专题12 统计（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题12 统计 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：抽样方法 7 考点二：频率分布直方图 8 考点三：平均数、中位数、众数【核心重点】 9 考点四：百分位数【重难点】 10 考点五：方差、标准差【高频考点】 11 04 实战演练 13 考情解读 考试要求 了解简单随机抽样与分层随机抽样;会用频率分布直方图估计频数、众数、中位数与平均数;会计算平均数、中位数、众数与百分位数;理解方差与标准差的意义并会计算。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 抽样方法 5年3考 分层抽样 预测2027年在选择题中考查分层抽样 平均数、中位数、众数 5年5考 平均数、中位数的计算 预测2027年在选择、解答题中考查平均数、中位数的计算 方差、标准差 5年4考 方差、标准差的计算 预测2027年在选择、解答题中考查方差、标准差的计算 百分位数 5年2考 百分位数的计算 预测2027年在选择或填空题中考查百分位数的计算 知识梳理 知识点1、抽样方法 1. 简单随机抽样： · 定义：从 个总体中逐个不放回抽取 个，每个样本被抽到的机会均等； · 方法：抽签法、随机数法。 1. 分层随机抽样： · 定义：将总体按某些特征分成若干层，按各层所占比例从各层独立抽样； · 适用：总体由差异明显的几部分组成。 1. 系统抽样： · 定义：将总体编号，按间隔 抽取（）； · 适用：总体数量大、分布均匀。 必记结论 · 分层抽样核心公式：抽样比 ，每层抽取数 。 · 三种抽样方法共同点：不放回、等可能。 · 分层抽样中，每层抽样比例相同，保证样本结构与总体一致。 · 总体平均数估计：分层抽样中 。 ⚠️避坑指南 ❌ 分层抽样时各层抽样比例不相同，导致样本偏差。 ❌ 把系统抽样的间隔 算成 的整数部分，但首尾端点处理错。 ❌ 抽签法和随机数法适用范围混淆。总体小用抽签法，总体大用随机数法。 ❌ 判断抽样方法时，看到”差异明显”就直接选分层，忽略简单随机抽样也能做（只是精度差）。 自主检测某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（   ） A． B． C． D． 知识点2、频率分布直方图 1. 作直方图步骤：求极差 分组 列频率分布表 画直方图。 1. 横轴：分组区间（连续、不重不漏）。 1. 纵轴：频率/组距（不是频率！）。 1. 小矩形面积 。 1. 所有小矩形面积之和 。 1. 中位数估计：左右两侧面积各为 。 1. 平均数估计：每组中点 该组频率，再求和。 必记结论 · 纵轴是频率/组距，不是频率——这是最易失分点。 · 小矩形面积 ，所有面积和 。 · 某组频率 。 · 频数 。 · 众数估计 。 · 中位数左右面积各 ，可通过累加面积找到。 ⚠️避坑指南 ❌ 纵轴读成频率，直接用纵轴值乘 算频数。 ❌ 中位数估计时，不累加面积找分界，直接取中间组中点。 ❌ 平均数估计时，用组中值但忘记乘频率。 ❌ 组距不相等时，纵轴仍按频率/组距读，容易错。 自主检测某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：min）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长在的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 知识点3、平均数、中位数、众数 1. 平均数 。 1. 中位数：数据从小到大排列后，中间位置的数。 · 为奇数：第 个数； · 为偶数：第 与 个数的平均。 1. 众数：出现次数最多的数（可能有多个）。 1. 优缺点比较： · 平均数：利用所有数据，但易受极端值影响； · 中位数：抗极端值，但不能利用所有数据信息； · 众数：反映集中趋势，但可能不唯一。 必记结论 · 平均数 。 · 中位数只与排列位置有关，不受极端值影响。 · 众数可以有多个，也可以没有（所有数出现次数相同）。 · 右偏分布：平均数 中位数 众数（极端大值拉高平均数）； · 左偏分布：众数 中位数 平均数。 ⚠️避坑指南 ❌ 为偶数时，中位数只取中间一个数，忘记取平均。 ❌ 数据未排序就找中位数。 ❌ 认为众数只有一个。可能多个数并列最多。 ❌ 用平均数代表有极端值的数据集（如收入、房价），应选中位数。 自主检测某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 知识点4、百分位数 1. 定义：第 百分位数是这样一个值，使得至少有 的数据小于或等于它，且至少有 的数据大于或等于它。 1. 计算步骤： · 数据从小到大排列； · 计算 ； · 若 不是整数：向上取整，第 个数； · 若 是整数：第 个数与第 个数的平均。 1. 特殊百分位数： · 第 百分位数 中位数； · 第 百分位数 下四分位数 ； · 第 百分位数 上四分位数 。 1. 四分位距 。 必记结论 · 是关键位置数。 · 非整数：向上取整； 整数：取第 与 的平均。 · 中位数就是第 百分位数。 · 四分位距反映中间 数据的波动范围，抗极端值。 ⚠️避坑指南 ❌ 是整数时，只取第 个数，忘记与第 个数平均。 ❌ 非整数时，四舍五入而不是向上取整。 ❌ 数据未排序就计算百分位数。 ❌ 把第 百分位数理解为”恰好有 数据小于它”，实际是”至少 “。 自主检测个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． 知识点5、方差、标准差 1. 方差：。 1. 标准差：。 1. 意义：方差/标准差越大，数据波动越大、越不稳定；越小越稳定。 1. 性质： · 数据同加 ：平均数加 ，方差、标准差不变； · 数据同乘 ：平均数乘 ，方差乘 ，标准差乘 ； · 数据 ：平均数 ，方差 。 必记结论 · 方差单位是原数据单位的平方，标准差单位与原数据相同。 · 方差越大波动越大，比较两组数据稳定性必用方差/标准差。 · 方差为 所有数据相等。 · 简化公式：（计算更方便）。 ⚠️避坑指南 ❌ 方差除以 。高中教材除以 （不是样本无偏估计）。 ❌ 数据同乘 时，方差直接乘 ，错，应乘 。 ❌ 数据同加 时，方差也加 ，错，方差不变。 ❌ 比较稳定性时，只看平均数不看方差。平均数相同才比方差；平均数不同要结合看。 自主检测一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 抽样方法 例1某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（ ） A．25 B．30 C．35 D．36 例2已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 解题策略 抽样方法 · 识别抽样类型： 总体小、无明显层次 简单随机抽样； 总体分几部分且差异明显 分层抽样； 总体大、均匀分布 系统抽样。 · 分层抽样计算： 算抽样比 ； 每层抽取数 ； 总样本数 各层抽取数之和。 · 估计总体平均数：用加权平均，权重为各层总体数占比。 【变式1】某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为120的样本.已知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为（   ） A．540 B．600 C．660 D．720 【变式2】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 考点二 频率分布直方图 例3某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（    ） A．15万 B．20万 C．25万 D．30万 例4如图是样本容量为200的频率直方图.根据样本的频率直方图估计，样本数据落在内的频率约为____. 解题策略 频率分布直方图 · 读频率：频率 。 · 算频数：频数 。 · 求某范围频率：把对应矩形面积相加。 · 估计中位数：从左累加面积到 ，用线性插值算分界点。 · 估计平均数：每组中点 该组频率，求和。 · 补全直方图：已知其他组频率，用 减去得未知组面积，再除以组距得纵轴。 【变式1】重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（     ） A．200 B．600 C．700 D．900 【变式2】某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，，上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率）为，则的值为________． 考点三 平均数、中位数、众数 例5数据，，，，，，的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 例6某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 解题策略 平均数、中位数、众数的求解 · 给原始数据： 平均数：直接套公式； 中位数：先排序，再按 奇偶定位置； 众数：数每个数出现次数。 · 给频率分布直方图：用上述方法估计。 · 给频率分布表：平均数 。 · 选择代表量： 数据对称 平均数； 有极端值 中位数； 看最常见值 众数。 【变式1】若1，m，7，7，9，9，10的众数为9，则这组数据的中位数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 考点四 百分位数 例7在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分由低到高依次为80， 82， 84， 85， 87， 88， 88， 89， 91， 93，则这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 例8已知20个数据的第60百分位数是7.8，这20个数据按从小到大的顺序排列后，第12个数据是7.2，则第13个数据是______. 解题策略 百分位数的计算 · 计算步骤： 1. 数据从小到大排列； 2. 算 ； 3. 按 是否整数决定取值； 4. 得到第 百分位数。 · 给频率分布直方图：从左累加频率到 ，用线性插值。 · 四分位数：分别算 、、 三个百分位数。 【变式1】样本数据8，9，11，14，18的第80百分位数为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式2】为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 考点五 方差、标准差 例9为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4    7    6    5    4    9    10    7    8    10 乙 7    5    8    6    7    9     7     6    7     8 (1)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； (2)如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 例10在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 解题策略 方差、标准差的计算 · 计算方差： 1. 算平均数 ； 2. 算每个 ； 3. 求和除以 ； 4. 开方得标准差。 · 比较稳定性：平均数相近时，方差小的更稳定。 · 数据变换后的方差：直接套性质——加常数不变，乘系数则方差乘系数平方。 · 频率分布下的方差：。 【变式1】某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数： (2)求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和方差． 【变式2】在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（    ） A．128 B．122 C．120 D．101 2．（2025高三上·广东·学业考试）为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85  93  95  92  88  92  95  90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（    ） A．88 B．89 C．90 D．94 3．（2024高三上·广东·学业考试）某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（    ） A．86 B．85.5 C．85 D．84.5 4．有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（    ） A．中位数是5 B．上四分位数为6 C．极差为6 D．60%分位数为3 5．（2024高三上·广东·学业考试）某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人． 6．立德中学高二（1）班有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高二（1）班全体学生中抽取一个容量为的样本．已知样本中男生、女生的平均身高分别为和．若各层中按照比例分配样本，则（1）男生应抽取的人数为__________；（2）估计高二（1）班全体学生的平均身高为__________（精确到）． 7．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 8．（2024高三上·广东·学业考试）某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和． （单位：） 60 50 45 60 70 80 80 80 85 90 （单位：） 40 60 60 80 80 55 80 80 70 95 (1)求，，，； (2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由． 9．已知数据的平均数，方差.求: (1)的平均数和方差; (2)的平均数和方差. 10．某摄影兴趣班共150人，年龄分布统计如下：，45人；，55人；，50人． (1)现采用按比例分配分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)若以各组区间的中点值作为该组人员的年龄代表，试估计该兴趣班150人的平均年龄是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：抽样方法 7 考点二：频率分布直方图 9 考点三：平均数、中位数、众数【核心重点】 11 考点四：百分位数【重难点】 12 考点五：方差、标准差【高频考点】 14 04 实战演练 17 考情解读 考试要求 了解简单随机抽样与分层随机抽样;会用频率分布直方图估计频数、众数、中位数与平均数;会计算平均数、中位数、众数与百分位数;理解方差与标准差的意义并会计算。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 抽样方法 5年3考 分层抽样 预测2027年在选择题中考查分层抽样 平均数、中位数、众数 5年5考 平均数、中位数的计算 预测2027年在选择、解答题中考查平均数、中位数的计算 方差、标准差 5年4考 方差、标准差的计算 预测2027年在选择、解答题中考查方差、标准差的计算 百分位数 5年2考 百分位数的计算 预测2027年在选择或填空题中考查百分位数的计算 知识梳理 知识点1、抽样方法 1. 简单随机抽样： · 定义：从 个总体中逐个不放回抽取 个，每个样本被抽到的机会均等； · 方法：抽签法、随机数法。 1. 分层随机抽样： · 定义：将总体按某些特征分成若干层，按各层所占比例从各层独立抽样； · 适用：总体由差异明显的几部分组成。 1. 系统抽样： · 定义：将总体编号，按间隔 抽取（）； · 适用：总体数量大、分布均匀。 必记结论 · 分层抽样核心公式：抽样比 ，每层抽取数 。 · 三种抽样方法共同点：不放回、等可能。 · 分层抽样中，每层抽样比例相同，保证样本结构与总体一致。 · 总体平均数估计：分层抽样中 。 ⚠️避坑指南 ❌ 分层抽样时各层抽样比例不相同，导致样本偏差。 ❌ 把系统抽样的间隔 算成 的整数部分，但首尾端点处理错。 ❌ 抽签法和随机数法适用范围混淆。总体小用抽签法，总体大用随机数法。 ❌ 判断抽样方法时，看到”差异明显”就直接选分层，忽略简单随机抽样也能做（只是精度差）。 自主检测某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知男生人，女生人，男女比例为，抽取的女生人数为. 知识点2、频率分布直方图 1. 作直方图步骤：求极差 分组 列频率分布表 画直方图。 1. 横轴：分组区间（连续、不重不漏）。 1. 纵轴：频率/组距（不是频率！）。 1. 小矩形面积 。 1. 所有小矩形面积之和 。 1. 中位数估计：左右两侧面积各为 。 1. 平均数估计：每组中点 该组频率，再求和。 必记结论 · 纵轴是频率/组距，不是频率——这是最易失分点。 · 小矩形面积 ，所有面积和 。 · 某组频率 。 · 频数 。 · 众数估计 。 · 中位数左右面积各 ，可通过累加面积找到。 ⚠️避坑指南 ❌ 纵轴读成频率，直接用纵轴值乘 算频数。 ❌ 中位数估计时，不累加面积找分界，直接取中间组中点。 ❌ 平均数估计时，用组中值但忘记乘频率。 ❌ 组距不相等时，纵轴仍按频率/组距读，容易错。 自主检测某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：min）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长在的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 【答案】D 【详解】目标区间包含和两个组，从图中可得这两组相应矩形的高分别为0.02和0.03， 因此该区间总频率为：， 故100000单中配送时长在的快递单数为：. 知识点3、平均数、中位数、众数 1. 平均数 。 1. 中位数：数据从小到大排列后，中间位置的数。 · 为奇数：第 个数； · 为偶数：第 与 个数的平均。 1. 众数：出现次数最多的数（可能有多个）。 1. 优缺点比较： · 平均数：利用所有数据，但易受极端值影响； · 中位数：抗极端值，但不能利用所有数据信息； · 众数：反映集中趋势，但可能不唯一。 必记结论 · 平均数 。 · 中位数只与排列位置有关，不受极端值影响。 · 众数可以有多个，也可以没有（所有数出现次数相同）。 · 右偏分布：平均数 中位数 众数（极端大值拉高平均数）； · 左偏分布：众数 中位数 平均数。 ⚠️避坑指南 ❌ 为偶数时，中位数只取中间一个数，忘记取平均。 ❌ 数据未排序就找中位数。 ❌ 认为众数只有一个。可能多个数并列最多。 ❌ 用平均数代表有极端值的数据集（如收入、房价），应选中位数。 自主检测某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 【答案】A 【详解】这组数据从小到大排列为：， 所以众数是85，中位数是． 知识点4、百分位数 1. 定义：第 百分位数是这样一个值，使得至少有 的数据小于或等于它，且至少有 的数据大于或等于它。 1. 计算步骤： · 数据从小到大排列； · 计算 ； · 若 不是整数：向上取整，第 个数； · 若 是整数：第 个数与第 个数的平均。 1. 特殊百分位数： · 第 百分位数 中位数； · 第 百分位数 下四分位数 ； · 第 百分位数 上四分位数 。 1. 四分位距 。 必记结论 · 是关键位置数。 · 非整数：向上取整； 整数：取第 与 的平均。 · 中位数就是第 百分位数。 · 四分位距反映中间 数据的波动范围，抗极端值。 ⚠️避坑指南 ❌ 是整数时，只取第 个数，忘记与第 个数平均。 ❌ 非整数时，四舍五入而不是向上取整。 ❌ 数据未排序就计算百分位数。 ❌ 把第 百分位数理解为”恰好有 数据小于它”，实际是”至少 “。 自主检测个数据的第百分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】个数据， 这个数据已经从小到大排序，且， 则， 不是整数，则向上取整数， 则第百分位数是这个数据的第个数值. 知识点5、方差、标准差 1. 方差：。 1. 标准差：。 1. 意义：方差/标准差越大，数据波动越大、越不稳定；越小越稳定。 1. 性质： · 数据同加 ：平均数加 ，方差、标准差不变； · 数据同乘 ：平均数乘 ，方差乘 ，标准差乘 ； · 数据 ：平均数 ，方差 。 必记结论 · 方差单位是原数据单位的平方，标准差单位与原数据相同。 · 方差越大波动越大，比较两组数据稳定性必用方差/标准差。 · 方差为 所有数据相等。 · 简化公式：（计算更方便）。 ⚠️避坑指南 ❌ 方差除以 。高中教材除以 （不是样本无偏估计）。 ❌ 数据同乘 时，方差直接乘 ，错，应乘 。 ❌ 数据同加 时，方差也加 ，错，方差不变。 ❌ 比较稳定性时，只看平均数不看方差。平均数相同才比方差；平均数不同要结合看。 自主检测一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数据，，，的方差是， 所以数据，，，的方差是. 考点精讲 考点一 抽样方法 例1某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（ ） A．25 B．30 C．35 D．36 【答案】A 【详解】由题意可知：每个个体被抽到的可能性为， 所以应抽取的女生人数为. 例2已知某学校高一年级有人．现由按比例分配分层抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取了人，则该学校的学生总共有________人． 【答案】1500 【详解】设该学校总共有人，则，解得． 解题策略 抽样方法 · 识别抽样类型： 总体小、无明显层次 简单随机抽样； 总体分几部分且差异明显 分层抽样； 总体大、均匀分布 系统抽样。 · 分层抽样计算： 算抽样比 ； 每层抽取数 ； 总样本数 各层抽取数之和。 · 估计总体平均数：用加权平均，权重为各层总体数占比。 【变式1】某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为120的样本.已知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为（   ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】B 【分析】根据题意，求得女生所占比例，结合分层抽样的方法，即可求解. 【详解】由题意知，样本中女生所占比例为， 根据分层随机抽样按比例分配，高二年级女生约为（人）， 所以该校高二年级男生人数约为人. 【变式2】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 【答案】13 【详解】由题意得，解得． 考点二 频率分布直方图 例3某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（    ） A．15万 B．20万 C．25万 D．30万 【答案】A 【详解】由频率分布直方图知，在随机调查的位居民中， 月均用水量不低于立方米的频率为， 因该市有万居民， 故全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为万. 例4如图是样本容量为200的频率直方图.根据样本的频率直方图估计，样本数据落在内的频率约为____. 【答案】0.76 【详解】数据落在内的频率为. 解题策略 频率分布直方图 · 读频率：频率 。 · 算频数：频数 。 · 求某范围频率：把对应矩形面积相加。 · 估计中位数：从左累加面积到 ，用线性插值算分界点。 · 估计平均数：每组中点 该组频率，求和。 · 补全直方图：已知其他组频率，用 减去得未知组面积，再除以组距得纵轴。 【变式1】重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（     ） A．200 B．600 C．700 D．900 【答案】C 【分析】依据频率分布直方图计算出样本中竞赛成绩为优秀的学生频率，再去推测这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数即可. 【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为， 则这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为. 【变式2】某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，，上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率）为，则的值为________． 【答案】67.5 【详解】平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率， 于是 ． 考点三 平均数、中位数、众数 例5数据，，，，，，的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】这组数据共有7个数，不是整数，所以取第4位数为中位数，即； 数据中84出现的次数最多，故众数为84. 例6某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 【答案】 【分析】根据加权平均数公式求结论. 【详解】因为样本中高一、高二、高三年级的学生人数比为， 又高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为， 所以该校全体学生的平均视力为. 解题策略 平均数、中位数、众数的求解 · 给原始数据： 平均数：直接套公式； 中位数：先排序，再按 奇偶定位置； 众数：数每个数出现次数。 · 给频率分布直方图：用上述方法估计。 · 给频率分布表：平均数 。 · 选择代表量： 数据对称 平均数； 有极端值 中位数； 看最常见值 众数。 【变式1】若1，m，7，7，9，9，10的众数为9，则这组数据的中位数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由该组数据的众数为9，知，将数据按照从小到大的顺序排列为1，7，7，9，9，9，10，所以中位数为9. 【变式2】某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 【答案】126 【详解】该学生最近五次考试的数学成绩的平均分. 考点四 百分位数 例7在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分由低到高依次为80， 82， 84， 85， 87， 88， 88， 89， 91， 93，则这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【详解】一共10个数据，， 所以这组数据的第80百分位数为由低到高排列的第8,9个数据的平均数，即. 例8已知20个数据的第60百分位数是7.8，这20个数据按从小到大的顺序排列后，第12个数据是7.2，则第13个数据是______. 【答案】 【分析】先计算第百分位数的对应位置，可知其为第个和第个数据的平均值，列方程求解即可. 【详解】根据百分位数的计算规则，首先计算位置参数，其中数据总数，代入得 . 由于为正整数，故第60百分位数为数据按从小到大的顺序排列后第12个数据与第13个数据的算术平均数. 设第13个数据为，则. 解题策略 百分位数的计算 · 计算步骤： 1. 数据从小到大排列； 2. 算 ； 3. 按 是否整数决定取值； 4. 得到第 百分位数。 · 给频率分布直方图：从左累加频率到 ，用线性插值。 · 四分位数：分别算 、、 三个百分位数。 【变式1】样本数据8，9，11，14，18的第80百分位数为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】由于该组样本数据共有5项，， 故该组数据的第80百分位数为从小到大第4项与第5项数据的平均数，即. 【变式2】为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 【答案】 【详解】成绩按从小到大排列为 ， 第百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即. 考点五 方差、标准差 例9为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4    7    6    5    4    9    10    7    8    10 乙 7    5    8    6    7    9     7     6    7     8 (1)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； (2)如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)选择乙参加运动会，理由如下： 由（1）知，，，因为两名运动员射击成绩的平均水平相同，且，则乙的成绩比甲稳定，因此选择乙参加运动会. 【分析】（1）根据平均数与方差的公式求解即可； （2）比较平均数与方差，平均数相同的情况下选择方差小的. 【详解】（1）， ， ， ； （2）选择乙参加运动会，理由略. 例10在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 【答案】(1)众数为80，极差为，A组的平均成绩为，B组的平均成绩为. (2)A组的方差为，B组的方差为，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 【详解】（1）由题意，这10个分数的众数为80， 极差为， A组的平均成绩为， B组的平均成绩为. （2）A组的方差为， B组的方差为， 因为， 所以蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 解题策略 方差、标准差的计算 · 计算方差： 1. 算平均数 ； 2. 算每个 ； 3. 求和除以 ； 4. 开方得标准差。 · 比较稳定性：平均数相近时，方差小的更稳定。 · 数据变换后的方差：直接套性质——加常数不变，乘系数则方差乘系数平方。 · 频率分布下的方差：。 【变式1】某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数： (2)求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和方差． 【答案】(1)86分 (2)85分，25 【分析】（1）依题意可得职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数，从而计算可得； （2）根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】（1）∵， ∴抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数， 即， 故抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为86分. （2）抽取的10名退休职工问卷得分的平均数为分. 抽取的10名退休职工问卷得分的方差 【变式2】在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)90，89； (2) 组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）略 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（    ） A．128 B．122 C．120 D．101 【答案】C 【分析】根据平均数的求法求得正确答案. 【详解】． 故选：C 2．（2025高三上·广东·学业考试）为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85  93  95  92  88  92  95  90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（    ） A．88 B．89 C．90 D．94 【答案】B 【分析】先对数据进行从小到大排序，然后根据数据集的大小计算出第25百分位数在排序后数据中的位置，对于偶数个数据点，第25百分位数将是排序数据中的一个特定位置或两个相邻数据点的平均值. 【详解】对8位学生的数学考试分数进行从小到大的排序，得到的序列如下： 85，88，90，92，92，93，95，95 共8个数据点的数据集，第25百分位数的位置为， 所以第25百分位数为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：在计算百分位数时，特别要注意数据点的排序和百分位数位置的计算。当数据点个数为偶数时，百分位数的位置会落在两个数据点之间，此时百分位数应取这两个数据点的平均值。这一原则是准确估算数据集百分位数的关键. 3．（2024高三上·广东·学业考试）某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（    ） A．86 B．85.5 C．85 D．84.5 【答案】B 【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解. 【详解】从小到大的顺序排列数据为：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，因为，所以这组数据的第70百分位数是. 故选：B. 4．有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（    ） A．中位数是5 B．上四分位数为6 C．极差为6 D．60%分位数为3 【答案】B 【详解】将样本数据重新排列得到，，，，，，，， 样本共有七个数据，中位数为第位数，故中位数为， ，因此上四分位数为第六个数，为， 极差， 因为，因此第分位数应为第五个数，为5. 5．（2024高三上·广东·学业考试）某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人． 【答案】30 【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】高中生中抽取了人， 故答案为：30 6．立德中学高二（1）班有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高二（1）班全体学生中抽取一个容量为的样本．已知样本中男生、女生的平均身高分别为和．若各层中按照比例分配样本，则（1）男生应抽取的人数为__________；（2）估计高二（1）班全体学生的平均身高为__________（精确到）． 【答案】 【分析】先根据分层抽样比例分配的规则计算男生抽取人数，再通过分层抽样的总体均值估计方法计算全班平均身高的估计值. 【详解】（1）首先计算抽样比：全班总人数为，样本容量为，因此抽样比为. 按比例分配样本时，男生应抽取的人数为. 因此男生应抽取人. （2）因为人的样本中，男生抽取人，所以女生抽取的人数为， 所以样本中学生的身高平均值为：. 即样本中学生的平均身高为， 根据分层抽样总体均值的估计规则，因此估计高二（1）班全体学生的平均身高为. 7．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）计算平均值即可求解； （2）先计算出这10户居民月度用水量落在区间的概率，最后用样本估计总体去计算该小区居民月度用水量落在区间的户数即可. 【详解】（1）将每个数据乘以10减去81得： 所以平均值为：， 所以，所以这10户居民月度用水量的平均值为：8.1吨 （2）因为，所以落在区间的概率为， 据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为. 8．（2024高三上·广东·学业考试）某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和． （单位：） 60 50 45 60 70 80 80 80 85 90 （单位：） 40 60 60 80 80 55 80 80 70 95 (1)求，，，； (2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)选择品种，理由： 由可得两个品种平均产量相等， 又，则品种产量较稳定，故选择品种. 【分析】（1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）比较平均值和方差的大小可得答案. 【详解】（1）， ，     ， ． （2）略 9．已知数据的平均数，方差.求: (1)的平均数和方差; (2)的平均数和方差. 【答案】(1)60； (2)平均数和方差分别是78和0.24. 【详解】（1）设的平均数为，方差为， 而， 且 . （2）设的平均数是，方差为， ∵， ∴ ， 因为， 所以 = 10．某摄影兴趣班共150人，年龄分布统计如下：，45人；，55人；，50人． (1)现采用按比例分配分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)若以各组区间的中点值作为该组人员的年龄代表，试估计该兴趣班150人的平均年龄是多少？ 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）利用分层抽样的抽样比列式求解. （2）根据给定数据列式估算出平均年龄. 【详解】（1）依题意，年龄段占总体比例为：， 所以抽到年龄在岁的有人． （2）依题意，150人的平均年龄约为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $