23讲 裂项法数列求和讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 数列 第 23 讲 · 把一项拆成两项 01 题眼 本讲只练一个动作 把一项拆成两项：让这一项的“尾”，接上下一项的“头”。 数列求和难，多半难在“加”。只要每一项都能写成 的样子，加法就变成了减法： 中间的 、 成对归零，最后只剩首尾两个值。 本讲只练一个动作： 先找“差”，再把一项写成两项之差 。主例中， 会被写成 求和时中间项全部消去，一行得到 。全程不需要先猜答案。 这不是背一张“裂项公式表”。审题时只问一句： 这一项，能不能写成同一个东西在相邻两处的差？ 02 识别 不是所有和式都值得裂项。出现下面三个信号之一，才动手。 信号一 · 分母是两个同型因子之积。 、 都是“同一个等差序列里的两项相乘”。同型，才谈得上稳定的“差”；差是常数，裂出来的系数才是常数。 信号二 · 分子恰好是两因子之差。 中，分子 ； 中，分子 。分子不是白给的，它在提示你：差在这里。 信号三 · 分母带根号，能有理化。 有理化后，分子就是 ，一步完成拆分。 图 1: 裂项求和的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 看分母：能不能写成两个同型因子的积？ 第 2 步 求差：两因子相减，差是常数 ，还是恰好等于分子？ 第 3 步 裂开：差为常数，前面乘 ；差就是分子，系数取 1。 第 4 步 数首尾：这一项的后因子，和下一项的前因子接得上吗？接不上，就数清首尾各剩几项。 03 双解对照 下面这道题，两条路的分岔口在“要不要先知道答案”。先看常规解怎么猜，再看少算解怎么不猜。 例题 · 分母两因子相差 2 求数列 的前 项和 。 先把题干里的“免费信息”读出来。 每一项的分母，两个因子相差 2；第 项的后因子 ，正好是第 项的前因子。这个“首尾相接”，就是能消的凭证。 常规解 · 算：先算三项，猜通项，再归纳证明 先逐项相加，看前三项： 分母是 3,5,7，分子是 1,2,3，猜 再用数学归纳法证明。 时显然成立。假设 时成立，则 所以 时也成立。 这条路每一步都对，代价是先要“看见”答案 。三项对了才能猜；猜错一次，归纳写得再漂亮也白做。若把分母换成 ，前三项是 ，猜的难度立刻上来。 少算解 · 想：一项拆成两项 第一步，求差。 分母的两个因子 与 相差 2，所以裂项后前面要乘 。 第二步，裂开。 验证只需通分一次：右边通分后分子是 ，正好补上系数 。 第三步，相加相消。 裂项的过程本身就是证明，不必再做归纳。取 得 ，取 得 ，与逐项相加一致。 两条路的分水岭是“猜不猜”。常规解要先算三项、看出规律、写出猜想，再用归纳法把猜想坐实；少算解从头到尾不知道答案长什么样，只做了一次通分和一次相消。省掉的具体动作是：逐项试算、观察规律、提出猜想、归纳证明——四步都在“找答案”，没有一步在“算和”。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 逐项算出 求分母两因子的差，得 2 关键难点 从三项里看出 通分验证系数 运算量 步骤数 四步 三步 主要风险 猜错，或漏证 的起点 跨度不是 1 时漏掉首尾项 图 2: 中间项成对抵消，只剩首尾 读图只看两件事：每一行的“后半”，是不是下一行的“前半”；谁没有搭档。1 只当过“前半”，其余项都成对归零；唯一只当过“后半”的，是末尾的 。 04 迁移 同一个动作，换两种外壳：一种把根号有理化，一种把指数看成一个整体。变的是一“项”长什么样，不变的是“先求差，再写成一减一”。 （一）根式外壳：有理化就是裂项 迁移一 求 。 少算解 · 想：分母有理化 分子分母同乘 ： 于是 有理化不是额外的化简步骤，它做的就是“把一项拆成两项”。分母的差 ，所以系数正好是 1。 （二）指数外壳：把 看成一个整体 迁移二 求 。 少算解 · 想：整体代换 令 ，则 ，第 项是 而两个因子的差 ，恰好等于分子。所以 相加： 分子不是 1 也不怕：只要它等于两因子的差，系数就取 1。 05 边界 裂项最容易错的地方，不是拆不开，而是“消不净”。看到“中间全消、只剩首尾”就照搬，跨度一变就会漏项。 反例 · 跨度不是 1 求 。 机械套用会得到错误答案 裂开是对的： 但若照搬“中间全消、只剩首尾”，会得到下面的错解： 取 ：原式 ，而上式给 。，可见这个结果是错的。 错在哪： 是第 1 项的后因子，下一项 的前因子是 ，接不上；要跳到 的前因子 ，才抵消。中间并没有“全消”。 正确的读法。 把加法拆成两列看： 相消之后，前面剩 ，后面剩 ： 代 得 ，与逐项相加一致。 一般地，若一项写成 ，首尾就各留 项； 时才恰好“只剩首尾两项”。相消看的是“接力”：这一项的后因子，必须等于下一项的前因子；接不上，就要把首尾数清。 图 3: 首尾各留 项，中间才全消 一句话： 相消看“接力”，不只看“拆开”；接不上，就数清首尾各剩几项。 06 自测 三题，限时 12 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 求 。 自测 2 求 。 自测 3 求 。 07 速查卡 表 2: 一项拆成两项·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 两因子之差 乘 ，写成一减一 下一项前因子接得上吗 ， 跨度 首尾各留 项 不要照搬“只剩两项” 分母带 有理化后的分子 写成 分母不为 0 分子恰是两因子之差 差与分子的比 系数取 1，直接拆 整体代换后差是否不变 先拆最外两层 乘 保留外层 余下部分还能不能继续拆 本讲结论 先看分母的两个因子：差是常数，就按“”裂开；差恰好是分子，系数就取 1。拆完再数首尾——后因子接不上下一项，就各留 项。 裂项四问 本讲关键词：裂项 · 差值 · 首尾相接 · 剩余项数 · 相消 下一讲 · 只放需要的那一段 数列不等式里的放缩，不必每项都放大。先看哪一段卡住求和，只放那一段，其余原样保留。 08 参考答案 以下解析对应第 06 节的三道自测。先独立完成，再对照每题的“路径回看”，检查自己的判断。 自测 1　【答案】。 【解析】 分母两因子 与 相差 3，所以 第 项的后因子 正好是第 项的前因子，中间项全部抵消： 【路径回看】 等差两因子相乘，先算差 ，系数取 ；再确认首尾相接。 自测 2　【答案】。 【解析】 把最外两层看成两个整体： 与 。通分后的分子是 ，所以 相加： 取 ：原式 ，公式给 ，一致。 【路径回看】 三因子连乘，把最外两层各看成一个整体，先裂成两项。 自测 3　【答案】。 【解析】 分子 恰好可以写成 ，于是 。相加： 【路径回看】 分子不是 1，先问它是不是两因子的差；差是分子，系数取 1。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 分母差为 3，系数取 下一项前因子与这一项后因子相接 数值校验 2 三因子连乘 外层两整体之差为 数值校验 3 分子恰为两因子之差 阶乘递推 数值校验 学科网（北京）股份有限公司 $