专题08 三角恒等变换（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题08 三角恒等变换 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：两角和与差公式【核心重点】 6 考点二：二倍角公式与三角式化简【核心重点】 7 考点三：辅助角公式【核心重点】 8 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 掌握两角和与差公式与三角式化简，掌握二倍角公式与三角式化简，掌握辅助角公式，能熟练利用三角恒等变换的相关公式进行综合计算。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 两角和与差公式 5年2考 和差公式与切化弦 预测2027年在选择题中考查和差公式与切化弦 二倍角公式与三角式化简 5年1考 齐次式化切 预测2027年在选择题中考查齐次式化切 辅助角公式 5年1考 辅助角公式 预测2027年在选择或填空题中考查辅助角公式 知识梳理 知识点1、两角和与差公式 1. 和差角公式： · ； · ； · 。 1. 公式的正用、逆用、变用： · 正用：由单角求复角； · 逆用：由复角化单角（如 合并为 ）； · 变用：。 1. 角的拆分与拼合： · ；； · ；； · 等。 必记结论 · 符号规律： ：左右符号相同（同号）； ：左右符号相反（异号）； ：分子同号，分母异号。 · 公式要求 、、（）。 · “凑角”思想：已知角和所求角之间有和差关系时，优先用凑角。 · 、 是常用特殊组合，结果要熟。 ⚠️避坑指南 ❌ 符号写错，写成 （应为减）。 ❌ 不会凑角。看到 、 这种条件，想不到 。 ❌ 忽略公式成立条件（、 使各三角函数有意义）。 ❌ 给值求角时，求出 值后直接写角，不判断角的范围，导致多解。 自主检测若，则（   ） A． B． C． D． 知识点2、二倍角公式 1. 二倍角公式： · ； · ； · 。 1. 降幂公式（半角变形）： · ； · ； · 。 1. 升幂公式： · ； · ； · 。 1. 半角公式（了解）： · ； · ； · （无符号问题）。 必记结论 · 有三种形式，根据已知条件选择： 已知 用 ； 已知 用 ； 同时已知 、 用 。 · 降幂公式是处理高次三角函数的核心工具，逢 、 必降。 · 1 的代换：，灵活选用。 · 是”升倍”，反过来 是”降次”。 ⚠️避坑指南 ❌ 错写成 （漏了 ）。 ❌ 选错形式，导致计算复杂或符号错。 ❌ 半角公式开方不判断符号，直接写 或漏写符号。 ❌ 降幂公式符号记错，，。 自主检测已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点3、辅助角公式 1. 辅助角公式： · 其中 ，，。 1. 常见特例： · ； · ； · 。 1. 作用：把 化为单一三角函数，便于求周期、最值、单调区间、对称轴。 必记结论 · 合并后振幅为 ，最大值 ，最小值 。 · 合并后周期仍为 （ 系数为 时）；若原式为 ，则周期 。 · 的象限由 的符号决定： ： 在第一象限； ： 在第二象限； ： 在第三象限； ： 在第四象限。 · 习惯上优先化为 ；也可化为 ，但 会不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 辅助角 乱写。必须由 、 共同确定，不能只由 决定（ 不能判象限）。 ❌ 振幅算错。 不是 ，也不是 。 ❌ 把 化为 形式时， 不重新算，硬套 的 。 ❌ 为负数时不先提负号，导致 落在错误象限。 自主检测（    ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 两角和与差公式 例1（    ） A． B． C． D． 例2已知，且，. (1)求的值； (2)求角的大小. 解题策略 两角和与差公式 · 给角求值：把非特殊角拆成特殊角 未知角，再套公式。 · 给值求值： 找已知角与所求角的和差关系； 用凑角把所求角用已知角表示； 套公式展开； 注意每一项的符号由角所在象限决定。 · 给值求角： 选合适的三角函数（正切或余弦，避免多解）； 求函数值； 根据角的范围定角（范围越小越唯一）。 · 公式逆用：看到 “” 结构，直接合并为 。 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，，求和的值； 考点二 二倍角公式与三角式化简 例3若，则下列一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例4的值为__________. 解题策略 二倍角公式与三角式化简 · 化简题： 遇二次项用降幂公式； 遇 用 ； 遇 用升幂公式化为平方。 · 给值求值： 已知单角函数值，求二倍角——直接套公式； 已知二倍角，求单角——用降幂/半角，注意符号。 · 证明题：从高次向低次化，或从低次向高次化，统一角度后比较。 · 求周期/最值：先降幂化为一次式，再合并为 或直接观察。 【变式1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则_______. 考点三 辅助角公式 例5的值为（    ） A． B． C． D． 例6______. 解题策略 辅助角公式 · 化简 ： 提 ； 定 （由 、 符号和 ）； 写成 。 · 求最值：直接读振幅，最大值 ，最小值 。 · 求周期：（ 为 的系数）。 · 求单调区间/对称轴：化为 后，套 的性质，注意 整体替换。 · 见特殊系数 、、：直接用特例公式，不必每次重算 。 · 为负：先提负号把 变正，再用辅助角公式，避免 跨象限。 【变式1】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的值域为______； 实战训练 1． （    ） A． B． C． D． 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 3． ， ，则（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．已知，则______________. 6．已知，，则____________________． 7．若，，并且，则的值为_________. 8．已知均为第一象限角，且，则___________． 9．化简求值． (1)； (2). 10．已知角为锐角，且满足方程． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角恒等变换 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：两角和与差公式【核心重点】 6 考点二：二倍角公式与三角式化简【核心重点】 8 考点三：辅助角公式【核心重点】 10 04 实战演练 11 考情解读 考试要求 掌握两角和与差公式与三角式化简，掌握二倍角公式与三角式化简，掌握辅助角公式，能熟练利用三角恒等变换的相关公式进行综合计算。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 两角和与差公式 5年2考 和差公式与切化弦 预测2027年在选择题中考查和差公式与切化弦 二倍角公式与三角式化简 5年1考 齐次式化切 预测2027年在选择题中考查齐次式化切 辅助角公式 5年1考 辅助角公式 预测2027年在选择或填空题中考查辅助角公式 知识梳理 知识点1、两角和与差公式 1. 和差角公式： · ； · ； · 。 1. 公式的正用、逆用、变用： · 正用：由单角求复角； · 逆用：由复角化单角（如 合并为 ）； · 变用：。 1. 角的拆分与拼合： · ；； · ；； · 等。 必记结论 · 符号规律： ：左右符号相同（同号）； ：左右符号相反（异号）； ：分子同号，分母异号。 · 公式要求 、、（）。 · “凑角”思想：已知角和所求角之间有和差关系时，优先用凑角。 · 、 是常用特殊组合，结果要熟。 ⚠️避坑指南 ❌ 符号写错，写成 （应为减）。 ❌ 不会凑角。看到 、 这种条件，想不到 。 ❌ 忽略公式成立条件（、 使各三角函数有意义）。 ❌ 给值求角时，求出 值后直接写角，不判断角的范围，导致多解。 自主检测若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数关系，两角和的余弦公式可得答案. 【详解】因，则，结合，可得. 因，则. 则 知识点2、二倍角公式 1. 二倍角公式： · ； · ； · 。 1. 降幂公式（半角变形）： · ； · ； · 。 1. 升幂公式： · ； · ； · 。 1. 半角公式（了解）： · ； · ； · （无符号问题）。 必记结论 · 有三种形式，根据已知条件选择： 已知 用 ； 已知 用 ； 同时已知 、 用 。 · 降幂公式是处理高次三角函数的核心工具，逢 、 必降。 · 1 的代换：，灵活选用。 · 是”升倍”，反过来 是”降次”。 ⚠️避坑指南 ❌ 错写成 （漏了 ）。 ❌ 选错形式，导致计算复杂或符号错。 ❌ 半角公式开方不判断符号，直接写 或漏写符号。 ❌ 降幂公式符号记错，，。 自主检测已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式展开待求式，构造关于、的二次齐次分式，代入的值计算. 【详解】 ， 由可得：分子为， 分母为， 因此原式. 知识点3、辅助角公式 1. 辅助角公式： · 其中 ，，。 1. 常见特例： · ； · ； · 。 1. 作用：把 化为单一三角函数，便于求周期、最值、单调区间、对称轴。 必记结论 · 合并后振幅为 ，最大值 ，最小值 。 · 合并后周期仍为 （ 系数为 时）；若原式为 ，则周期 。 · 的象限由 的符号决定： ： 在第一象限； ： 在第二象限； ： 在第三象限； ： 在第四象限。 · 习惯上优先化为 ；也可化为 ，但 会不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 辅助角 乱写。必须由 、 共同确定，不能只由 决定（ 不能判象限）。 ❌ 振幅算错。 不是 ，也不是 。 ❌ 把 化为 形式时， 不重新算，硬套 的 。 ❌ 为负数时不先提负号，导致 落在错误象限。 自主检测（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：. 考点精讲 考点一 两角和与差公式 例1（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：将分解为，使用正弦的和角公式即可解决本题； 方法2：将分解为，使用诱导公式和“特殊角”的余弦值即可解决本题； 本题分解方式较多，例如还可以是等，解法类似，不再赘述. 【详解】方法1： . 方法2： . 例2已知，且，. (1)求的值； (2)求角的大小. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）. （2）， ， ∵且，∴，∴， ∵且，∴，∴， ∴，∴. 解题策略 两角和与差公式 · 给角求值：把非特殊角拆成特殊角 未知角，再套公式。 · 给值求值： 找已知角与所求角的和差关系； 用凑角把所求角用已知角表示； 套公式展开； 注意每一项的符号由角所在象限决定。 · 给值求角： 选合适的三角函数（正切或余弦，避免多解）； 求函数值； 根据角的范围定角（范围越小越唯一）。 · 公式逆用：看到 “” 结构，直接合并为 。 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，故， 而， 故B正确，其余错误. 【变式2】已知，，，，求和的值； 【答案】， 【详解】由于，，，，故， 所以， 考点二 二倍角公式与三角式化简 例3若，则下列一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数基本关系、二倍角公式逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于选项A，因为，根据同角三角函数关系式， 得，故选项A错误； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，，故选项D正确. 例4的值为__________. 【答案】 【详解】. 解题策略 二倍角公式与三角式化简 · 化简题： 遇二次项用降幂公式； 遇 用 ； 遇 用升幂公式化为平方。 · 给值求值： 已知单角函数值，求二倍角——直接套公式； 已知二倍角，求单角——用降幂/半角，注意符号。 · 证明题：从高次向低次化，或从低次向高次化，统一角度后比较。 · 求周期/最值：先降幂化为一次式，再合并为 或直接观察。 【变式1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 【变式2】已知，则_______. 【答案】2 【详解】由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以， 得： . 考点三 辅助角公式 例5的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 例6______. 【答案】 【详解】由题意得 . 解题策略 辅助角公式 · 化简 ： 提 ； 定 （由 、 符号和 ）； 写成 。 · 求最值：直接读振幅，最大值 ，最小值 。 · 求周期：（ 为 的系数）。 · 求单调区间/对称轴：化为 后，套 的性质，注意 整体替换。 · 见特殊系数 、、：直接用特例公式，不必每次重算 。 · 为负：先提负号把 变正，再用辅助角公式，避免 跨象限。 【变式1】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以最小正周期． 【变式2】函数的值域为______； 【答案】 【分析】利用辅助角公式将原函数转化为正弦函数型，结合正弦函数的有界性求值域. 【详解】因为，由辅助角公式得 ， 因为，，所以，， 所以的值域为. 实战训练 1． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3． ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 由，可得， 所以，则 因为，即， 解得. 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 5．已知，则______________. 【答案】/ 【分析】由余弦和差公式化简可得，进而得到，再根据进行计算即可． 【详解】由， 可得， 所以， 所以，所以， 则． 6．已知，，则____________________． 【答案】/ 【分析】利用公式将所求式展开为，再利用完全平方公式与二倍角公式求出的值。结合角的范围确定的符号，开方后代入即可. 【详解】因为，所以，，从而， 因为. 所以, 所以. 7．若，，并且，则的值为_________. 【答案】/ 【分析】先利用平方关系求出、，再根据结合的范围求出的余弦值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 则 ， 所以. 8．已知均为第一象限角，且，则___________． 【答案】 【分析】根据角的变换及三角恒等变换求解. 【详解】因为均为第一象限角，， 所以，， 所以 ， 所以. 9．化简求值． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 10．已知角为锐角，且满足方程． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为为锐角，所以， 所以方程两边同除以， 得，解得或， 由为锐角知. （2）， ， 故. （3）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $