专题09 平面向量（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题09 平面向量 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 8 考点一：向量的线性运算与几何表示【核心重点】 8 考点二：平面向量的数量积【核心重点】 10 考点三：平面向量的坐标运算【核心重点】 11 考点四：向量的共线与垂直相关计算【重难点】 13 考点五：向量的夹角、模与投影相关计算【高频考点】 14 04 实战演练 16 考情解读 考试要求 理解向量的概念与线性运算；理解平面向量基本定理，掌握坐标表示与坐标运算；理解数量积的定义与几何意义，会用它判断共线与垂直、求夹角与模。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 向量的线性运算与几何表示 5年5考 三角形、平行四边形中的线性运算 预测2027年在选择题中考查向量的线性运算与几何表示 平面向量的数量积 5年4考 平面向量数量积的应用 预测2027年在选择题中考查平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 5年4考 坐标形式下的数量积计算 预测2027年在选择或填空题中考查平面向量的坐标运算 知识梳理 知识点1、向量的线性运算与几何表示 1. 向量定义：既有大小又有方向的量。向量的大小叫模，记作 。 1. 特殊向量： · 零向量 ：模为 ，方向任意； · 单位向量：模为 ； · 相等向量：大小相等且方向相同； · 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，规定 与任意向量平行。 1. 加法： · 三角形法则：首尾相接，从起点指向终点； · 平行四边形法则：共起点，对角线为和。 1. 减法：共起点，差向量从减向量终点指向被减向量终点。 1. 数乘 ： 同向； 反向；。 1. 线性运算律：交换律、结合律、分配律。 必记结论 · 三角形法则要求“首尾相接”；平行四边形法则要求“共起点”。 · 向量减法： 从 终点指向 终点的向量。 · 中点公式：若 是 中点，则 。 · 三角形中：；。 · 向量共线定理：（）与 共线 存在唯一实数 使 。 ⚠️避坑指南 ❌ 把向量与数量混淆。向量有方向，不能比较大小；模可以比较。 ❌ 忽略零向量的特殊性。 方向任意，与任意向量平行、垂直。 ❌ 共线向量与平行向量当成两个概念——它们是一回事。 ❌ 减法方向画反。 是从 指向 ，不是从 指向 。 自主检测已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算，直接利用基底来表示向量. 【详解】由题得， .    知识点2、平面向量的数量积 1. 定义：（ 为 与 的夹角，）。 1. 几何意义： 等于 与 在 方向上投影 的乘积。 1. 性质： · ； · ； · ； · 。 1. 运算律： · 交换律：； · 分配律：； · 数乘结合律：。 必记结论 · 数量积结果是数量（实数），不是向量。 · ，反过来 ——求模的核心公式。 · 不能推出 或 （只要垂直即可）。 · 数量积不满足结合律：。 · 数量积不满足消去律：（）不能推出 。 · 由 可展开求值。 ⚠️避坑指南 ❌ 把数量积当成向量运算，结果写成带箭头的形式。 ❌ 滥用结合律，写 。 ❌ 滥用消去律，由 推出 。 ❌ 夹角 范围记错，以为 ——实际是 。 自主检测已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 知识点3、平面向量的坐标运算 1. 坐标表示：，起点原点时终点坐标即向量坐标。 1. 向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标：若 、，则 。 1. 线性运算： · ； · 。 1. 数量积：。 1. 模：。 1. 夹角余弦：。 必记结论 · 坐标差方向：永远是终点减起点，不是起点减终点。 · 数量积坐标公式：（对应相乘再相加）。 · 模长公式：。 · 共线条件：（交叉相乘相等）。 · 垂直条件：（数量积为 ）。 ⚠️避坑指南 ❌ 向量坐标算成起点减终点，方向反了。 ❌ 数量积算成 ——这是向量，错。结果是一个数 。 ❌ 共线条件写成 ——错，应该是 （交叉相乘）。 ❌ 垂直条件写成 ——错，应该是 号。 自主检测已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（   ） A．6 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图平面直角坐标系. 于是， 所以 所以. 知识点4、向量的共线与垂直 1. 共线（平行）： · 几何：（）； · 坐标：，，。 1. 垂直： · 几何：； · 坐标：。 1. 三点共线：、、 共线 与 共线 。 1. 分点公式：若 在 上且 ，则 。 必记结论 · 共线看交叉相乘：。 · 垂直看对应相乘相加为 0：。 · 零向量： 与任意向量共线，也与任意向量垂直。 · 三点共线问题转化为两向量共线。 · 中点公式是分点公式 的特例。 ⚠️避坑指南 ❌ 共线与垂直条件记反。共线是交叉相乘相等；垂直是对应相乘相加为 。 ❌ 忽略零向量。题目说“”时， 或 也成立。 ❌ 三点共线只证 ，不强调它们有公共点 ——没有公共点就不是共线。 ❌ 分点公式中 、 写反。 时，。 自主检测设向量，，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，由得， 即，解得． 知识点5、向量的夹角、模与投影 1. 夹角定义： 与 共起点时，所成的 的角。 1. 夹角公式：。 1. 模：；。 1. 投影： · 在 方向上的投影数量 ； · 投影向量 。 1. 两点距离：。 必记结论 · 夹角 ：锐角 ；直角 ；钝角 。 · 投影是数量，可正可负： 为锐角投影为正，钝角为负，直角为 。 · 为锐角或 ； 为钝角或 。 · （柯西不等式）。 · （平行四边形对角线平方和）。 ⚠️避坑指南 ❌ 夹角范围记错，以为 ——实际是 。 ❌ 直接推 为锐角——可能 （同向）。 ❌ 把投影当成向量。投影数量是实数，投影向量才带方向。 ❌ 锐角、钝角判断时不排除共线（ 或 ）的特殊情况。 自主检测已知，，，若，则在方向上的投影向量的长度为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题可得，解得， 则， 因此在方向上的投影向量的长度为. 考点精讲 考点一 向量的线性运算与几何表示 例1设不共线，，若三点共线，则实数p的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】， ． 又∵三点共线，共线． 设，， 不共线， ． 例2在中，，点在上，若，则__________． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算将用和表示出来，再由，，三点共线即可求解. 【详解】， 因为，所以， 因为，，三点共线，所以，解得. 解题策略 向量的线性运算与几何表示 · 几何作图题：用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示。 · 表示未知向量：选一组基底（不共线的两个向量），把目标向量用基底线性表示。 · 中点问题：直接用 。 · 重心公式： 重心 满足 。 · 共线判断：看能否写成 的形式。 【变式1】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在中, 因为所以,在中， 故. 【变式2】设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】由三点共线推出与共线，结合共线向量定理和平面向量基本定理列方程组求解即可. 【详解】因为三点共线，所以. 根据共线向量定理，存在实数，使得， 即 ，整理得：. 由于，是不共线的向量，所以， 解得. 故实数的值为. 考点二 平面向量的数量积 例3已知向量满足，且，则向量在向量上的投影数量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一个向量在另一个向量上的投影数量公式求解即可. 【详解】因为，且， 由向量投影的定义，向量在向量上的投影数量为：. 例4平面向量的夹角为，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得：. 解题策略 平面向量的数量积 · 求模：，。 · 判断垂直：算 ，等于 即垂直。 · 求夹角：，再由 定角。 · 展开式：遇到 、 这类，按多项式乘法展开，注意 、。 · 几何意义应用：投影 ，可正可负。 【变式1】已知向量、，，，与夹角等于，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，所以. 【变式2】已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，则， 又，，则. 考点三 平面向量的坐标运算 例5已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量，，再利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知， 两式相减，即，得， 所以， 因此. 例6已知平面向量，，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，，， 所以， 因为，所以与的夹角为. 解题策略 平面向量的坐标运算 · 建系坐标化：几何问题能建系就建系，把所有向量用坐标表示，运算化为代数运算。 · 已知向量求坐标：终点坐标减起点坐标。 · 求参数：共线/垂直条件列方程解参数。 · 模、夹角、投影：直接套坐标公式。 【变式1】已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为，且， 所以在方向上的投影向量为， 故该投影向量的模为. 【变式2】已知向量，，，若，则__________． 【答案】 【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，则. 又，则 . 即 ，整理得，解得. 考点四 向量的共线与垂直相关计算 例7已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据， 由可知，不满足平行关系，A错误； 由可知，不满足垂直关系，B错误； 因为，， 由可知，不满足平行关系，C错误； 由可知，满足垂直关系，D正确． 例8已知向量与的夹角为，，，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的定义可求出的值，根据题意得出，结合平面向量数量积运算性质可求得的值. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，解得. 解题策略 向量的共线与垂直相关计算 · 判断共线：坐标化后算 。 · 判断垂直：坐标化后算 。 · 三点共线求参数：由 列方程。 · 分点问题：套分点公式，或用待定系数设 列方程。 · 存在性问题：假设共线/垂直，列方程看是否有解。 【变式1】已知平面向量，，且，则_______． 【答案】 【详解】因为向量，，则， 又因为，则，可得，解得. 【变式2】若向量，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两向量垂直的性质，及向量模长公式求解即可． 【详解】由，， 则， 所以． 考点五 向量的夹角、模与投影相关计算 例9已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【详解】因为向量，， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 例10已知向量，，若，则向量，的夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以， 所以向量，的夹角的余弦值为. 解题策略 向量的夹角、模与投影相关计算 · 求夹角：算 、、，套 公式，再由 定角。 · 求模：先算 ，再开方。 · 求投影：（数量）；要向量再乘 。 · 判断锐钝角：看 正负，但要排除共线（ 或 ）。 · 几何图形中：建系坐标化最直接；不建系就用 展开。 【变式1】已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据向量夹角为锐角，得到不等式，求出答案. 【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，而，解得. 【变式2】已知向量，，向量在向量上投影向量的坐标为________________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】由题知，向量与向量的夹角余弦值为， 则向量在向量上投影向量的坐标为. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 则，解得． 故选：D. 2．（2025高三上·广东·学业考试）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 3．（2024高三上·广东·学业考试）已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长坐标运算直接求解即可. 【详解】，. 故选：A. 4．非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义及垂直关系的向量表示，结合向量数量积运算律求解即可. 【详解】由向量在向量上的投影向量为，可得， 所以，则. 因为，所以， 即. 也即. 因为，所以， 即，解得. 5．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若， 则， 又，，所以， 故“”是“”的充要条件. 6．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则______．    【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，由向量的三角形法则，得 ． 故答案为： 7．（2025高三上·广东·学业考试）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 【答案】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 8．（2024高三上·广东·学业考试）已知，，则_________. 【答案】 【分析】利用数量积的运算法则将展开，结合求解即可1. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 9．如果单位向量满足6，则__________． 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以 ，求得， 所以. 10．已知向量．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为 若，的夹角为钝角，则，所以，解得 若，其中，则 由，解得，从而． 此时，两向量夹角为，不是钝角，故应舍去． 因此实数的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平面向量 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：向量的线性运算与几何表示【核心重点】 7 考点二：平面向量的数量积【核心重点】 8 考点三：平面向量的坐标运算【核心重点】 9 考点四：向量的共线与垂直相关计算【重难点】 9 考点五：向量的夹角、模与投影相关计算【高频考点】 10 04 实战演练 11 考情解读 考试要求 理解向量的概念与线性运算；理解平面向量基本定理，掌握坐标表示与坐标运算；理解数量积的定义与几何意义，会用它判断共线与垂直、求夹角与模。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 向量的线性运算与几何表示 5年5考 三角形、平行四边形中的线性运算 预测2027年在选择题中考查向量的线性运算与几何表示 平面向量的数量积 5年4考 平面向量数量积的应用 预测2027年在选择题中考查平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 5年4考 坐标形式下的数量积计算 预测2027年在选择或填空题中考查平面向量的坐标运算 知识梳理 知识点1、向量的线性运算与几何表示 1. 向量定义：既有大小又有方向的量。向量的大小叫模，记作 。 1. 特殊向量： · 零向量 ：模为 ，方向任意； · 单位向量：模为 ； · 相等向量：大小相等且方向相同； · 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，规定 与任意向量平行。 1. 加法： · 三角形法则：首尾相接，从起点指向终点； · 平行四边形法则：共起点，对角线为和。 1. 减法：共起点，差向量从减向量终点指向被减向量终点。 1. 数乘 ： 同向； 反向；。 1. 线性运算律：交换律、结合律、分配律。 必记结论 · 三角形法则要求“首尾相接”；平行四边形法则要求“共起点”。 · 向量减法： 从 终点指向 终点的向量。 · 中点公式：若 是 中点，则 。 · 三角形中：；。 · 向量共线定理：（）与 共线 存在唯一实数 使 。 ⚠️避坑指南 ❌ 把向量与数量混淆。向量有方向，不能比较大小；模可以比较。 ❌ 忽略零向量的特殊性。 方向任意，与任意向量平行、垂直。 ❌ 共线向量与平行向量当成两个概念——它们是一回事。 ❌ 减法方向画反。 是从 指向 ，不是从 指向 。 自主检测已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点2、平面向量的数量积 1. 定义：（ 为 与 的夹角，）。 1. 几何意义： 等于 与 在 方向上投影 的乘积。 1. 性质： · ； · ； · ； · 。 1. 运算律： · 交换律：； · 分配律：； · 数乘结合律：。 必记结论 · 数量积结果是数量（实数），不是向量。 · ，反过来 ——求模的核心公式。 · 不能推出 或 （只要垂直即可）。 · 数量积不满足结合律：。 · 数量积不满足消去律：（）不能推出 。 · 由 可展开求值。 ⚠️避坑指南 ❌ 把数量积当成向量运算，结果写成带箭头的形式。 ❌ 滥用结合律，写 。 ❌ 滥用消去律，由 推出 。 ❌ 夹角 范围记错，以为 ——实际是 。 自主检测已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（    ） A． B． C． D． 知识点3、平面向量的坐标运算 1. 坐标表示：，起点原点时终点坐标即向量坐标。 1. 向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标：若 、，则 。 1. 线性运算： · ； · 。 1. 数量积：。 1. 模：。 1. 夹角余弦：。 必记结论 · 坐标差方向：永远是终点减起点，不是起点减终点。 · 数量积坐标公式：（对应相乘再相加）。 · 模长公式：。 · 共线条件：（交叉相乘相等）。 · 垂直条件：（数量积为 ）。 ⚠️避坑指南 ❌ 向量坐标算成起点减终点，方向反了。 ❌ 数量积算成 ——这是向量，错。结果是一个数 。 ❌ 共线条件写成 ——错，应该是 （交叉相乘）。 ❌ 垂直条件写成 ——错，应该是 号。 自主检测已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（   ） A．6 B． C．0 D． 知识点4、向量的共线与垂直 1. 共线（平行）： · 几何：（）； · 坐标：，，。 1. 垂直： · 几何：； · 坐标：。 1. 三点共线：、、 共线 与 共线 。 1. 分点公式：若 在 上且 ，则 。 必记结论 · 共线看交叉相乘：。 · 垂直看对应相乘相加为 0：。 · 零向量： 与任意向量共线，也与任意向量垂直。 · 三点共线问题转化为两向量共线。 · 中点公式是分点公式 的特例。 ⚠️避坑指南 ❌ 共线与垂直条件记反。共线是交叉相乘相等；垂直是对应相乘相加为 。 ❌ 忽略零向量。题目说“”时， 或 也成立。 ❌ 三点共线只证 ，不强调它们有公共点 ——没有公共点就不是共线。 ❌ 分点公式中 、 写反。 时，。 自主检测设向量，，．若，则（    ） A． B． C． D． 知识点5、向量的夹角、模与投影 1. 夹角定义： 与 共起点时，所成的 的角。 1. 夹角公式：。 1. 模：；。 1. 投影： · 在 方向上的投影数量 ； · 投影向量 。 1. 两点距离：。 必记结论 · 夹角 ：锐角 ；直角 ；钝角 。 · 投影是数量，可正可负： 为锐角投影为正，钝角为负，直角为 。 · 为锐角或 ； 为钝角或 。 · （柯西不等式）。 · （平行四边形对角线平方和）。 ⚠️避坑指南 ❌ 夹角范围记错，以为 ——实际是 。 ❌ 直接推 为锐角——可能 （同向）。 ❌ 把投影当成向量。投影数量是实数，投影向量才带方向。 ❌ 锐角、钝角判断时不排除共线（ 或 ）的特殊情况。 自主检测已知，，，若，则在方向上的投影向量的长度为（    ） A． B． C．2 D． 考点精讲 考点一 向量的线性运算与几何表示 例1设不共线，，若三点共线，则实数p的值为（   ） A． B． C．1 D．2 例2在中，，点在上，若，则__________． 解题策略 向量的线性运算与几何表示 · 几何作图题：用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示。 · 表示未知向量：选一组基底（不共线的两个向量），把目标向量用基底线性表示。 · 中点问题：直接用 。 · 重心公式： 重心 满足 。 · 共线判断：看能否写成 的形式。 【变式1】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 考点二 平面向量的数量积 例3已知向量满足，且，则向量在向量上的投影数量为（ ） A． B． C． D． 例4平面向量的夹角为，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 解题策略 平面向量的数量积 · 求模：，。 · 判断垂直：算 ，等于 即垂直。 · 求夹角：，再由 定角。 · 展开式：遇到 、 这类，按多项式乘法展开，注意 、。 · 几何意义应用：投影 ，可正可负。 【变式1】已知向量、，，，与夹角等于，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 平面向量的坐标运算 例5已知，则（   ） A． B． C． D． 例6已知平面向量，，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 解题策略 平面向量的坐标运算 · 建系坐标化：几何问题能建系就建系，把所有向量用坐标表示，运算化为代数运算。 · 已知向量求坐标：终点坐标减起点坐标。 · 求参数：共线/垂直条件列方程解参数。 · 模、夹角、投影：直接套坐标公式。 【变式1】已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2】已知向量，，，若，则__________． 考点四 向量的共线与垂直相关计算 例7已知向量，则（   ） A． B． C． D． 例8已知向量与的夹角为，，，且，则实数（   ） A． B． C． D． 解题策略 向量的共线与垂直相关计算 · 判断共线：坐标化后算 。 · 判断垂直：坐标化后算 。 · 三点共线求参数：由 列方程。 · 分点问题：套分点公式，或用待定系数设 列方程。 · 存在性问题：假设共线/垂直，列方程看是否有解。 【变式1】已知平面向量，，且，则_______． 【变式2】若向量，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 考点五 向量的夹角、模与投影相关计算 例9已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 例10已知向量，，若，则向量，的夹角的余弦值为______. 解题策略 向量的夹角、模与投影相关计算 · 求夹角：算 、、，套 公式，再由 定角。 · 求模：先算 ，再开方。 · 求投影：（数量）；要向量再乘 。 · 判断锐钝角：看 正负，但要排除共线（ 或 ）。 · 几何图形中：建系坐标化最直接；不建系就用 展开。 【变式1】已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是__________. 【变式2】已知向量，，向量在向量上投影向量的坐标为________________． 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2025高三上·广东·学业考试）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 3．（2024高三上·广东·学业考试）已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则______．    7．（2025高三上·广东·学业考试）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 8．（2024高三上·广东·学业考试）已知，，则_________. 9．如果单位向量满足6，则__________． 10．已知向量．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $