安徽合肥市第四十五中学菱湖分校2026-2027学年度第一学期九年级数学练习单

数学练习单 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列二次函数图象开口向上的是(） A.y=-x2+2x B.y- C.y=-x2+1 D.y=x 2.将二次函数y=-2(x-2)2+3的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式 为() A.y=-2(x-4)2+1 B.y=-2(x-4)2+3 C.y=-2x2+3 D.y=-2(x-2)2+1 3.如果-2 果号=子那么。约结果是( A-司 B.- 1 c.3 1 D.2 4.如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2:②y=a2x2;③y=a3r2,则a1,a2,a3的 大小关系是() A.a1>a2>a3 B.a1>a3>a2 C.a3>a2>a1 D.a2>a1>a3 (第4题图) (第8题图) (第10题图) 5.某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都 为x,经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为() A.y=(300-x)2B.y=300(1-x)2C.y=300(1+2x)D.y=300-2x 6.已知A(-4,y1)和B(2,y2)是二次函数y=-(x-1)2图象上的两点，则y1.y2的大小关系是() A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.无法确定 7.二次函数y=2+2:与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ 立雨 A 8.如图所示，在△ABC中，点E是BC上的一点，BE=2CE,F是AE的中点，则DF:BF的值() A.1:4 B.2:5 C.1:5 D.3:5 9.若3x2-10x+2y2=0,则x2+y2的最大值为() A. 100 B.4 C.5 035 9 2 1O.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O,M、N分别为AC、 BD的中点，∠ACD=15°，AC=8,OD=OM.以下结论错误的是() A.MN⊥BD B.MN=2 C.AB=4v3 D.△BAD∽△COD 第1页（共4页） 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如果y是x的二次函数，其表达式为y=(3-ax-7,那么a的值为 12.鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律，如图点 P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),若AB的长为8，则AP的长为 (结果保留根号) Ay 10 345x (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，8C∥x轴，分别交y<0,y=c>0的图 象于B,C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，己知抛物线 y=x2-2x+m-2. (1)当m=4时，该抛物线与直线y=5围成的区域内（不含边界）的整点有个： (2)若该抛物线与直线y=5围成的区域内（不含边界）有4个整点，则m的取值范围是」 三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知二次函数yx2+bx+c,当x=1时，函数值是4：当x=2时，函数值是3. (1)求这个二次函数的表达式 (2)求该抛物线的顶点坐标， 16.己知二次函数y=x2-4x+3. (1)列表如下，请补全表格： y … 0 2 4 0 0 (2)画出二次函数y=xX2-4x+3的图象： 5 ……2……… (3)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围。 四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.物理兴趣小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中 (如图1)时，浸入液体中的高度h(cm)是液体的密度p（g/m)的反比例函数，其函数图象如图2 所示(p>0). (1)求h与p之间的函数关系式： (2)当液体密度p从1.5gcm3增加到2gcm3时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化？变化了多少？ h(cm) 20 第2页（共4页） 015 p(g/cm') 图1 图2 18.如图，己知DE∥BC,FE∥CD (1)若AF=3,AD=5,AE=4.求CE的长： (2)求证： AF AD ED DB 五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.如图，直线y=~x+b与反比例函数)的图象相交于A(1,4),B(4,)两点，连接OA和OB. y (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)根据图象直接写出>x+b的解集： (3)求△AOB的面积， 20.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D,M在边AC上，BM与CD交于点E,作MN⊥BM 交AB于点N. (1)求证：∠BCD=∠A: (2)求证：△AMN∽△CBE. 六.（本题满分12分） M 21.问题情境：露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备.其中抛物线型帐篷（图 1)支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用. B B 图1 图2 图3 (1)【建立模型】甲款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m,顶部高度h=1.8m.如图2建立平面直角坐标系， 求帐篷支架对应的抛物线函数关系式： (2)【运用模型】帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图3为一把椅子摆入甲款 帐篷后的简易视图，椅子高度EC=1m,宽度CD=0.6m,若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，求 最多可摆放的椅子数量， (3)【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5m,且一排恰好能容纳5把高、宽 分别为1m和0.6m的椅子.设其抛物线型支架函数关系式的次项系数为a(a<0),请求出a的值. 第3页（共4页） 七.（本题满分12分） 22.某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次 函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润= 日销售量×（销售单价-成本单价）] 销售单价x(元) 75 82 日销售量y（件) 150 80 日销售利润w（元) 5250 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式 (2)求该商品日销售利润的最大值 (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件(m>0),该商店在今后的销售中，商店规定该商品 的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系，若日销售最大利润是6600 元，求m的值. 八.（本题满分14分） 23.已知二次函数y=ax2-4ax-5a(a≠0). (1)若a=1,求此二次函数图象与x轴的交点坐标： (2)对于二次函数y=ax2-4ax-5a(a≠0)，当a<0,-2≤x≤7时，y的最大值与最小值的差为5， 求a的值； (3)将y=ax2-4ar-5a(a≠0)在-2≤x≤7间的图象记为G,若图象G与直线y=-x+5有2个不 同的交点，请直接写出a的取值范围. 数学练习单 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．下列二次函数图象开口向上的是（　　） A． B． C． D． 2．将二次函数的图象沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．如果，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． (第4题图) (第8题图) (第10题图) 5．某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元与每次降价的百分率之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 6．若，为二次函数图象上的两点，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 7．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，在△中，点是上的一点，，是上的中点，则的值（　　） A． B． C． D． 9．若，则的最大值为（　　） A． B．4 C．5 D． 10．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．△△ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．如果是的二次函数，其表达式为，那么的值为　　 ． 12．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 　　．（结果保留根号） (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图象于，两点，若△的面积是3，则的值为 　　 ． 14．在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．已知抛物线． （1）当时，该抛物线与直线y=5围成的区域内(不含边界)的整点有 个； （2）若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，则的范围是 ． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该抛物线的顶点坐标． 16．已知二次函数． （1）列表如下： 0 2 4 0 0 请将表格填写完整； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少． 18．如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求△的面积． 20．如图，在△中，，于点，在边上，与交于点，作交于点． （1）求证：； （2）求证：△△． 六、(本题满分12分) 21．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其抛物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 七、(本题满分12分) 22．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） 销售单价（元 75 82 日销售量（件 150 80 日销售利润（元 5250 3360 （1）根据以上信息，求关于的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了元件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求的值． 八、(本题满分12分) 23．已知二次函数． （1）若，求此函数与轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，的最大值与最小值的差为5，求的值； （3）将在间的图象记为，若图象与直线有2个不同的交点，请求出的取值范围． 九年级数学试题 第 1 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习单参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C B C A C 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．【答案】 【考点】二次函数的性质 【解答】解：根据二次项系数的符号逐项分析判断如下： 选项二次项系数为，图像开口向上； 、、选项二次项系数均小于0，图象开口向下．故选：． 2．【答案】 【考点】二次函数图象与几何变换 【解答】解：将二次函数的图象沿轴方向向右平移2个单位，平移后的函数解析式为；故选：． 3．【答案】 【考点】比例的性质 【解答】解：由合分比性质，得，故选：． 4．【答案】 【考点】二次函数的图象 【解答】解：如图所示：①的开口小于②的开口，则， ③，开口向下，则，故．故选：． 5．【答案】 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解答】解：根据题意得：．故选：． 6．【答案】 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大， ，为二次函数图象上的两点，且， ，故选：． 7．【答案】 【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象 【解答】解：二次函数对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有选项符合题意，故选：． 8．【答案】 【考点】平行线分线段成比例 【解答】解：由题意可得：， 过点作交于点，， ，， ，，，故选：． 9．【答案】A 【考点】二次函数的最值 【解答】解：由得， 又因为，所以， 又因为所以当时取到最大值为．故选：A． 10．【答案】 【考点】等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定 【解答】解：连接，，如图， ，为的中点，， ，为的中点，， ，为的中点，． 故选项正确，不符合题意； ，， ，，， ，，，，， 故选项正确，不符合题意； ，，， 点，，，四点在以点为圆心，半径为4的圆上， ，△为等腰直角三角形，， 选项错误，符合题意； ，，△△，选项正确，不符合题意． 故选：． 题号 11 12 13 14 答案 （1）7 （2）． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．【答案】． 【考点】二次函数的定义 【解答】解：是的二次函数，且，解得或，且， 的值为． 12．【答案】． 【考点】黄金分割 【解答】解：是的黄金分割点，线段的长为， ，， 13．【答案】． 【考点】反比例函数的图象；反比例函数系数的几何意义 【解答】解：如图所示：连接、，轴， ，， 又△的面积是3，，， 又，． 14． 【答案】（1）7 （2分） （2）．（3分） 【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系 【解答】解：（1）当时，此时抛物线与轴边界有七个整点； （2）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有，，，四个整点，如图： 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有一个整点； 结合图象可知，． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式 【解答】解：（1）由题意得：， 解得，这个二次函数的表达式为 6分 （2） 该抛物线的顶点坐为 8分 16．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【解答】解：（1）由题意，， 当时，；当时，； 令，或． 列表如下： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 3分 （2）由题意得，， 结合（1）作图如下： 6分 （3）由题意，， 结合函数图象， 8分 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．【考点】反比例函数的应用跨学科问题 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为． 由题可知，图象过， 将，代入，得．解得． 所以与之间的函数关系式为 6分 （2）当时，．． 答：密度计浸入该液体中的高度减少了，减少了 10分 18．【考点】平行线分线段成比例 【解答】（1）解：由题意可知：， ， 3分 即， 5分 （2）证明：由题意可知：， ， 7分 10分 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解答】解：（1）由条件可知，， 反比例函数的解析式为：， 在反比例函数上，，， 将点代入一次函数中，得， 解得，所以一次函数的表达式为： 4分 （2），， 根据图象得或 6分 （3）把代入得， 设点为与轴的交点，则， 8分 10分 20．【考点】相似三角形的判定 【解答】证明：（1）由题意得， ， ， 4分 （2）， 6分 ， ， 8分 又由（1）可知：， △△ 10分 六、(本题满分12分) 21．【考点】二次函数综合题 【解答】解：【建立模型】以的中点为平面直角坐标系的原点，如图1所示： 款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ， 设抛物线函数关系式为， 抛物线经过点，， 解得，即 4分 【运用模型】，且椅子高度，宽度， ，解得， 6分 则，的距离为2；， 椅子数量为正整数，最多可摆放的椅子数量为3张 8分 【分析计算】依题意，设抛物线函数关系式为， 且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子， 即刚好经过点点， ， 经过点， 即当时，即， 解得．的最小值为 12分 七、(本题满分12分) 22．【考点】二次函数的应用 【解答】解：（1）设一次函数解析式为， 把，代入得：， 解得：，， 4分 （2）由题意得该商品的成本单价是元． ， ，当时，最大，最大值为6250， 答：该商品日销售利润的最大值为6250元 7分 （3）设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为， 销售单价不低于68元，即， 日销售量，， 解得， 9分 ，，且开口向下， 随的增大而减小，当时，有最大值为6600 10分 ，若日销售最大利润是6600元，则 12分 八、(本题满分12分) 23．【考点】二次函数综合题 【解答】解：（1）当时，二次函数， 令，即， 解得：或，即此函数与轴的交点坐标为和 3分 （2）对于二次函数可得其对称轴为直线， 当时，图象开口向下， 故时，即在处，取得最大值， 4分 在处，取得最小值， 6分 的最大值与最小值的差为5， ，解得： 7分 （3）联立与， 整理可得，则△， 即抛物线与直线总有交点 8分 当时，二次函数，一次函数； 当时，二次函数，一次函数， 将在间的图象记为， 当图象与直线有2个不同的交点时， 当时，即满足且，解得： 10分 当时，即满足且，解得： 11分 当△时，即△，解得 12分 则此时在间只存在一个交点，不满足题意， 综上，的取值范围为或且 14分 数学参考答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $