专题06 指、对、幂函数的图像与性质及其应用（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题06 指、对、幂函数的图像与性质及其应用 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 9 考点一：根式与指数幂的运算 9 考点二：对数的定义与运算 9 考点三：指对幂函数的图像与性质【核心重点】 10 考点四：指数函数与对数函数的性质综合应用【重难点】 11 考点五：指对幂比较大小 12 考点六：函数的零点问题 13 考点七：函数模型的实际问题 13 04 实战演练 15 考情解读 考试要求 掌握指数与对数的计算，掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，了解零点问题的处理思路，利用指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 指数幂与对数的运算 5年5考 指数的相关计算运算、对数的相关运算 预测2027年在选择或填空题中考查指数幂与对数的运算 指对幂函数的图像与性质 5年4考 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 预测2027年在选择或填空题中考查指对幂函数的图像与性质 函数的应用 5年3考 函数模型的实际应用、函数的零点问题 预测2027年在选择或填空题中考查函数的零点问题与实际应用 知识梳理 知识点1、根式与指数幂的运算 1. n 次方根定义：若 ，则 叫做 的 次方根。 · 为奇数时：正数的 次方根为正，负数的 次方根为负，记作 ； · 为偶数时：正数的 次方根有两个，互为相反数，记作 ；负数没有偶次方根。 1. 根式性质： · ； · 当 为奇数时：； · 当 为偶数时：。 1. 分数指数幂： · （，，）； · ； · 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂无意义。 1. 有理指数幂运算性质（）： · ； · ； · 。 必记结论 · 偶次根号开出来必须加绝对值，再根据被开方数正负去绝对值。 · 根式化分数指数幂口诀：根指数做分母，被开方数的指数做分子。 · 负数没有偶次方根； 的任何正整数次幂为 ， 的 次幂无意义。 · 运算结果一般用分数指数幂或根式表示，不能同时保留两种形式。 ⚠️避坑指南 ❌ 直接写成 ， 为偶数时漏了 。 ❌ 把分数指数幂 写成 ，或写成 。 ❌ 忽略 的前提，对负数随意开偶次方或写分数指数幂。 ❌ 运算时把 拆成 ——这是错的，幂的运算性质不能用在和差上。 自主检测下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 知识点2、对数的定义与运算 1. 定义：若 （，，），则 。 1. 两种常用对数： · 常用对数： 简记为 ； · 自然对数： 简记为 。 1. 对数性质： · ；； · 负数和零没有对数（真数 ）； · 对数恒等式：。 1. 运算性质（）： · ； · ； · 。 1. 换底公式：（）。 · 推论：；； · 。 必记结论 · 指对互化：，这是求对数、解指数方程的核心工具。 · 换底公式的本质：统一底数。不同底的对数相乘/相除，优先用换底。 · 不能拆成 ，没有这种公式。 · ；（对数恒等式，正用逆用都要熟）。 ⚠️避坑指南 ❌ 忽略真数 的条件。解对数方程、求对数函数定义域时必须先列真数 。 ❌ 把 拆成 ，或把 拆成分式相除的对数——全错。 ❌ 换底时分子分母底搞反。，不是 。 ❌ 这种连乘题，不换底硬算，其实约分后只剩 。 自主检测已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 知识点3、指数函数的图像与性质 1. 定义：（ 且 ），定义域 ，值域 。 1. 图像特征： · 恒过定点 ； · 图像在 轴上方（）； · 时图像从左到右上升（增函数）； · 时图像从左到右下降（减函数）。 1. 函数值分布： · ： 时 ； 时 ； · ： 时 ； 时 。 1. 底数对图像的影响：在 轴右侧，底越大图像越高；在 轴左侧，底越大图像越低。 必记结论 · 指数函数 永远过 (0, 1)，这是定点问题的突破口。 · 单调递增； 单调递减，两种情况必须分类。 · 与 的图像关于 y 轴对称。 · 指数函数值域恒为 ， 不可能等于 或负数。 ⚠️避坑指南 ❌ 忽略底数 且 的限制，对 或 讨论单调性。 ❌ 比较大小时不分类。 和 的单调性完全相反。 ❌ 复合函数 求值域时，忘记先求 的范围，再套 的值域。 ❌ 指数函数平移、对称变换时，把 与 搞混。前者上下移，后者左右移。 自主检测已知函数，以下说法错误的是（　　） A．是奇函数 B．在定义域上递增 C．的值域为 D．没有零点 知识点4、对数函数的图像与性质 1. 定义：（ 且 ），定义域 ，值域 。 1. 图像特征： · 恒过定点 ； · 图像在 轴右侧（）； · 时单调递增； 时单调递减。 1. 函数值分布： · ： 时 ； 时 ； · ： 时 ； 时 。 1. 反函数关系： 与 互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。 必记结论 · 对数函数 恒过 (1, 0)。 · 定义域永远是 (0, +∞)，研究对数函数第一步就是列真数 。 · 增、 减，与对应指数函数单调性一致。 · 与 图像关于 x 轴对称。 · 反函数的定义域、值域正好是原函数的值域、定义域。 ⚠️避坑指南 ❌ 求定义域时只看解析式，不写真数 。这是对数题第一丢分点。 ❌ 对数函数值域直接写 ，复合函数 忘先求 的范围且 。 自主检测已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 知识点5、幂函数的图像与性质 1. 定义：（ 为常数），底数是自变量 ，指数是常数 。 1. 五个常见幂函数：、、、、。 1. 图像共同特征： · 都过点 (1, 1)； · 第一象限内都有图像； · 时都过 和 ，在 上单调递增； · 时不过 ，在 上单调递减，图像向上靠近 轴、向右靠近 轴。 1. 第一象限分布规律： · ：图像下凸，递增且越来越陡； · ：图像上凸，递增但越来越缓； · ：递减曲线。 必记结论 · 所有幂函数在 上都有定义，且图像都过 。 · ：幂函数图像过原点，在 上递增。 · ：幂函数图像不过原点，在 上递减，以坐标轴为渐近线。 · 在第一象限内，直线 右侧，指数越大图像越高。 · （奇）、（偶）、（奇）、（非奇非偶）、（奇）。 ⚠️避坑指南 ❌ 把幂函数 与指数函数 混淆。幂函数底是 、指数是常数；指数函数底是常数、指数是 。 ❌ 认为所有幂函数都过原点。不过原点。 ❌ 用幂函数单调性时不看 正负，乱套。 自主检测已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 知识点6、函数的零点问题 1. 零点定义：使 的实数 叫做函数 的零点。 1. 三个等价关系： · 零点 方程 的实数根； · 函数图像与 轴交点的横坐标（注意零点是 值，不是点）。 1. 零点存在定理：若 在 上连续，且 ，则 在 内至少有一个零点。 1. 二分法：通过不断把区间一分为二，逐步逼近零点的方法。 1. 复合函数零点： 先求 的根 ，再解 。 必记结论 · 是 在 内有零点的充分非必要条件。 · 若 在 上单调且 ，则 在 内有且仅有一个零点。 · 零点存在定理要求函数图像连续不断，不连续不能用。 · 时，不能断定没有零点——可能有 个或偶数个。 · 二次函数零点个数由判别式 决定： 两个、 一个、 零个。 ⚠️避坑指南 ❌ 把零点当成点 。零点是实数 ，是横坐标，不是坐标点。 ❌ 推出“只有一个零点”——必须再加“单调”条件。 ❌ 不连续函数（分段、反比例）硬套零点存在定理。 ❌ 求 零点时，直接把 代入，漏掉 的中间一步。 自主检测已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是______． 考点精讲 考点一 根式与指数幂的运算 例1设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 例2已知实数满足，则______ 解题策略 根式与指数幂的运算 · 根式 分数指数幂互化，统一后用幂的乘方性质。 · 求值题先把底分解质因数（、），再套 。 · 含字母偶次根式先写绝对值，再按题给范围去绝对值。 【变式1】下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知，，则的值为________． 考点二 对数的定义与运算 例3若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 例4计算：_________. 解题策略 对数的定义与运算 · 同底用积商幂公式；不同底用换底统一。 · 解对数方程：化同底 去对数符号 验真数 。 · 连乘连除用换底公式约分。 【变式1】的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【变式2】计算：______________． 考点三 指对幂函数的图像与性质 例5函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 例6已知函数且的图像恒过定点，则______. 解题策略 指对幂函数的图像与性质 · 定点题：令指数 求 （指数函数）；令真数 求 （对数函数）。 · 图像判断题：先看单调性定 还是 ，再看定点和特殊点。 · 复合函数 或 ： 定义域： 范围要满足指数任意/真数 ； 值域：先求 范围，再套外层； 单调性：“同增异减”。 · 幂函数题：画第一象限草图，利用过 和 正负定升降。 【变式1】如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 考点四 指数函数与对数函数的性质综合应用 例7已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 例8已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 解题策略 指数函数与对数函数的性质综合应用 · 复合函数值域/单调：由内向外层层剥皮，每层标当前范围。 · 解指对方程/不等式： 化同底； 分类底数 / ； 加定义域限制（对数真数 ）； 解不等式组。 · 反函数题：按“反解 交换 标定义域”三步，再利用 对称快速画图。 · 含参讨论：抓住底数 分界点，分两类；再结合复合函数对称轴/定义域位置。 【变式1】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【变式2】已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 考点五 指对幂比较大小 例9若，，，则（　　） A． B． C． D． 例10设，，，则（     ）． A． B． C． D． 解题策略 指对幂比较大小 · 第一步：定号。先看正负，负数 正数，直接分组。 · 第二步：与 、 比较。把每个值归入 、、。 · 第三步：同组内比较： 同底 单调性； 同指 幂函数； 同真数 换底或图像； 都不同 找第二个中间量（如 、、）。 · 作商法：两个正数 、， 则 。 · 图像法：在同一坐标系画出相关函数，看同一 处的高低。 【变式1】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点六 函数的零点问题 例11方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 例12已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 解题策略 函数的零点问题 · 求零点：二次用解方程/；分段分段求；复合由内向外。 · 判区间：找 的区间。 · 判个数：单调性 端点异号；或转化为两函数图像交点。 · 含参零点：分离参数 ，看直线 与 图像交点。 【变式1】函数的零点为_______________. 【变式2】已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 考点七 函数模型的实际问题 例13商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 例14某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少达到______． 解题策略 函数模型的实际问题 · 审题三步：① 找变量关系（每涨/降多少）；② 定函数类型；③ 列等式。 · 利润/面积最值题：列二次函数 配方 看对称轴是否在区间内 下结论。 · 增长/衰减题：识别 型，代入数据求 、。 · 分段计费题： 按区间分段写解析式； 逐段求值域/最值； 比较各段结果，取全局最值。 · 拟合选择题：看数据增长趋势——线性直线、指数越来越陡、对数越来越缓，对号入座。 · 最后一步：检验结果是否符合实际（正数、整数、合理范围），写“答”。 【变式1】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三上·广东·学业考试）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三上·广东·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数,若，则x＝（    ） A．－3 B．－2 C．3 D．3或－2 8．（2025高三上·广东·学业考试）______． 9．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数，则________． 10．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 11．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指、对、幂函数的图像与性质及其应用 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 12 考点一：根式与指数幂的运算 12 考点二：对数的定义与运算 13 考点三：指对幂函数的图像与性质【核心重点】 14 考点四：指数函数与对数函数的性质综合应用【重难点】 16 考点五：指对幂比较大小 21 考点六：函数的零点问题 23 考点七：函数模型的实际问题 25 04 实战演练 37 考情解读 考试要求 掌握指数与对数的计算，掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，了解零点问题的处理思路，利用指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 指数幂与对数的运算 5年5考 指数的相关计算运算、对数的相关运算 预测2027年在选择或填空题中考查指数幂与对数的运算 指对幂函数的图像与性质 5年4考 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 预测2027年在选择或填空题中考查指对幂函数的图像与性质 函数的应用 5年3考 函数模型的实际应用、函数的零点问题 预测2027年在选择或填空题中考查函数的零点问题与实际应用 知识梳理 知识点1、根式与指数幂的运算 1. n 次方根定义：若 ，则 叫做 的 次方根。 · 为奇数时：正数的 次方根为正，负数的 次方根为负，记作 ； · 为偶数时：正数的 次方根有两个，互为相反数，记作 ；负数没有偶次方根。 1. 根式性质： · ； · 当 为奇数时：； · 当 为偶数时：。 1. 分数指数幂： · （，，）； · ； · 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂无意义。 1. 有理指数幂运算性质（）： · ； · ； · 。 必记结论 · 偶次根号开出来必须加绝对值，再根据被开方数正负去绝对值。 · 根式化分数指数幂口诀：根指数做分母，被开方数的指数做分子。 · 负数没有偶次方根； 的任何正整数次幂为 ， 的 次幂无意义。 · 运算结果一般用分数指数幂或根式表示，不能同时保留两种形式。 ⚠️避坑指南 ❌ 直接写成 ， 为偶数时漏了 。 ❌ 把分数指数幂 写成 ，或写成 。 ❌ 忽略 的前提，对负数随意开偶次方或写分数指数幂。 ❌ 运算时把 拆成 ——这是错的，幂的运算性质不能用在和差上。 自主检测下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解. 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 知识点2、对数的定义与运算 1. 定义：若 （，，），则 。 1. 两种常用对数： · 常用对数： 简记为 ； · 自然对数： 简记为 。 1. 对数性质： · ；； · 负数和零没有对数（真数 ）； · 对数恒等式：。 1. 运算性质（）： · ； · ； · 。 1. 换底公式：（）。 · 推论：；； · 。 必记结论 · 指对互化：，这是求对数、解指数方程的核心工具。 · 换底公式的本质：统一底数。不同底的对数相乘/相除，优先用换底。 · 不能拆成 ，没有这种公式。 · ；（对数恒等式，正用逆用都要熟）。 ⚠️避坑指南 ❌ 忽略真数 的条件。解对数方程、求对数函数定义域时必须先列真数 。 ❌ 把 拆成 ，或把 拆成分式相除的对数——全错。 ❌ 换底时分子分母底搞反。，不是 。 ❌ 这种连乘题，不换底硬算，其实约分后只剩 。 自主检测已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 知识点3、指数函数的图像与性质 1. 定义：（ 且 ），定义域 ，值域 。 1. 图像特征： · 恒过定点 ； · 图像在 轴上方（）； · 时图像从左到右上升（增函数）； · 时图像从左到右下降（减函数）。 1. 函数值分布： · ： 时 ； 时 ； · ： 时 ； 时 。 1. 底数对图像的影响：在 轴右侧，底越大图像越高；在 轴左侧，底越大图像越低。 必记结论 · 指数函数 永远过 (0, 1)，这是定点问题的突破口。 · 单调递增； 单调递减，两种情况必须分类。 · 与 的图像关于 y 轴对称。 · 指数函数值域恒为 ， 不可能等于 或负数。 ⚠️避坑指南 ❌ 忽略底数 且 的限制，对 或 讨论单调性。 ❌ 比较大小时不分类。 和 的单调性完全相反。 ❌ 复合函数 求值域时，忘记先求 的范围，再套 的值域。 ❌ 指数函数平移、对称变换时，把 与 搞混。前者上下移，后者左右移。 自主检测已知函数，以下说法错误的是（　　） A．是奇函数 B．在定义域上递增 C．的值域为 D．没有零点 【答案】B 【详解】由，解得，即函数的定义域为. 对于A，由，得为奇函数，故A正确； 对于B，，由在上单调递增，得在上单调递增，则在和上单调递减，即在和上单调递减，故B错误； 对于C，，当时，，则，，；当时，，则，，；综上所述，的值域为 ，故C正确； 对于D，令，得，方程无解，得没有零点，故D正确. 知识点4、对数函数的图像与性质 1. 定义：（ 且 ），定义域 ，值域 。 1. 图像特征： · 恒过定点 ； · 图像在 轴右侧（）； · 时单调递增； 时单调递减。 1. 函数值分布： · ： 时 ； 时 ； · ： 时 ； 时 。 1. 反函数关系： 与 互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。 必记结论 · 对数函数 恒过 (1, 0)。 · 定义域永远是 (0, +∞)，研究对数函数第一步就是列真数 。 · 增、 减，与对应指数函数单调性一致。 · 与 图像关于 x 轴对称。 · 反函数的定义域、值域正好是原函数的值域、定义域。 ⚠️避坑指南 ❌ 求定义域时只看解析式，不写真数 。这是对数题第一丢分点。 ❌ 对数函数值域直接写 ，复合函数 忘先求 的范围且 。 自主检测已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数. (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域法则进行计算. （2）先化简函数表达式，再计算，判断与的关系，根据奇偶性定义确定函数奇偶性. （3）由不等式解集确定对应方程的根，利用韦达定理求出，的值，再代入不等式求解. 【详解】（1）由， 解得. 故函数的定义域为. （2）略 （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为. 知识点5、幂函数的图像与性质 1. 定义：（ 为常数），底数是自变量 ，指数是常数 。 1. 五个常见幂函数：、、、、。 1. 图像共同特征： · 都过点 (1, 1)； · 第一象限内都有图像； · 时都过 和 ，在 上单调递增； · 时不过 ，在 上单调递减，图像向上靠近 轴、向右靠近 轴。 1. 第一象限分布规律： · ：图像下凸，递增且越来越陡； · ：图像上凸，递增但越来越缓； · ：递减曲线。 必记结论 · 所有幂函数在 上都有定义，且图像都过 。 · ：幂函数图像过原点，在 上递增。 · ：幂函数图像不过原点，在 上递减，以坐标轴为渐近线。 · 在第一象限内，直线 右侧，指数越大图像越高。 · （奇）、（偶）、（奇）、（非奇非偶）、（奇）。 ⚠️避坑指南 ❌ 把幂函数 与指数函数 混淆。幂函数底是 、指数是常数；指数函数底是常数、指数是 。 ❌ 认为所有幂函数都过原点。不过原点。 ❌ 用幂函数单调性时不看 正负，乱套。 自主检测已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 知识点6、函数的零点问题 1. 零点定义：使 的实数 叫做函数 的零点。 1. 三个等价关系： · 零点 方程 的实数根； · 函数图像与 轴交点的横坐标（注意零点是 值，不是点）。 1. 零点存在定理：若 在 上连续，且 ，则 在 内至少有一个零点。 1. 二分法：通过不断把区间一分为二，逐步逼近零点的方法。 1. 复合函数零点： 先求 的根 ，再解 。 必记结论 · 是 在 内有零点的充分非必要条件。 · 若 在 上单调且 ，则 在 内有且仅有一个零点。 · 零点存在定理要求函数图像连续不断，不连续不能用。 · 时，不能断定没有零点——可能有 个或偶数个。 · 二次函数零点个数由判别式 决定： 两个、 一个、 零个。 ⚠️避坑指南 ❌ 把零点当成点 。零点是实数 ，是横坐标，不是坐标点。 ❌ 推出“只有一个零点”——必须再加“单调”条件。 ❌ 不连续函数（分段、反比例）硬套零点存在定理。 ❌ 求 零点时，直接把 代入，漏掉 的中间一步。 自主检测已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】令，得，问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 画出与的图象，分析即可得答案. 【详解】由得，， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 画出与的图象如下图所示，    由图象可得，的取值范围是． 故答案为：． 考点精讲 考点一 根式与指数幂的运算 例1设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 例2已知实数满足，则______ 【答案】 【详解】因为且，易得， 由，因，则得， 故． 解题策略 根式与指数幂的运算 · 根式 分数指数幂互化，统一后用幂的乘方性质。 · 求值题先把底分解质因数（、），再套 。 · 含字母偶次根式先写绝对值，再按题给范围去绝对值。 【变式1】下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 【变式2】已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 考点二 对数的定义与运算 例3若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 例4计算：_________. 【答案】10 【详解】 解题策略 对数的定义与运算 · 同底用积商幂公式；不同底用换底统一。 · 解对数方程：化同底 去对数符号 验真数 。 · 连乘连除用换底公式约分。 【变式1】的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【答案】B 【详解】 . 【变式2】计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 考点三 指对幂函数的图像与性质 例5函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知 ，解得，所以的定义域为. 例6已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 解题策略 指对幂函数的图像与性质 · 定点题：令指数 求 （指数函数）；令真数 求 （对数函数）。 · 图像判断题：先看单调性定 还是 ，再看定点和特殊点。 · 复合函数 或 ： 定义域： 范围要满足指数任意/真数 ； 值域：先求 范围，再套外层； 单调性：“同增异减”。 · 幂函数题：画第一象限草图，利用过 和 正负定升降。 【变式1】如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 【变式2】已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 考点四 指数函数与对数函数的性质综合应用 例7已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，将原函数的值域问题转化为二次函数在上的值域问题，再结合二次函数的图象和性质可得； （2）令，将不等式转化为一元二次不等式，并解得或，再根据对数函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】（1）由函数，得函数的定义域为. 令，当时，由对数函数单调性得：. 将原函数展开换元：， 所以原函数的值域问题转化为求二次函数在上的值域问题. 因为，二次函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数的最小值为，最大值为. 所以函数在的值域为， 因此函数在上的值域为. （2）不等式等价于，整理得， 因式分解得， 令，则，解得或. 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以. 综上所述，不等式的解集为. 例8已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 解题策略 指数函数与对数函数的性质综合应用 · 复合函数值域/单调：由内向外层层剥皮，每层标当前范围。 · 解指对方程/不等式： 化同底； 分类底数 / ； 加定义域限制（对数真数 ）； 解不等式组。 · 反函数题：按“反解 交换 标定义域”三步，再利用 对称快速画图。 · 含参讨论：抓住底数 分界点，分两类；再结合复合函数对称轴/定义域位置。 【变式1】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. （2）将有两个不相等的实根转化为有两个不相等的实根，结合对数函数的性质得到，令，则化为与有两个不同的交点，结合二次函数性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 【变式2】已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据对数函数和指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 考点五 指对幂比较大小 例9若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，， 所以． 例10设，，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 因为， ， 所以， 综上所述，. 解题策略 指对幂比较大小 · 第一步：定号。先看正负，负数 正数，直接分组。 · 第二步：与 、 比较。把每个值归入 、、。 · 第三步：同组内比较： 同底 单调性； 同指 幂函数； 同真数 换底或图像； 都不同 找第二个中间量（如 、、）。 · 作商法：两个正数 、， 则 。 · 图像法：在同一坐标系画出相关函数，看同一 处的高低。 【变式1】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小. 【详解】，，， 故. 【变式2】设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 考点六 函数的零点问题 例11方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在原理，结合方程的解与相对应函数的零点关系进行求解判断即可. 【详解】设函数， 因为函数在上都是单调递增函数， 所以函数在上也是单调递增函数. 因为， 所以， 又因为函数在上是单调递增函数， 所以根据函数零点存在原理，函数在上有唯一零点，且该零点在区间内， 因此方程的解所在区间为. 例12已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 解题策略 函数的零点问题 · 求零点：二次用解方程/；分段分段求；复合由内向外。 · 判区间：找 的区间。 · 判个数：单调性 端点异号；或转化为两函数图像交点。 · 含参零点：分离参数 ，看直线 与 图像交点。 【变式1】函数的零点为_______________. 【答案】 【分析】根据零点的定义求解一元二次方程即可． 【详解】令，即，解得． 【变式2】已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，分别根据没有零点，结合指数函数与对数函数的性质求出的范围，再求交集可得答案． 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 考点七 函数模型的实际问题 例13商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 【答案】 500 【分析】依题意列出利润的解析式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设利润为元,则 ， 当且仅当时，即时等号成立. 故每次应进货500包，最大利润为元. 例14某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少达到______． 【答案】 【分析】设静水船速为v，结合顺逆流航行时间加上停留时间构建不等式，解分式不等式求得船速最小值． 【详解】设船在静水中的速度为vkm/h（）． 依题意得，即． 去分母整理得，即，解得． 故船的速度至少达到． 解题策略 函数模型的实际问题 · 审题三步：① 找变量关系（每涨/降多少）；② 定函数类型；③ 列等式。 · 利润/面积最值题：列二次函数 配方 看对称轴是否在区间内 下结论。 · 增长/衰减题：识别 型，代入数据求 、。 · 分段计费题： 按区间分段写解析式； 逐段求值域/最值； 比较各段结果，取全局最值。 · 拟合选择题：看数据增长趋势——线性直线、指数越来越陡、对数越来越缓，对号入座。 · 最后一步：检验结果是否符合实际（正数、整数、合理范围），写“答”。 【变式1】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 【答案】 40 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得 . 当且仅当，即时取等号. 【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 14 【分析】代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间. 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 故选：A 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 解得． 故选：B 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出、、、即可得. 【详解】对A、B：，，故A、B错误； 对C、D：，，则，故C正确、D错误. 故选：C. 4．（2025高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 5．（2025高三上·广东·学业考试）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】由函数在上单调递增，且值域为， 故必有唯一解， 故当时，有两不同根， 即有两不同非正根， 即有，解得， 由，则，解得， 故. 故选：D. 6．（2024高三上·广东·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为，， 又因为，所以，即， 所以. 故选：B 7．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数,若，则x＝（    ） A．－3 B．－2 C．3 D．3或－2 【答案】C 【分析】分与两种情况，求出答案. 【详解】当时，，解得，不满足要求，舍去； 当时，，解得，满足要求. 故选：C 8．（2025高三上·广东·学业考试）______． 【答案】 【分析】利用指数和对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 9．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数，则________． 【答案】/ 【分析】由指数与对数的运算法则求解． 【详解】，则， 故答案为： 10．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明略. 11．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)函数为奇函数，理由： 函数为上的奇函数. 由（1）可知， 由于，其定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数. 【分析】（1）把点代入解析式求出后可得答案； （2）利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $