， （2）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值. 题型二 指数运算 1．（多选）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 已知,则 【答案】BC 【解析】选,故 错误;,故 正确;,故 正确;因为,所以,所以,故 错误.故选. 2．计算： . 解：原式. 3．化简：. 解：原式. 指数幂运算的一般原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 题型三 对数运算 1．（多选）已知且,下面四个等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.当,，时,,,故，错误;当 时,,,故 正确;当 且 时,成立,故 正确.故选. 2．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】选.（14），，故. 3．化简下列各式： （1） ; （2） . 【答案】（1） 解：原式. （2） 原式. 对数的运算性质是进行同底数对数运算的依据，若底数不同，用换底公式化为同底数.对于同底数的对数式，化简的常用方法： （1）“合”，即逆用对数的运算法则，将同底对数的和（差）“合”成积（商）的对数，即一个对数式； （2）“拆”，即正用对数的运算法则，将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）. 题型四 指数与对数的综合应用 1．已知,. （1） 求的值; （2） 求的值. 【答案】 （1） 解：由,得. 所以. （2） 由,得,所以. 2．已知,,为正数,,且. （1） 求的值; （2） 求证：. 【答案】（1） 解：设,则,,.由,得.因为,所以. （2） 证明：由（1）得.又因为,所以. 利用对数式与指数式互化求值的方法 （1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. （2）对于指数连等式,可令其等于，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 学科网（北京）股份有限公司 $