专题10 解三角形（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题10 解三角形（复习讲义） 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：正弦定理解三角形【核心重点】 6 考点二：余弦定理解三角形【核心重点】 7 考点三：正余弦定理综合应用 9 考点四：三角形周长问题【重难点】 10 考点五：三角形面积问题【高频考点】 13 04 实战演练 16 考情解读 考试要求 掌握正弦定理与余弦定理，利用正弦定理与余弦定理解三角形，掌握三角形的面积公式，解决解三角形周长问题。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 正弦定理 5年5考 正弦定理求三角形的边 预测2027年在解答题中考查正弦定理求三角形的边 余弦定理 5年4考 余弦定理求三角形的边 预测2027年在解答题中考查余弦定理求三角形的边 三角形面积公式 5年2考 三角形面积公式求面积 预测2027年在解答题中考查三角形面积公式求面积 知识梳理 知识点1、正弦定理 1. 正弦定理：在 中， （ 为 外接圆半径）。 1. 变形： · ，，； · ； · 。 1. 适用题型： · 已知两角和任一边； · 已知两边和其中一边的对角。 必记结论 · 正弦定理揭示了“边”与“对角正弦”的比例关系。 · 大边对大角、大角对大边：。 · 已知两角一边时，三角形唯一确定。 · 已知两边一对角时，可能有两解、一解、无解（见避坑）。 · 内角和 是隐含条件。 ⚠️避坑指南 ❌ 已知 、 和 时，不判断解的个数直接算。判断方法： 为锐角： 无解； 一解； 两解； 一解； 为钝角或直角： 一解； 无解。 ❌ 忘记用 求第三个角。 ❌ 直接推出 ——错，还可能 （但三角形中此时 ，不可能），所以实际 。 ❌ 外接圆半径 与内切圆半径 混淆。 自主检测已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得：． 因为，则，且，所以． 知识点2、余弦定理 1. 余弦定理： · ； · ； · 。 1. 变形（求角）： · ； · ； · 。 1. 适用题型： · 已知两边及其夹角； · 已知三边。 必记结论 · 勾股定理是余弦定理在 时的特例（）。 · 判断三角形形状： （直角）； 为钝角； 为锐角。 · 余弦定理求角时， 值唯一对应 内的角，不会有两解问题。 · 已知两边一对角时，也可用余弦定理列方程求第三边。 ⚠️避坑指南 ❌ 钝角时 为负， 中减号加负数实际是加，符号易算错。 ❌ 余弦定理记错形式，如写成 。 ❌ 用余弦定理求角后不判断角的范围（）。 ❌ 判断三角形形状时，只看最大边对应的角，忽略其他角可能也是钝角的情况（实际最大角是钝角则三角形为钝角三角形）。 自主检测在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【详解】在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件，且， 得： ， 故. 知识点3、三角形面积公式 1. 基本公式：。 2. 两边及夹角公式： · ； · ； · 。 3. 与外接圆结合：。 4. 与内切圆结合：（ 为内切圆半径）。 必记结论 · 面积公式选择： 已知两边及其夹角——直接用 ； 已知三边——先求角再用夹角公式； 已知一边及对角——结合正弦定理求另一边乘积。 · 中，夹角 是 、 的夹角，不能错代。 · 面积与周长、内切圆半径关系：。 · 面积最值常结合基本不等式或三角函数求。 ⚠️避坑指南 ❌ 夹角代错。 中 是 、 的夹角，不是 、 的夹角。 ❌ 已知两边及一对角时，不先求夹角就硬套公式。 自主检测在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得 的值，从而求出 的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【详解】（1）由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. （2）因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 考点精讲 考点一 正弦定理解三角形 例1已知 的内角，， 的对边分别为，，，，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，故， 由正弦定理得，即， ∴，即． 例2在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，， 则. 解题策略 正弦定理解三角形 · 已知两角一边：先用内角和求第三角，再用正弦定理求其余两边。 · 已知两边一对角： 用正弦定理求另一角的正弦值； 判断角（锐角/钝角）； 注意两解情况； 求第三角和第三边。 · 边角互化：遇到边的齐次式，用 化为角；遇到角的齐次式，用 化为边。 【变式1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦定理求角的正弦值，结合为钝角确定角的大小，再由三角形内角和定理求出角. 【详解】在中，根据正弦定理：， 将，，代入得： ， 因为为钝角，所以， 由三角形内角和定理得：. 【变式2】在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理求出的值，再结合大边对大角的性质求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 因为，所以，即，所以. 考点二 余弦定理解三角形 例3在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 例4在中，，，，则_________． 【答案】2 【详解】由余弦定理得：，即， 化简得：，解得（舍去）. 解题策略 余弦定理解三角形 · 已知两边夹角：先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其余角。 · 已知三边：用余弦定理求最大边所对角（判断形状），再求其余角。 · 已知两边一对角：列余弦定理方程 ，解出第三边 （可能两解）。 · 判断形状：求最大边对应角的余弦，定直角/锐角/钝角。 【变式1】在中，角，，所对的边分别为，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，则， 因为， 则. 【变式2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则____________． 【答案】2 【分析】利用余弦定理计算可得结果； 【详解】根据余弦定理可得， 即 因为，所以. 考点三 正余弦定理综合应用 例5设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的直径为________． 【答案】2 【分析】通过化简已知等式并结合余弦定理求出内角大小，再利用正弦定理即可直接解出外接圆的直径. 【详解】由题意得， 得到，因为，所以， 设的外接圆的半径为，由正弦定理得， 解得，即外接圆的直径为. 例6已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 【答案】 【详解】因为，，， 由余弦定理得，解得， 且，则， 由正弦定理得，解得. 解题策略 正余弦定理综合应用 · 统一思想：条件式含边就化角，含角就化边，统一后再化简。 · 判断形状： 把条件式化为边或角； 因式分解找关系（如 ）； 下结论。 · 综合求值： 用正弦定理化边为角； 用三角恒等变换化简； 结合内角和求角。 【变式1】在中，，则 ________. 【答案】 【详解】∵ 在中，， 由正弦定理， ， ∵ ，∴ ， 又∵ 由余弦定理可得， 将代入上式， ∴ . 【变式2】在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 【答案】 【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 考点四 三角形周长问题 例7在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． (1)求角； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由三角形的面积公式可得，根据三角形为钝角三角形即可求解； （2）由余弦定理求出即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 因为为钝角，所以． （2）因为，，， 所以， 解得， 所以的周长为． 例8在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得，由正弦定理可求得结果； （2）利用同角三角函数关系可求得，由余弦定理可构造方程求得的值，由此可得三角形周长. 【详解】（1），，， 由正弦定理得：. （2）为钝角，， 由余弦定理得：，即， 解得：（舍）或， 的周长为. 解题策略 三角形周长问题 · 已知一边和对角求周长范围： 由正弦定理 ； ； 用 消元，化为 ； 辅助角公式合并； 根据 的范围（）求值域。 · 已知两边及夹角：先用余弦定理求第三边，再相加。 · 周长最值：通常在等腰（）时取到。 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由已知利用余弦定理可求，结合范围，即可得解的值． （2）由已知利用三角形面积公式可得，由余弦定理可得，即可得解三角形的周长． 【详解】（1）． ， ，． （2），，由三角形面积公式可得：，解得， 由余弦定理可得：，即， 解得：， 三角形的周长为． 【变式2】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解， （2）由面积公式可得，即可由余弦定理求解，进而求解周长. 【详解】（1），由正弦定理可得， 又，所以， 因为为锐角三角形，故． （2）的面积为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，所以，即，所以， 所以的周长为． 考点五 三角形面积问题 例9已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求△ABC外接圆的面积； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而求出面积； （2）利用余弦定理求出，再用三角形面积公式求解. 【详解】（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理， 得，所以外接圆的面积为． （2）由余弦定理， 得，得（负根舍去）． 故的面积为． 例10在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系和和差公式直接计算可得； （2）利用正弦定理求出，然后由面积公式可得. 【详解】（1）由题可知，又，所以 因为， 所以． （2）在中，由正弦定理，得． 所以． 解题策略 三角形面积问题 · 已知两边夹角：直接 。 · 已知三边： 用余弦定理求一个角的余弦； 求该角正弦； 代入 。已知一边和对角： 用正弦定理把 、 用 、 表示； 代入 ； 结合 求范围。 · 面积最值： 已知 和 ：，求 范围； 或用基本不等式 。 【变式1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得答案； （2）利用正弦定理和和角公式求出，结合三角形的面积公式可得答案. 【详解】（1）设外接圆的半径为，由正弦定理可得，即， 所以外接圆的面积为. （2）由可得，因为，所以为锐角， 所以， 所以， 所以的面积为. 【变式2】在中，所对的边分别为，已知 (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理列式求解. （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得. （2）由余弦定理，得，即， 而，解得，所以的面积. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理易得； （2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则； （2）由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 2．（2025高三上·广东·学业考试）在中，已知，，． (1)求； (2)如为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角； （2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. 【详解】（1）因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. （2）由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 3．（2024高三上·广东·学业考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求的值； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求得正确答案. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】（1）. . 由正弦定理可得. （2）， 所以的面积. 4．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1）， ， ． （2）， ， ， ． 5．在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4； (2)1. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解作答. （2）根据给定条件，利用余弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，，由正弦定理，得， 所以的值是4. （2）在中，，由余弦定理，得， 则有，即，解得， 所以的值为1. 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，， (1)求b (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得. （2）利用正弦定理求得. 【详解】（1）由余弦定理， 所以. （2）由正弦定理. 7．在中，内角对边的边长分别是，已知，． (1)若的面积等于，求； (2)若，求的面积． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【详解】试题分析：（1）由余弦定理及已知条件得，， 又因为△ABC的面积等于，所以，得. 联立方程组解得. （Ⅱ），由正弦定理得， 联立方程组 解得， 所以的面积 点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，考查了函数方程思想，在两道小题中，均通过建立方程组，以便求的等． 8．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求边的长度和的面积. 【答案】(1) (2)，的面积为 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理即可求解； （2）根据题意，得到，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得：， 又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以， 的面积. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得, 又，∴. （2）∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 10．在中，，，． (1)求； (2)求的外接圆的半径与的面积． 【答案】(1) (2)半径，2 【详解】解：（1）由余弦定理，得， 即，整理可得，解得． （2）由，得． 由正弦定理，得的外接圆的半径， 的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 解三角形（复习讲义） 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：正弦定理解三角形【核心重点】 6 考点二：余弦定理解三角形【核心重点】 6 考点三：正余弦定理综合应用 7 考点四：三角形周长问题【重难点】 8 考点五：三角形面积问题【高频考点】 10 04 实战演练 12 考情解读 考试要求 掌握正弦定理与余弦定理，利用正弦定理与余弦定理解三角形，掌握三角形的面积公式，解决解三角形周长问题。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 正弦定理 5年5考 正弦定理求三角形的边 预测2027年在解答题中考查正弦定理求三角形的边 余弦定理 5年4考 余弦定理求三角形的边 预测2027年在解答题中考查余弦定理求三角形的边 三角形面积公式 5年2考 三角形面积公式求面积 预测2027年在解答题中考查三角形面积公式求面积 知识梳理 知识点1、正弦定理 1. 正弦定理：在 中， （ 为 外接圆半径）。 1. 变形： · ，，； · ； · 。 1. 适用题型： · 已知两角和任一边； · 已知两边和其中一边的对角。 必记结论 · 正弦定理揭示了“边”与“对角正弦”的比例关系。 · 大边对大角、大角对大边：。 · 已知两角一边时，三角形唯一确定。 · 已知两边一对角时，可能有两解、一解、无解（见避坑）。 · 内角和 是隐含条件。 ⚠️避坑指南 ❌ 已知 、 和 时，不判断解的个数直接算。判断方法： 为锐角： 无解； 一解； 两解； 一解； 为钝角或直角： 一解； 无解。 ❌ 忘记用 求第三个角。 ❌ 直接推出 ——错，还可能 （但三角形中此时 ，不可能），所以实际 。 ❌ 外接圆半径 与内切圆半径 混淆。 自主检测已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A． B． C．或 D． 知识点2、余弦定理 1. 余弦定理： · ； · ； · 。 1. 变形（求角）： · ； · ； · 。 1. 适用题型： · 已知两边及其夹角； · 已知三边。 必记结论 · 勾股定理是余弦定理在 时的特例（）。 · 判断三角形形状： （直角）； 为钝角； 为锐角。 · 余弦定理求角时， 值唯一对应 内的角，不会有两解问题。 · 已知两边一对角时，也可用余弦定理列方程求第三边。 ⚠️避坑指南 ❌ 钝角时 为负， 中减号加负数实际是加，符号易算错。 ❌ 余弦定理记错形式，如写成 。 ❌ 用余弦定理求角后不判断角的范围（）。 ❌ 判断三角形形状时，只看最大边对应的角，忽略其他角可能也是钝角的情况（实际最大角是钝角则三角形为钝角三角形）。 自主检测在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 知识点3、三角形面积公式 1. 基本公式：。 2. 两边及夹角公式： · ； · ； · 。 3. 与外接圆结合：。 4. 与内切圆结合：（ 为内切圆半径）。 必记结论 · 面积公式选择： 已知两边及其夹角——直接用 ； 已知三边——先求角再用夹角公式； 已知一边及对角——结合正弦定理求另一边乘积。 · 中，夹角 是 、 的夹角，不能错代。 · 面积与周长、内切圆半径关系：。 · 面积最值常结合基本不等式或三角函数求。 ⚠️避坑指南 ❌ 夹角代错。 中 是 、 的夹角，不是 、 的夹角。 ❌ 已知两边及一对角时，不先求夹角就硬套公式。 自主检测在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 考点精讲 考点一 正弦定理解三角形 例1已知 的内角，， 的对边分别为，，，，，，则 （    ） A． B． C． D． 例2在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 解题策略 正弦定理解三角形 · 已知两角一边：先用内角和求第三角，再用正弦定理求其余两边。 · 已知两边一对角： 用正弦定理求另一角的正弦值； 判断角（锐角/钝角）； 注意两解情况； 求第三角和第三边。 · 边角互化：遇到边的齐次式，用 化为角；遇到角的齐次式，用 化为边。 【变式1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 考点二 余弦定理解三角形 例3在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例4在中，，，，则_________． 解题策略 余弦定理解三角形 · 已知两边夹角：先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其余角。 · 已知三边：用余弦定理求最大边所对角（判断形状），再求其余角。 · 已知两边一对角：列余弦定理方程 ，解出第三边 （可能两解）。 · 判断形状：求最大边对应角的余弦，定直角/锐角/钝角。 【变式1】在中，角，，所对的边分别为，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则____________． 考点三 正余弦定理综合应用 例5设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的直径为________． 例6已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 解题策略 正余弦定理综合应用 · 统一思想：条件式含边就化角，含角就化边，统一后再化简。 · 判断形状： 把条件式化为边或角； 因式分解找关系（如 ）； 下结论。 · 综合求值： 用正弦定理化边为角； 用三角恒等变换化简； 结合内角和求角。 【变式1】在中，，则 ________. 【变式2】在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 考点四 三角形周长问题 例7在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． (1)求角； (2)求的周长． 例8在中，，，． (1)求； (2)若角为钝角，求的周长． 解题策略 三角形周长问题 · 已知一边和对角求周长范围： 由正弦定理 ； ； 用 消元，化为 ； 辅助角公式合并； 根据 的范围（）求值域。 · 已知两边及夹角：先用余弦定理求第三边，再相加。 · 周长最值：通常在等腰（）时取到。 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【变式2】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，且的面积为，求的周长． 考点五 三角形面积问题 例9已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求△ABC外接圆的面积； (2)若，求的面积． 例10在中，． (1)求的值； (2)求的面积． 解题策略 三角形面积问题 · 已知两边夹角：直接 。 · 已知三边： 用余弦定理求一个角的余弦； 求该角正弦； 代入 。已知一边和对角： 用正弦定理把 、 用 、 表示； 代入 ； 结合 求范围。 · 面积最值： 已知 和 ：，求 范围； 或用基本不等式 。 【变式1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积． 【变式2】在中，所对的边分别为，已知 (1)求的值； (2)求的面积． 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值； (2)求的面积． 2．（2025高三上·广东·学业考试）在中，已知，，． (1)求； (2)如为的中点，求的长． 3．（2024高三上·广东·学业考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求的值； (2)求的面积； 4．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 5．在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，， (1)求b (2)求的值 7．在中，内角对边的边长分别是，已知，． (1)若的面积等于，求； (2)若，求的面积． 8．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求边的长度和的面积. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 10．在中，，，． (1)求； (2)求的外接圆的半径与的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $