微专题：立体几何中的动态问题 专项训练-2026届高三数学二轮复习

微专题　立体几何中的动态问题 　　　立体几何中与角度有关的动态问题,常见的命题角度有折叠问题、存在性问题. 一．平面图形的翻折问题 　　对于翻折问题,应明确:在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质可能会发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值,这是解决翻折问题的主要方法. 例１.如图,已知正方形ABCD的边长为2,AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥A-BCD. (1)求证:平面AOC⊥平面BCD. (2)若三棱锥A-BCD的体积为,且∠AOC是钝角,求AC的长. 解析　(1)因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AO,BD⊥CO. 折起后仍有BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩CO=O, 所以BD⊥平面AOC. 因为BD⊂平面BCD,所以平面AOC⊥平面BCD. (2)由(1)知BD⊥平面AOC, 所以VA-BCD=S△AOC·BD. 又VA-BCD=, 所以×OA·OC·sin∠AOC·BD=, 即××××sin∠AOC× 2=, 所以sin∠AOC=. 因为∠AOC是钝角,所以∠AOC=120°. 在△AOC中,由余弦定理, 得AC2=OA2+OC2-2·OA·OC·cos∠AOC=()2+()2-2×××cos 120°=6, 所以AC=. 变式训练１.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则BD与平面ABC所成角的正切值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 　　　　B. 　　　　C.1　　　　 D. 2、 与角度有关的存在性问题 例２.已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形,且SD⊥平面ABCD,AB=2AD=2SD,∠DCB=60°,M,N分别为SB,SC的中点,过MN作平面MNPQ分别与线段CD,AB相交于点P,Q,且=λ. (1)当λ=时,证明:平面MNPQ∥平面SAD. (2)是否存在实数λ,使得二面角M-PQ-B为60°?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 解析　(1)因为M,N分别为SB,SC的中点,所以MN∥BC, 由底面ABCD为平行四边形可知,AD∥BC,所以MN∥AD. 又MN⊄平面SAD,所以MN∥平面SAD. 因为λ=,所以Q为AB的中点,所以MQ∥SA. 又MQ⊄平面SAD,所以MQ∥平面SAD. 由MN∩MQ=M可知,平面MNPQ∥平面SAD. (2)连接BD交PQ于点R. 因为MN∥BC,所以BC∥平面MNPQ. 又平面MNPQ∩平面ABCD=PQ, 所以PQ∥BC∥AD. 在▱ABCD中,AB=2AD,∠DCB=60°,所以AD⊥DB. 又SD⊥平面ABCD,所以SD⊥AD且SD∩DB=D, 所以AD⊥平面SBD, 所以PQ⊥平面SBD,所以∠MRB为二面角M-PQ-B的平面角, 所以∠MRB=60°. 过点M作ME⊥DB于点E,则ME∥SD,所以ME⊥平面ABCD. 设AD=SD=a,因为M为SB的中点,所以ME=,DE=a. 在Rt△MER中,ME=,∠MRB=60°,所以RE=a. 所以DR=DE-RE=a,所以==. 因为PQ∥AD,所以λ===.　 变式训练２.如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ. (1)求证:平面VAB⊥平面VCD. (2)当角θ在上变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围. 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　达标训练 1.在平面四边形中如下图），为的中点，，，且，，现将此平面四边形沿折起，使二面角为直二面角，在平面内取一点，使得为正方形，连接，，，，得到立体图形如图），设，，分别为，，的中点． 求证：平面平面． 在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 2.如图，在等边中，点分别为边上的动点且满足，记将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图，点为的中点． 当平面时，求的值； 试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小． 3.已知三棱柱中，，，，． 求证：平面平面； 若，为线段上一点，且平面和平面所成角的余弦值为，求的值． 4.如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上包含端点运动，连接． 若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； 是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，确定出点位置；若不存在，请说明理由． 5.已知正方形的边长为，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上． 若为的中点，设直线与相交于点，证明：平面； 是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，说明理由． 6.如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图． 求证：平面 在线段上是否存在点，使平面平面若存在，求的值若不存在，说明理由． 7.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是上的点，且． 求证：对任意的，都有； 若二面角的大小为，求的值． 8.如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，与交于点，将沿折起到的位置，使平面平面，如图． Ⅰ求证：平面平面； Ⅱ求二面角的余弦值； Ⅲ判断线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题　立体几何中的动态问题答案详解 　　 变式训练１.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则BD与平面ABC所成角的正切值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 　　　　B. 　　　　C.1　　　　 D. 答案　B 解析　在平面ADC中,过点D作DE⊥AC,交AC于点E,则AC⊥DE. 连接BE,二面角B-AD-C为直二面角,所以BD⊥平面ADC,BD⊥AC. 又因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC, 故∠DBE是BD与平面ABC所成的角. 由翻折不变性可知DE=BD, 在Rt△BDE中,tan∠DBE==.故选B. 变式训练２.如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ. (1)求证:平面VAB⊥平面VCD. (2)当角θ在上变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围. 解析　(1)因为AC=BC=a,所以△ACB是等腰三角形. 又D是AB的中点,所以CD⊥AB. 又VC⊥底面ABC,所以VC⊥AB. 因为VC∩CD=C, 所以AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB, 所以平面VAB⊥平面VCD. (2)在平面VCD内过点C作CH⊥VD于点H,则由(1)知CH⊥平面VAB. 连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角. 在Rt△CHD中,易知CH=asin θ. 设∠CBH=φ,在Rt△BHC中,CH=asin φ, 　　所以sin θ=sin φ. 因为0<θ<,所以0<sin θ<1,0<sin φ<. 又0<φ<,所以0<φ<. 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为. 达标训练 1.在平面四边形中如下图，为的中点，，，且，，现将此平面四边形沿折起，使二面角为直二面角，在平面内取一点，使得为正方形，连接，，，，得到立体图形如图，设，，分别为，，的中点． 求证：平面平面． 在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】证明：点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， 、， 又正方形中，，， 平面，平面， 平面， 同理可得平面， 又、为平面内两条相交直线， 面面； ，，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，， 则，， 设面的法向量， 由，取，得， 设，， 当时，与重合，由知平面平面， 故平面的一个法向量为， ，不符合题意， 当时， 则，， 设面的法向量为， 由，取，得， 由面与面所成二面角的余弦值为，可得 ， 解得：或舍去． 在线段上存在一点，使得面与面所成二面角的余弦值为， 此时．  2.如图，在等边中，点分别为边上的动点且满足，记将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图，点为的中点． 当平面时，求的值； 试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小． 【答案】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点， ，且，而， ，则四边形为平面四边形， 又平面，平面，平面平面， ，即四边形为平行四边形， 且，即， ； 取的中点，平面平面，且，平面，平面平面， 平面． 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设． 则，，， ，， 设平面的一个法向量为，则 ，取，得． 又平面的一个法向量为． ，． 即二面角的大小与无关． 又二面角为钝二面角，则二面角的余弦值为， 则正弦值为．  3.已知三棱柱中，，，，． 求证：平面平面； 若，为线段上一点，且平面和平面所成角的余弦值为，求的值． 【答案】证明：如图，，四边形为菱形， 连接，则，又， 且， 平面，则， 又，即，平面， 而平面，面面； 解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系， ，，， ，，，   设在线段上存在一点，满足， 使得平面和平面所成角的余弦值为， 则， ， ，， 设平面的法向量， 由，取，得， 平面的法向量， 由， 解得舍，或， 线段上存在点，满足，平面和平面所成角的余弦值为．  4.如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上包含端点运动，连接． 若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； 是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，确定出点位置；若不存在，请说明理由． 【答案】解：因为直线平面，故点在平面内，也在平面内， 所以点在平面与平面的交线即直线上，延长，交于点，连接，如图所示． 因为，为的中点，所以，所以，， 故点在的延长线上且与点间的距离为， 连接交于点，因为四边形为矩形，所以是的中点． 连接，则为的中位线，所以， 又平面，平面，所以直线平面． 如图，由已知可得，，又，，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 因为，，所以为等边三角形， 取的中点，连接，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，过点作直线， 以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设，则， 设平面的法向量为，即 取，则，，所以平面的一个法向量为， 要使直线与平面所成的角为， 则， 即，整理得，解得或， 所以存在点，使得直线与平面所成的角为， 该点为线段上靠近或的一个等分点．   5.已知正方形的边长为，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上． 若为的中点，设直线与相交于点，证明：平面； 是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，说明理由． 【答案】解：证明：因为直线平面， 故点在平面内也在平面内， 所以点在平面与平面的交线上， 延长交的延长线于， 因为，为的中点，所以≌， 所以，，所以点在的延长线上，且， 连接交于，因为四边形为矩形，所以是，的中点， 连接，因为为的中位线，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面 由已知可得，，，，平面，平面， 所以平面，为二面角的平面角，即有， 又，则为正三角形，取的中点，连接，则，而，，，平面，则平面，取中点，则有， 以点为坐标原点，射线，，分别为，，轴非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设，则， 设平面的法向量， 则 取，则，，所以， 因为与平面所成的角为， 所以， 所以，所以， 解得或， 所以存在点，使得直线与平面所成的角为， 取的中点，因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，则为平面的法向量， 因为，， 所以， 设平面与平面的夹角大小为， 则 ， 所以存在点，使得直线与平面所成的角为，此时平面与平面的夹角的余弦值为．   6.如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图． 求证：平面 在线段上是否存在点，使平面平面若存在，求的值若不存在，说明理由． 【答案】解：证明：因为， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面； 解：因为平面，， 所以以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设，， 则， 所以， 所以，， 设平面的法向量， 由，得 令，得 设平面的法向量为， ， 故取，得． 因为平面平面， 所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且．   7.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是上的点，且． 求证：对任意的，都有； 若二面角的大小为，求的值． 【答案】解：以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，， 证明：， ，，． ， 即对任意的，都有． 为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，， 即 取，得． ． 由，解得．  8.如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，与交于点，将沿折起到的位置，使平面平面，如图． Ⅰ求证：平面平面； Ⅱ求二面角的余弦值； Ⅲ判断线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】 Ⅰ证明：因为正方形中，，分别为、的中点， 所以，． 所以． 所以 又因为平面， 平面平面， 平面平面， 所以平面． 又因为平面， 所以平面平面 Ⅱ解：因为、、两两垂直，所以，以为原点，建立空间直角坐标系， 如图，分 则，，， 所以，， 由Ⅰ知，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以 由图可知所求二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为 Ⅲ设， ，若使平面，则 即，解得 所以存在点，使平面，此时的值为  学科网（北京）股份有限公司 $