专题07 三角函数的图像与性质（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题07 三角函数的图像与性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 10 考点一：任意角与弧度制 10 考点二：三角函数的定义与同角三角函数的基本关系【核心重点】 11 考点三：诱导公式【核心重点】 12 考点四：三角函数的图像与性质【重难点】 14 考点五：三角函数的图像变换【高频考点】 16 04 实战演练 18 考情解读 考试要求 理解任意角与弧度制，掌握任意角的三角函数的定义，熟练利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行化简，掌握三角函数的图像与性质。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 任意角与弧度制 5年1考 任意角、弧度制、扇形的相关计算 预测2027年在选择题中考查任意角与弧度制 三角函数的定义与同角关系 5年5考 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 预测2027年在选择题中考查三角函数的定义与同角关系 三角函数的图像与性质 5年5考 三角函数的图像与性质、三角函数的图像变换 预测2027年在选择或填空题中考查三角函数的图像与性质 知识梳理 知识点1、任意角和弧度制 1. 任意角：按旋转方向分正角、负角、零角；按终边位置分象限角、轴线角。 1. 终边相同的角：所有与 终边相同的角构成集合 。 1. 象限角判定：将角化为 （），看 终边落在第几象限。 1. 弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度（）。 1. 角度弧度互化：；；。 1. 弧长公式：（ 为圆心角弧度数）。 1. 扇形面积公式：。 必记结论 · ，弧度制下运算时角度必须化为弧度，不能混用。 · 终边相同的角相差 的整数倍，不是 的整数倍。 · 象限角表示： 第一象限：； 第二象限：； 第三象限：； 第四象限：。 · 轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限。 ⚠️避坑指南 ❌ 终边相同角写错为 ，必须是 。 ❌ 弧度与角度混用，如写成 。 ❌ 扇形面积公式记错， 不是 。 ❌ 判断象限角时不先化到 ，直接看大数判断。 自主检测已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 知识点2、任意角的三角函数 1. 定义：设 终边上任意一点 ，，则： · ； · ； · 。 1. 单位圆定义： 时，，即横坐标为 、纵坐标为 。 1. 各象限符号： · 第一象限：、、 全正； · 第二象限： 正，、 负； · 第三象限： 正，、 负； · 第四象限： 正，、 负。 1. 三角函数线：正弦线 、余弦线 、正切线 （单位圆中）。 必记结论 · 符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 · ，定义域为 。 · 、 的值域为 ； 的值域为 。 · 当 终边在 轴上时 不存在（）。 · 三角函数值只与终边位置有关，与 点在终边上的位置无关。 ⚠️避坑指南 ❌ 取负值。 恒正。 ❌ 定义域忘记 。 ❌ 符号判断错。先定象限，再按口诀定符号。 ❌ 用定义求 时，把 、 搞反（ 对 、 对 ）。 自主检测若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 知识点3、同角三角函数的基本关系 1. 平方关系：。 1. 商数关系：（）。 1. 变形应用： · ； · ； · （“ 的代换”）。 必记结论 · 知一求二：已知 、、 中任意一个，可求另外两个。 · 开方必判号：由 所在象限决定正负号。 · 弦切互化：遇到 化 ，遇到齐次式可化切为弦或化弦为切。 · “1 的代换”：，常用于分式、齐次式化简。 · 齐次式（如 ）：分子分母同除以 ，化为 的表达式。 ⚠️避坑指南 ❌ 开方不判断象限符号，直接写 或漏写符号。 ❌ 中 时不能用。 ❌ 已知 求 类问题，忘记设 联立方程。 自主检测已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系化简，再结合终边所在象限判断符号即可. 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. 知识点4、三角函数的诱导公式 1. 公式一（终边相同）：；；。 1. 公式二（）：；；。 1. 公式三（）：；；。 1. 公式四（）：；；。 1. 公式五（）：；。 1. 公式六（）：；。 必记结论 · 口诀：奇变偶不变，符号看象限。 “奇/偶”指 的倍数： 中 为奇数则函数名变（），偶数则不变； “符号看象限”：把 看作锐角，看原函数在新角所在象限的符号。 · 诱导公式的本质：把任意角的三角函数化为锐角三角函数。 · 、 是函数名改变；其余不改变。 · 的诱导公式可由 、 推出。 ⚠️避坑指南 ❌ 函数名变不变判断错。 为奇数才变（、），偶数不变（、）。 ❌ 符号判断错。把 当锐角，看原函数在实际象限的正负。 ❌ 连续用多个诱导公式时，每变一次都重新判断符号和函数名。 自主检测已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 知识点5、三角函数的图像与性质 1. ： · 定义域 ，值域 ，周期 ； · 奇函数，对称中心 ，对称轴 ； · 单调增区间 ，减区间 。 1. ： · 定义域 ，值域 ，周期 ； · 偶函数，对称中心 ，对称轴 ； · 单调增区间 ，减区间 。 1. ： · 定义域 ，值域 ，周期 ； · 奇函数，对称中心 ； · 在每个区间 内单调递增。 必记结论 · 、 周期 ； 周期 。 · 对称轴在最高点/最低点处； 对称轴在最高点/最低点处。 · 对称中心在图像与 轴交点； 对称中心在图像与 轴交点。 · 最值：、 最大值 、最小值 ； 无最值。 · 复合函数 周期 ； 周期 。 ⚠️避坑指南 ❌ 的单调区间写成整个 上递增——错，它在每个区间内递增，不能合并。 ❌ 求 单调区间时，不把 整体看作 ，直接写 的范围。 ❌ 对称中心与对称轴混淆。 的对称轴是 ，不是 。 ❌ 求定义域时忘记 的限制 。 自主检测已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 【答案】A 【详解】令，其中，所以，当时，，的图像关于直线对称，故A正确； 因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，其中，所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，同理也不是函数图像的对称中心.故CD错误. 知识点6、三角函数的图像变换 1. 平移变换： · 左右平移：， 左移， 右移（“左加右减”）； · 上下平移：， 上移， 下移（“上加下减”）。 1. 伸缩变换： · 横向伸缩：， 压缩为原来的 ； 拉伸； · 纵向伸缩：， 拉伸为原来的 倍； 压缩。 1. 五要素：振幅 、周期 、频率 、初相 、相位 。 1. 五点法作图：令 取 、、、、，对应五点。 必记结论 · 左加右减、上加下减，是针对 本身的变换。 · 由 到 的两种路径： 路径一：先平移 ，再横向伸缩 ，再纵向伸缩 ； 路径二：先横向伸缩 ，再平移 （注意：平移量要除以 ）。 · 先伸缩后平移时，平移量是 ，不是 。 · 影响振幅（纵向）； 影响周期（横向）； 影响左右位置。 · 由图像求解析式： 由最值定， 由周期定， 由特殊点定。 ⚠️避坑指南 ❌ “左加右减”用错方向。 左移，不是右移。 ❌ 先伸缩后平移时，平移量忘记除以 。如 是由 左移 ，不是 。 ❌ 把平移直接加在 上，不提取 。 ❌ 求 时不代入特殊点硬算，导致多解。 自主检测为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 考点精讲 考点一 任意角与弧度制 例1把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化成弧度为. 例2若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 【答案】5或 【分析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数． 【详解】据题意得，解得或. 所以该扇形圆心角的弧度数是或. 解题策略 任意角、弧度制与扇形的相关计算 · 表示终边相同角：先写基准角，再加 。 · 判断象限：用 做周期把角化到 内再判断。 · 扇形问题：已知 、 求 、；或已知 、 反求 、，联立 与 。 · 区间角问题：用不等式 表示，注意 。 【变式1】角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】，则其为第二象限角. 【变式2】扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 【答案】 【详解】因为扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为. 考点二 三角函数的定义与同角三角函数的基本关系 例3若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 例4已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由同角三角函数的商数关系，化为的式子，代入，即可求解． 【详解】（1）． （2）． 解题策略 三角函数的定义与同角关系的应用 · 定义求函数值：取终边上一点 算 套三个定义式。 · 符号判断题：先定象限，再用口诀判断。 · 知一个求其余：先用平方关系求另一个，再用定义求 。 · 知一求二： 用平方关系求第二个（先定符号）； 用商数关系求第三个。 · 弦切互化： 分式齐次式——分子分母同除以 （或 ），化为 ； 含 的式子——化 ，通分化简。 · “1 的代换”：遇到 直接换 ，或把 换成 。 · 型：记住 ，知一可求积、和、差。 【变式1】已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 【变式2】已知锐角使得，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 考点三 诱导公式 例5（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 例6已知，则______． 【答案】 【详解】． 解题策略 诱导公式 · 任意角化锐角： 负角化正角（公式三）； 大角化小角（公式一、二、四）； 最终化为锐角三角函数求值。 · 化简题：直接套“奇变偶不变，符号看象限”，一步到位。 · 证明题：从复杂一侧出发，用诱导公式化简到另一侧。 求 、 类：直接用函数名互变 符号判断。 【变式1】计算＝　______　，＝　______　． 【答案】 【详解】①计算： 正弦函数的最小正周期为，即对任意，. 取，可得： . 由诱导公式，得： . ②计算： 余弦函数为偶函数，即对任意角，， 因此： .余弦函数的最小正周期为，即对任意，. 取，可得： . 【变式2】已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 即， 故. 考点四 三角函数的图像与性质 例7函数是（　　） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【详解】因为，所以是偶函数，周期. 例8已知函数的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求解，即可得到的解析式； （2）按照图象平移规则得到的解析式，结合自变量范围和正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1）由题知，解得， 因此； （2）将图象向右平移个单位长度， 可得， 当时，， ，可得. 所以的值域为. 解题策略 三角函数的图像与性质求解 · 求 单调区间： 令 ； 写出 的单调区间； 反解 的范围。 · 求周期：直接套 （、）或 （）。 · 求对称轴/对称中心：令 等于 / 的对称轴/对称中心对应值，反解 。 · 求定义域：套各函数的限制（ 的 、分母不为零、根号非负）。 · 比较大小：化到同一单调区间内比较；或用诱导公式化锐角后比较。 【变式1】函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 的对称中心为, 的对称中心为. 【变式2】函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【分析】以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 考点五 三角函数的图像变换 例9要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】B 【详解】函数的图象向右平行移动个单位得到函数，故B正确． 例10把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为______. 【答案】 【详解】把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为. 解题策略 三角函数的图像变换 · 由 变换到 ： 选路径（先平移后伸缩 / 先伸缩后平移）； 按步写变换式； 注意平移量在不同路径下的差异。 · 五点法作图：列 对应的五点表，描点连线。 · 由图像求解析式： ； 周期 相邻最高点/最低点水平距离的 倍，； 代入最高点或平衡点点位求解； 检验周期和特殊点。 · 已知变换求新函数：按变换顺序逐步替换 和 。 【变式1】为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】A 【分析】依据正弦函数图象的伸缩、平移变换规则，判断即可. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象. 再向左平移（）个单位，平移后的函数解析式为. 令，解得， 故将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，即可得到的图象. 【变式2】把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______. 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解. 【详解】函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象， 则； 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象， 则. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）函数，的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】解：函数，的最小正周期为：. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 2．（2026高三上·广东·学业考试）为了得到的图像，只需将的图像（  ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据三角函数平移变换求解即可. 【详解】解：因为 所以，为了得到的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度． 故选：C． 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简可得的值. 【详解】由诱导公式可得. 故选：A. 4．（2025高三上·广东·学业考试）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】借助平移变换的性质计算即可得. 【详解】由， 故想要得到函数的图象， 只需要把函数的图象上所有点向左平移个单位长度. 故选：C. 5．（2024高三上·广东·学业考试）函数，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的图像，即可得出时的最小值． 【详解】由的图像可知，时，， 所以， 故选：D． 6．（2026高三上·广东·学业考试）已知角的终边过点，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求三角函数值. 【详解】已知角的终边过点．可得，，则． 故答案为： 7．（2026高三上·广东·学业考试）已知，求______． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】由三角函数的诱导公式可知，则． 故答案为：. 8．（2025高三上·广东·学业考试）已知，则______． 【答案】/ 【分析】利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 9．（2024高三上·广东·学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________. 【答案】 【分析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)， 所以， 故答案： 【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题 10．已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 若，则，不符合， 所以，可得. （2）由题意可得： 11．函数． (1)求函数的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 (3)利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，最小正周期为. (2)如图所示： 0 0 2 0 0 (3)当时，有最大值为2；当时，有最小值为. 【分析】（1）根据的单调递增区间，将替换为即可得出函数的单调递增区间，根据正弦函数周期公式，代入数值即可得出函数的最小正周期； （2）右图轴上的坐标即为要取的五点的坐标，代入和，即可得出表中数值，并用连续光滑的曲线连接即可； （3），判断所在单调区间，即可得到答案. 【详解】（1）由的单调递增区间可得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为； 由正弦函数周期公式可得，， 所以函数的最小正周期为. （2）依题意得，题干右图轴上的坐标即为表格中要取的五点的坐标， 当，，； 当，，； 当，，； 当，，； 当，，， 填表，描点，用光滑曲线连接后得到图象如图所示， 0 0 2 0 0 （3）因为， 所以在区间上的图象包含于在区间的图象， 因为，，所以当时，有最大值为2； 因为，在单调递减， 故当时，有最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数的图像与性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 8 考点一：任意角与弧度制 8 考点二：三角函数的定义与同角三角函数的基本关系【核心重点】 9 考点三：诱导公式【核心重点】 10 考点四：三角函数的图像与性质【重难点】 11 考点五：三角函数的图像变换【高频考点】 12 04 实战演练 13 考情解读 考试要求 理解任意角与弧度制，掌握任意角的三角函数的定义，熟练利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行化简，掌握三角函数的图像与性质。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 任意角与弧度制 5年1考 任意角、弧度制、扇形的相关计算 预测2027年在选择题中考查任意角与弧度制 三角函数的定义与同角关系 5年5考 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 预测2027年在选择题中考查三角函数的定义与同角关系 三角函数的图像与性质 5年5考 三角函数的图像与性质、三角函数的图像变换 预测2027年在选择或填空题中考查三角函数的图像与性质 知识梳理 知识点1、任意角和弧度制 1. 任意角：按旋转方向分正角、负角、零角；按终边位置分象限角、轴线角。 1. 终边相同的角：所有与 终边相同的角构成集合 。 1. 象限角判定：将角化为 （），看 终边落在第几象限。 1. 弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度（）。 1. 角度弧度互化：；；。 1. 弧长公式：（ 为圆心角弧度数）。 1. 扇形面积公式：。 必记结论 · ，弧度制下运算时角度必须化为弧度，不能混用。 · 终边相同的角相差 的整数倍，不是 的整数倍。 · 象限角表示： 第一象限：； 第二象限：； 第三象限：； 第四象限：。 · 轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限。 ⚠️避坑指南 ❌ 终边相同角写错为 ，必须是 。 ❌ 弧度与角度混用，如写成 。 ❌ 扇形面积公式记错， 不是 。 ❌ 判断象限角时不先化到 ，直接看大数判断。 自主检测已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 知识点2、任意角的三角函数 1. 定义：设 终边上任意一点 ，，则： · ； · ； · 。 1. 单位圆定义： 时，，即横坐标为 、纵坐标为 。 1. 各象限符号： · 第一象限：、、 全正； · 第二象限： 正，、 负； · 第三象限： 正，、 负； · 第四象限： 正，、 负。 1. 三角函数线：正弦线 、余弦线 、正切线 （单位圆中）。 必记结论 · 符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 · ，定义域为 。 · 、 的值域为 ； 的值域为 。 · 当 终边在 轴上时 不存在（）。 · 三角函数值只与终边位置有关，与 点在终边上的位置无关。 ⚠️避坑指南 ❌ 取负值。 恒正。 ❌ 定义域忘记 。 ❌ 符号判断错。先定象限，再按口诀定符号。 ❌ 用定义求 时，把 、 搞反（ 对 、 对 ）。 自主检测若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 知识点3、同角三角函数的基本关系 1. 平方关系：。 1. 商数关系：（）。 1. 变形应用： · ； · ； · （“ 的代换”）。 必记结论 · 知一求二：已知 、、 中任意一个，可求另外两个。 · 开方必判号：由 所在象限决定正负号。 · 弦切互化：遇到 化 ，遇到齐次式可化切为弦或化弦为切。 · “1 的代换”：，常用于分式、齐次式化简。 · 齐次式（如 ）：分子分母同除以 ，化为 的表达式。 ⚠️避坑指南 ❌ 开方不判断象限符号，直接写 或漏写符号。 ❌ 中 时不能用。 ❌ 已知 求 类问题，忘记设 联立方程。 自主检测已知，，那么（    ） A． B． C． D． 知识点4、三角函数的诱导公式 1. 公式一（终边相同）：；；。 1. 公式二（）：；；。 1. 公式三（）：；；。 1. 公式四（）：；；。 1. 公式五（）：；。 1. 公式六（）：；。 必记结论 · 口诀：奇变偶不变，符号看象限。 “奇/偶”指 的倍数： 中 为奇数则函数名变（），偶数则不变； “符号看象限”：把 看作锐角，看原函数在新角所在象限的符号。 · 诱导公式的本质：把任意角的三角函数化为锐角三角函数。 · 、 是函数名改变；其余不改变。 · 的诱导公式可由 、 推出。 ⚠️避坑指南 ❌ 函数名变不变判断错。 为奇数才变（、），偶数不变（、）。 ❌ 符号判断错。把 当锐角，看原函数在实际象限的正负。 ❌ 连续用多个诱导公式时，每变一次都重新判断符号和函数名。 自主检测已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 知识点5、三角函数的图像与性质 1. ： · 定义域 ，值域 ，周期 ； · 奇函数，对称中心 ，对称轴 ； · 单调增区间 ，减区间 。 1. ： · 定义域 ，值域 ，周期 ； · 偶函数，对称中心 ，对称轴 ； · 单调增区间 ，减区间 。 1. ： · 定义域 ，值域 ，周期 ； · 奇函数，对称中心 ； · 在每个区间 内单调递增。 必记结论 · 、 周期 ； 周期 。 · 对称轴在最高点/最低点处； 对称轴在最高点/最低点处。 · 对称中心在图像与 轴交点； 对称中心在图像与 轴交点。 · 最值：、 最大值 、最小值 ； 无最值。 · 复合函数 周期 ； 周期 。 ⚠️避坑指南 ❌ 的单调区间写成整个 上递增——错，它在每个区间内递增，不能合并。 ❌ 求 单调区间时，不把 整体看作 ，直接写 的范围。 ❌ 对称中心与对称轴混淆。 的对称轴是 ，不是 。 ❌ 求定义域时忘记 的限制 。 自主检测已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 知识点6、三角函数的图像变换 1. 平移变换： · 左右平移：， 左移， 右移（“左加右减”）； · 上下平移：， 上移， 下移（“上加下减”）。 1. 伸缩变换： · 横向伸缩：， 压缩为原来的 ； 拉伸； · 纵向伸缩：， 拉伸为原来的 倍； 压缩。 1. 五要素：振幅 、周期 、频率 、初相 、相位 。 1. 五点法作图：令 取 、、、、，对应五点。 必记结论 · 左加右减、上加下减，是针对 本身的变换。 · 由 到 的两种路径： 路径一：先平移 ，再横向伸缩 ，再纵向伸缩 ； 路径二：先横向伸缩 ，再平移 （注意：平移量要除以 ）。 · 先伸缩后平移时，平移量是 ，不是 。 · 影响振幅（纵向）； 影响周期（横向）； 影响左右位置。 · 由图像求解析式： 由最值定， 由周期定， 由特殊点定。 ⚠️避坑指南 ❌ “左加右减”用错方向。 左移，不是右移。 ❌ 先伸缩后平移时，平移量忘记除以 。如 是由 左移 ，不是 。 ❌ 把平移直接加在 上，不提取 。 ❌ 求 时不代入特殊点硬算，导致多解。 自主检测为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点精讲 考点一 任意角与弧度制 例1把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 例2若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 解题策略 任意角、弧度制与扇形的相关计算 · 表示终边相同角：先写基准角，再加 。 · 判断象限：用 做周期把角化到 内再判断。 · 扇形问题：已知 、 求 、；或已知 、 反求 、，联立 与 。 · 区间角问题：用不等式 表示，注意 。 【变式1】角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2】扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 考点二 三角函数的定义与同角三角函数的基本关系 例3若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 例4已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 解题策略 三角函数的定义与同角关系的应用 · 定义求函数值：取终边上一点 算 套三个定义式。 · 符号判断题：先定象限，再用口诀判断。 · 知一个求其余：先用平方关系求另一个，再用定义求 。 · 知一求二： 用平方关系求第二个（先定符号）； 用商数关系求第三个。 · 弦切互化： 分式齐次式——分子分母同除以 （或 ），化为 ； 含 的式子——化 ，通分化简。 · “1 的代换”：遇到 直接换 ，或把 换成 。 · 型：记住 ，知一可求积、和、差。 【变式1】已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知锐角使得，则________（用含有的代数式表示）． 考点三 诱导公式 例5（     ） A． B． C． D． 例6已知，则______． 解题策略 诱导公式 · 任意角化锐角： 负角化正角（公式三）； 大角化小角（公式一、二、四）； 最终化为锐角三角函数求值。 · 化简题：直接套“奇变偶不变，符号看象限”，一步到位。 · 证明题：从复杂一侧出发，用诱导公式化简到另一侧。 求 、 类：直接用函数名互变 符号判断。 【变式1】计算＝　______　，＝　______　． 【变式2】已知，则（     ） A． B． C． D． 考点四 三角函数的图像与性质 例7函数是（　　） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 例8已知函数的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在上的值域． 解题策略 三角函数的图像与性质求解 · 求 单调区间： 令 ； 写出 的单调区间； 反解 的范围。 · 求周期：直接套 （、）或 （）。 · 求对称轴/对称中心：令 等于 / 的对称轴/对称中心对应值，反解 。 · 求定义域：套各函数的限制（ 的 、分母不为零、根号非负）。 · 比较大小：化到同一单调区间内比较；或用诱导公式化锐角后比较。 【变式1】函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递减区间为_____________． 考点五 三角函数的图像变换 例9要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 例10把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为______. 解题策略 三角函数的图像变换 · 由 变换到 ： 选路径（先平移后伸缩 / 先伸缩后平移）； 按步写变换式； 注意平移量在不同路径下的差异。 · 五点法作图：列 对应的五点表，描点连线。 · 由图像求解析式： ； 周期 相邻最高点/最低点水平距离的 倍，； 代入最高点或平衡点点位求解； 检验周期和特殊点。 · 已知变换求新函数：按变换顺序逐步替换 和 。 【变式1】为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式2】把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）函数，的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·广东·学业考试）为了得到的图像，只需将的图像（  ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·广东·学业考试）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（2024高三上·广东·学业考试）函数，的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三上·广东·学业考试）已知角的终边过点，则______． 7．（2026高三上·广东·学业考试）已知，求______． 8．（2025高三上·广东·学业考试）已知，则______． 9．（2024高三上·广东·学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________. 10．已知. (1)求的值； (2)求的值． 11．函数． (1)求函数的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 (3)利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $