专题01 空间几何体的外接球与内切球问题专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题01 空间几何体的外接球与内切球问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：内切球等体积法 3 题型二：内切球独立截面法 8 题型三：外接球公式法 12 题型四：外接球补型法 14 题型五：外接球单面定球心法 17 题型六：外接球双面定球心法 20 三、专项训练 27 一、必备秘籍 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 类型一 球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二 球的外接问题 1、公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条棱两两垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 二、典型题型 题型一：内切球等体积法 【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设球的半径为r，由等积法得，由此可求得设球的半径为r，再根据球的表面积公式可求得答案. 【详解】解：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 又， 所以平面，所以， 所以均为直角三角形， 设球的半径为r，则， 而，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 【分析】过作面，利用正三棱锥的性质，知是的中心，再利用几何关系和条件，可得，由正三棱锥的性质知外接球球心在上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再利用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解. 【详解】如图，过作面，因为是正三棱锥，则是的中心， 连接并延长交于，则是的中点，连接， 因为，，所以为二面角的平面角， 又，是中心，则，， 在中，由，得到， 因为是正三棱锥，则的外接球球心在上，设球心为，半径为，连接， 如图，由，得到，解得. 因为，所以， 则，又，， 设正三棱锥内切球的圆心为，半径为，易知在上， 由，得到，所以， 又，， 则线段长度的最大值为， 故答案为：，. 【变式1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长. 【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为， 则， 解得， 又由，且， 可得， 设在底面内的射影为， 因为在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H， 如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球， 又因为， 设球的半径为，则，所以， 所以. 故选：B. 【变式2】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为______ 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______. 【答案】/ 【分析】先求出正三棱锥的高，利用等体积法求出球的半径，再利用相似比求解. 【详解】如图: 设在底面上的投影为，取中点，连接 因为三棱锥为正三棱锥，则为正三角形的中心. 则，且，所以即为侧面与底面所成二面角， 又，所以, 则，所以. 设球的半径为，则， 即 ，解得. 根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球， 且该三棱锥的高. 故两正三棱锥的相似比为 ，故其内切球的半径比也为， 故球 与球的表面积之比为. 题型二：内切球独立截面法 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知某正三棱台的上、下底边长分别为3和6，若其存在内切球，则正三棱台的高为（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】正三棱台结构特征结合内切球的要求，确定球心位置，以及与上、下底面和侧面的切点位置，再利用已知的上、下底边长，构造关于内切球半径的方程，即可求出正三棱台的高． 【详解】由正三棱台结构特征结合题意，可知内切球与上、下底面切点为上、下底面的重心． 如图，取、的中点分别为、，上、下底面的中心分别为、， 球心为的中点． 正三棱台的上、下底面均为正三角形，且边长分别为3和6，则，． 在等腰梯形中，． 取截面，同时面截内切球为圆， 其与、、分别相切于、、． 由圆的切线长定理，可得，，即． 令，则在直角梯形中， 由勾股定理，可得，即． 由正三棱台结构特征结合题意，可知即为正三棱台的高，则高长为． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比. 【详解】 如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点， 设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知， 所以在中，， 由三角形内切圆可得，可得，即，化简得， 圆锥表面积为，内切球表面积， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比， 故选：B. 【变式1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出轴截面图，由三角形的相似及，求得，再根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则, 因为与分别为的平分线， 因此，从而， 故，所以，又因为，所以，故， 故圆台的高为，故圆台的体积为. 【变式2】（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 【变式3】（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【分析】求出圆台内切球的半径为，由题意知，正三棱锥的外接球半径最大为，设正三棱锥的高为，求出的取值范围，即可求出答案. 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，作，易知四边形为矩形， 由题可知，，， 由切线长定理可知，所以， 所以， 所以，即， 所以圆台内切球半径为， 若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转， 则正三棱锥的外接球半径最大为， 如图，正三棱锥的球心为，的内心为， 设正三棱锥的外接球半径为，正三棱锥的高为， 因为， 所以， 在中，，， 所以，即， 所以，解得， 所以当时，正三棱锥体积取得最大值， 最大值为， 所以正三棱锥体积的最大值为. 题型三：外接球公式法 【典例1】（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）棱长为的正方体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得正方体的对角线长为， 则，可得，所以外接球的表面积为. 【典例2】（25-26高一下·河南南阳·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________． 【答案】 【分析】根据长方体外接球的半径为体对角线的一半，代入体积公式即可． 【详解】长方体外接球的半径为， 根据体积公式可得． 【变式1】（25-26高一下·青海西宁·阶段检测）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a cm，则球的表面积为________． 【答案】 【详解】如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径， 设正方体的外接球半径为R，则，解得， 所以外接球的表面积为． 【变式2】（25-26高一下·天津津南·期末）已知长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm，其所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】用长方体外接球直径等于其体对角线的性质，先求出体对角线长度，再代入球的表面积公式计算结果. 【详解】因为长方体的所有顶点都在同一球面上，因此该球为长方体的外接球， 即外接球的直径等于长方体的体对角线长度，所以， 因此外接球的半径，根据球的表面积公式可得：. 【变式3】（25-26高一下·山东青岛·期中）长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 【答案】 【分析】利用长方体外接球直径等于其体对角线长度的性质，结合球的表面积公式计算结果. 【详解】设该长方体外接球的半径为， 根据长方体的几何性质，其外接球的直径与长方体的体对角线长度相等， 因此： ， 则球的表面积. 题型四：外接球补型法 【典例1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球. 设长方体的长宽高分别为，外接球半径为，根据题意可得： ， 三式相加得：，即， 长方体的体对角线即为外接球直径，因此，即， 外接球表面积. 【典例2】（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】由侧棱平面，平面，得，且， 所以三棱锥可以补成长方体，如图所示. 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同， 则外接球的直径为长方体的体对角线. 已知，， 则，则， 故三棱锥外接球的表面积为. 【变式1】（25-26高二下·湖北·期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果. 详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线）， 设长方体的长、宽、高分别是，则有， 三个式子相加整理可得， 所以长方体的对角线长为， 所以其外接球的半径， 所以其外接球的表面积，故选C. 点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理逆定理证明底面两边垂直，结合侧棱垂直底面的条件，将三棱锥补为长方体，借助长方体体对角线得到外接球直径，求出半径后代入球表面积公式完成计算． 【详解】由，，得， 所以. 因为平面，且， 可以把三棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以， 解得， 所以球的表面积． 【变式3】（2026·吉林长春·模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补全为长方体，各条棱分别为长方体的面对角线，根据长方体外接球为其体对角线的一半可求得所求的外接球半径，由球的表面积公式可得结果. 【详解】可将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球.    设长方体的长、宽、高分别为，则，， 所求外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查多面体外接球的求解问题，解题关键是能够通过将三棱锥补全为长方体，将问题转化为长方体外接球的求解. 题型五：外接球单面定球心法 【典例1】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，底面于，正三棱锥的外接球的球心在它的高上，在中，利用勾股定理列方程求出外接球的半径，可得体积. 【详解】如图， 底面于，延长，交于， 由正三棱锥的结构可知为的中点，，其外接球的球心在它的高上， 所以，所以侧面与底面所成的角为， 所以，即，解得. 因为为等边三角形，所以， 设球的半径为，在中， 由勾股定理得，即，解得， 故球的体积为． 【典例2】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）正四面体的边长为2，则该正四面体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图所示正四面体中，为底面的外心，则平面， 上所有点到三点距离相等，在上取一点使满足， 则为正四面体的外接球球心， 为半径， 因为底面为等边三角形，为底面的外心，所以， 在直角三角形中有得，设， 在直角三角形中有即， 解得，代入球的体积公式得体积为. 【变式1】（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由球的体积公式求出球的半径，利用正四面体的高和底面外接圆半径，结合勾股定理求出正四面体棱长与其外接球半径的比例关系，进而求得棱长，最后代入正三角形面积公式即可求得四面体的表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，其外接球的半径为， 由球的体积公式，解得，即， 正四面体的高， 设正四面体的中心为，底面中心为，顶点为，底面一顶点为， 则，，， 在中，由勾股定理得， 即，代入，得：， 化简得 ，所以， 因为，所以，解得， 所以该正四面体的表面积. 【变式2】（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 【答案】 【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积. 【详解】设外接球的半径为，，解得. 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，连接的中心，则线段的中点即为球心，依题意，内切圆半径为， 得，则，解得，， 所以三棱柱体积为. 【变式3】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为________． 【答案】 【分析】先求等边三角形的外接圆半径，再根据平面，确定三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图： 设的外心为.是边长为的等边三角形，其外接圆半径 ． 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，且． 于是外接球半径． 所以． 题型六：外接球双面定球心法 【典例1】（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记AC的中点为，记的外接圆圆心为，分别过，作平面，平面的垂线，两垂线交于点，则为四面体的外接球球心，然后结合已知条件求出球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】如图， 记的中点为，因为，为等边三角形， 所以， 所以二面角的平面角为，则， 记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为， 分别过，作平面，平面的垂线，两垂线交于点， 则为四面体的外接球球心． 由，，得， 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 所以，则， 所以，解得， 因此四面体的外接球的半径， 所以外接球的表面积为． 【典例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知菱形的各边长为2，.如图所示，将沿折起，使得到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则三棱锥外接球半径为________，则点的轨迹的周长为________. 【答案】 / 【分析】根据线线垂直可得平面，由直角三角形可得三棱锥的高，结合勾股定理进而可得三棱锥外接球的半径，可得点的轨迹为截面圆的周长． 【详解】取中点，则，，，平面, 平面，，又， ， 作于，设点轨迹所在平面为， 则平面经过点且， 设三棱锥外接球的球心为，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且，，，四点共面， 由题可得，， 在△，得，又， 则三棱锥外接球半径， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 截面圆的周长为，即点轨迹的周长为． 故答案为：，． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，菱形的各点都在同一平面上，且边长为4，.设，分别为，的中点，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，并构成三棱锥.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.    【答案】 【分析】连接交于点，在中利用余弦定理求出，分析球心所在的确切位置，并作出截面图2，利用余弦定理，勾股定理，三角形相似，三角函数和球的性质求出球的半径，即可得解. 【详解】连接交于点， 把，，折起后构成的三棱锥如图1所示， 故.    在中，由余弦定理可得 ， 故. 其中是边长为2的正三角形，所以，. 设为的外心，则在上，且. 设为的外心，则在上， 故过且垂直于平面的直线与过且垂直于平面的直线的交点即为球心， 即过且垂直于的直线与过且垂直于的直线的交点即为球心， 设球心为，另设交于点，如图2所示.    在中，如图3所示，，，. 因为，即，解得，. 在中，由余弦定理得， 故，. 在中，， 又由，可得， 故， 所以球的半径， 故球的体积为. 故答案为： 【变式2】（25-26高一下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，，沿将折起到的位置，得到三棱锥，若三棱锥的体积最大时，则此时三棱锥的外接球的表面积为______.    【答案】 【分析】先根据题意分析出当平面平面时三棱锥的体积最大，然后取的中点，连接，，根据已知条件求出三棱锥体积最大时与的外接圆半径，设三棱锥外接球的球心为，与外接圆的圆心分别为，，连接，，得到四边形为矩形，最后借助球半径、截面圆半径、球心到截面的距离之间的关系求出外接球半径，即可得解. 【详解】易知当平面平面时三棱锥的体积最大. 如图，当平面平面时，取的中点，连接，，    则，，∵平面平面， ∴平面，，，， 又与为等边三角形，. 设与的外接圆半径分别为，， 由正弦定理可得，. 设三棱锥外接球的球心为，与外接圆的圆心分别为，， 则，分别在线段，的三等分点处（靠近点），连接，， 易知平面，平面，又平面平面， ∴四边形为矩形.易知， ∴球的半径， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】本题借助三棱锥与外接球之间的关系，考查球半径、截面圆半径与球心到截面的距离之间的关系，解决本题的关键点是能够知道三棱锥的体积何时最大，利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离之间的关系求出球半径，考查学生空间问题平面化，考查运用几何直观和空间想象思考问题的意识，属于中档题． 三、专项训练 1．（2026·山东淄博·三模）已知圆台的上、下底面半径分别为r和，各项均为正整数的数列是公差为正数的等差数列，且，，，若该圆台存在内切球，则其体积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台存在内切球求出圆台的高为，然后由等差数列性质得，结合正整数知识得出的值，再由圆台体积公式计算体积后，比较可得正确选项． 【详解】由题意，所以， 公差为正数，则， 作圆台的轴截面，它是等腰梯形，它的内切圆是其内切球的大圆，如图，分别是圆台上、下底面圆心，是圆台的高，是切点， 则， 设圆台的高为, 在直角梯形中，由勾股定理得， 所以，解得， 圆台体积为， ，又均为正整数且，所以或或， 时，， 时，， 时，， 只有D可选．    2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 4．（23-24高二下·广西南宁·阶段检测）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，由正弦定理可得，可得圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r，利用面积法求解即可. 【详解】因为PA，PB，PC两两互相垂直且长度均为6， 所以△ABC为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理得底面圆的半径， 所以圆锥的高. 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r， 轴截面三角形面积为，所以内切球的半径. 内切球的表面积为. 故选：C. 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案. 【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线， 因此，从而，故. 设圆台的体积为，球的体积为，则. 故选：B. 6．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 7．（25-26高二上·安徽池州·期末）如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，求出即得解. 【详解】由于三棱锥的对棱相等， 故将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体中， 则，，三式相加， 可得， 故的外接球表面积为， 故选：C. 【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的计算，考查长方体的外接球的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将三棱锥放到长方体中，求出长方体的体对角线长，从而求得三棱锥外接球的半径，从而得解. 【详解】因为在三棱锥中，，，， 将三棱锥放到长方体中，设长方体同个顶点的三条棱长分别为，如图，    则，所以， 因为长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的直径为，半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：D. 9．（2026·云南红河·三模）在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三棱锥可视为棱长分别为1，2，3的长方体被一平面所截而成，求出长方体体对角线即可得解. 【详解】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体被平面ABC所截的三棱锥符合要求，如图： 长方体与三棱锥有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线长， 设外接球的半径为，则， 则所求表面积. 故选：B 10．（25-26高三上·河南·开学考试）在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积. 【详解】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，， 构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示， 设长方体棱长分别为a，b，c，则，，， 则，即，外接球表面积. 故选：D 11．（25-26高三上·广东汕头·开学考试）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处，结合长方体的外接球半径公式计算即可. 【详解】 三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球 设长方体的长宽高分别是,则, 所以, 设长方体的外接球半径为，则， 所以外接球表面积为. 故选：D. 12．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【分析】由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 13．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 【答案】B 【分析】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，求得球O的半径R，利用等体积法求得内切球的半径，进而计算可求得球O与球M的表面积之比. 【详解】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，则F为的中心， 连接并延长交于E，则，，O在上， 因为，所以，所以， 设球O的半径为R，则，即，解得. 设四面体内切球的半径为，则，所以， 所以球O与球M的表面积之比为. 故选：B. 14．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知底面直径为的圆锥，其侧面展开图是半圆，将这个圆锥放置在球内，则球的最小表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的特征求出其母线，再根据勾股定理求出其高，再确定最小的球为该圆锥的外接球，从而画出大致图，再数形结合，利用勾股定理即可求出该外接球的球半径，进而根据球表面积的公式即可求解． 【详解】由该圆锥的底面直径为，则其底面半径为，则其底面的周长为， 设该圆锥的母线为，又其侧面展开图是半圆，则其侧面展开图的弧长为，解得， 则该圆锥的高为， 将这个圆锥放置在球内，则最小的球为该圆锥的外接球， 设该外接球的球半径为，则球心到圆锥底面的距离为（不管球心在圆锥底面的上方还是下方）， 不妨设球心在圆锥底面的上方，大致如下图， 结合上图得，即，解得， 所以该外接球的表面积为，即球的最小表面积为． 15．（多选）（2027·江西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（    ） A． B．二面角的平面角小于 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【分析】对于A，根据题意设，利用三棱锥的体积求出得解；对于B，由题意可得是二面角的平面角，结合判断；对于C，利用三棱锥等体积法求解判断；对于D，设三棱锥的外接球球心为，的外接圆圆心为，可得，由，求出外接球半径得解. 【详解】对于A选项，设， 由平面，平面，可知， 所以， 又，所以在中，，解得， 在中，，则， 所以的面积为， 三棱锥的体积为， 所以，解得，故正确； 对于B选项，因为平面平面，， 所以是二面角的平面角， 由A选项知，，所以，B说法错误； 对于C选项，因为的面积为， 由三棱锥等体积法可得点到平面的距离，故正确； 对于D选项，设三棱锥的外接球球心为，半径为，的外接圆圆心为，半径为， 所以平面，， 过作，因为，所以四边形是矩形，， 所以由可得， 则， 所以，球的表面积为，故错误； 16．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______. 【答案】 【分析】（1）过的重心作垂线，垂线的交点即为球心，再根据已知线段长度求解出球的半径； （2）首先确定出当截面面积最小时对应的与截面的位置关系，再根据线段长度求解出截面圆的面积. 【详解】因为且四边形为菱形，所以均为等边三角形， 取的重心为，过作平面、平面的垂线，且垂线交于一点， 此时即为三棱锥的外接球球心，如下图所示： 记，连接，因为二面角的大小为， 且，所以二面角的平面角为， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以三棱锥的外接球的半径为； 当截面面积取最小值时，此时截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为， 又因为且，所以， 所以，所以此时截面面积为. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：过空间一点作球的截面，截面面积何时取最值： （1）当截面面积取最大值时，此时球心和已知点连线为球的直径，截面为过该条直径的球的大圆面； （2）当截面面积取最小值时，此时截面是以已知点为圆心的垂直于球心和已知点连线的小圆面. 17．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至的位置，得到四棱锥，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为___________.    【答案】/ 【分析】由题意确定当平面平面时，四棱锥的体积最大，作出图形，依次确定的外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥 的外接球的球心，解外接球的半径，再求解外接圆的半径，设四棱锥外接球的球心到平面的距离为，根据即可求解. 【详解】   由题意可知，当平面平面时，四棱锥的体积最大，如图所示， 取的中点，连接，则， 又平面平面，平面，所以平面. 则的外接圆的圆心位于且靠近点的三等分点处， 设的中点为，连接，则， 所以为四边形的外接圆的圆心， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 则两垂线的交点即为四棱锥的外接球的球心， 连接，则四边形为矩形， 所以， 连接，在中，. 设四棱锥的外接球的半径为，则. 连接，，， ，， 连接，则，所以外接圆的圆心在上，令其半径为， 在中，， 所以，即，解得， 设四棱锥外接球的球心到平面的距离为， 所以，即，解得， 故四棱锥外接球的球心到平面的距离为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 18．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 【答案】 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接， 则，可得，故， ，，， ，故， 则，解得， 由圆锥表面积公式得： ， ， ， 由球的表面积公式得， 圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，即， ， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得：， 整理得， 即， 化简得，解得， 设底面积为，侧面积为，则． 19．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 【答案】3 【详解】设圆台的母线长为， 由侧面展开图的扇环面积为，可得圆台侧面积为，所以， 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 设圆台的内切球球心为，则球心在截面内， 在截面内，设圆切梯形的边分别于点， 由切线长定理可得， 所以，即， 所以，又，所以. 20．（2026高一·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 21．（23-24高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为______. 【答案】 【分析】首先求出到平面的距离，再根据等体积法求出三棱锥内切球的半径，进而求出球面上一点到距离的最小值. 【详解】因为，且三条侧棱两两垂直， 则△是边长为的正三角形， 如图，设三棱锥的内切球与平面相切于， 根据已知条件知三点共线，且为△的中心， 连接与球交于点，此时最小， 连接与交于，由已知得， ，， 而，， 设球的半径为，则由等体积法得， ， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等体积法是求三棱锥的内切球半径的重要方法，是解决本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间几何体的外接球与内切球问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：内切球等体积法 3 题型二：内切球独立截面法 3 题型三：外接球公式法 4 题型四：外接球补型法 4 题型五：外接球单面定球心法 5 题型六：外接球双面定球心法 5 三、专项训练 7 一、必备秘籍 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 类型一 球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二 球的外接问题 1、公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条棱两两垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 二、典型题型 题型一：内切球等体积法 【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 【变式1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为______ 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知某正三棱锥的底面边长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为______. 题型二：内切球独立截面法 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知某正三棱台的上、下底边长分别为3和6，若其存在内切球，则正三棱台的高为（       ） A． B．2 C． D．3 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 题型三：外接球公式法 【典例1】（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）棱长为的正方体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·河南南阳·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________． 【变式1】（25-26高一下·青海西宁·阶段检测）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a cm，则球的表面积为________． 【变式2】（25-26高一下·天津津南·期末）已知长方体的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm，其所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______． 【变式3】（25-26高一下·山东青岛·期中）长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 题型四：外接球补型法 【典例1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【变式1】（25-26高二下·湖北·期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【变式3】（2026·吉林长春·模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型五：外接球单面定球心法 【典例1】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）正四面体的边长为2，则该正四面体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 【变式3】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为________． 题型六：外接球双面定球心法 【典例1】（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知菱形的各边长为2，.如图所示，将沿折起，使得到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则三棱锥外接球半径为________，则点的轨迹的周长为________. 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，菱形的各点都在同一平面上，且边长为4，.设，分别为，的中点，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，并构成三棱锥.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.    【变式2】（25-26高一下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，，沿将折起到的位置，得到三棱锥，若三棱锥的体积最大时，则此时三棱锥的外接球的表面积为______.    三、专项训练 1．（2026·山东淄博·三模）已知圆台的上、下底面半径分别为r和，各项均为正整数的数列是公差为正数的等差数列，且，，，若该圆台存在内切球，则其体积可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广西南宁·阶段检测）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽池州·期末）如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A． B． C． D． 9．（2026·云南红河·三模）在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·河南·开学考试）在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·广东汕头·开学考试）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 13．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 14．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知底面直径为的圆锥，其侧面展开图是半圆，将这个圆锥放置在球内，则球的最小表面积为（     ） A． B． C． D． 15．（多选）（2027·江西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（    ） A． B．二面角的平面角小于 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 16．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______. 17．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至的位置，得到四棱锥，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为___________.    18．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 19．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 20．（2026高一·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 21．（23-24高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为______. 学科网（北京）股份有限公司 $