主题3 第7章 热点强化课7 空间几何体内切球与外接球问题（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

课时冲关41　空间几何体内切球与外接球问题

 [基础训练组]

1．已知四面体A­BCD的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为(　　)

A.π　 B.π

C．6π　 D．12π

解析：C　[如图，正四面体ABCD棱长为2，AH⊥平面BCD于点H，则H是△BCD的中心，

BH＝×2＝，AH⊥平面BCD，BH⊂平面BCD，则AH⊥BH，AH

＝＝，

设外接球球心为O，则O在AH，则OA＝OB＝R为外接半径，

由BH2＋OH2＝BO2，得2＋2＝R2，解得R＝，

所以其外接球的表面积为4πR2＝4π×＝6π.]

2．若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为(　　)

A．2∶1  B．4∶1

C．8∶1  D．8∶3

解析：A　[设圆锥的高为h，底面半径为r，

则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，

由△AOE∽△ACF，可得＝，即r＝，

∴圆锥的体积V＝πr2h＝

＝

≥＝.

当且仅当h－2＝2，即h＝4时取等号．∴该圆锥体积的最小值为.则内切球体积为.

所以该圆锥体积与其内切球体积比为2∶1.]

3．已知正四面体P­ABC的外接球体积为，则正四面体P­ABC的表面积为(　　)

A．8  B.

C.  D．18

解析：C　[将正四面体P­ABC补成正方体PEAF­GBHC，

设正方体PEAF­GBHC的棱长为a，则正四面体P­ABC的棱长为a，

正四面体P­ABC的外接球半径为a，

由题意可得π×3＝，解得a＝，

所以正四面体P­ABC的棱长为a＝，

因此，正四面体的表面积为4××2＝.]

4．已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为(　　)

A.  B.

C．3  D.(－)

解析：A　[由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，

由已知可得AB＝SA＝SB＝3，所以△SAB为等边三角形，故点P是△SAB的中心，

连接BP，则BP平分∠SBA，

所以∠PBO＝30°，故tan 30°＝，

解得r＝R＝×＝，故正四面体的外接球的半径r＝.

又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，

从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以2r＝AA1＝×a＝a＝，

解得a＝.]

5．在正四棱锥P­ABCD中，AB＝4，PA＝2，则平面PAB截四棱锥P­ABCD外接球的截面面积是(　　)

A.  B.

C．12π  D．36π

解析：B　[如图，作PO′⊥平面ABCD，垂足为O′，则O′是正方形ABCD外接圆的圆心，从而正四棱锥P­ABCD外接球的球心O在PO′上，