专题05 函数的基本性质（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题05 函数的基本性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 5 考点一：函数的单调性及其证明【核心重点】 5 考点二：函数单调性的应用【核心重点】 6 考点三：函数的奇偶性及其证明【核心重点】 7 考点四：函数奇偶性的应用【重难点】 8 考点五：函数单调性与奇偶性的综合应用【重难点】 9 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 理解函数的单调性与奇偶性的定义，掌握函数的单调性与奇偶性的证明，能利用函数的单调性与奇偶性的综合应用。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的单调性 5年3考 函数单调性的证明、利用函数单调性求参数 预测2027年在解答题中考查函数单调性的证明 函数的奇偶性 5年4考 函数奇偶性的证明、函数奇偶性的应用 预测2027年在选择或填空题中考函数奇偶性的应用 函数单调性与奇偶性的综合应用 5年1考 函数图像的综合判断 预测2027年在选择或填空题中考查函数奇偶性与单调性的综合应用 知识梳理 知识点1、函数的单调性 1. 单调递增：设函数 的定义域为 ，区间 ：若对 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递增， 为单调递增区间。 2. 单调递减：同上，当 时，都有 ，则称 在 上单调递减。 3. 单调区间：单调性是函数的局部性质，必须指明区间；同一函数在不同区间上单调性可以不同。 4. 复合函数单调性——“同增异减”：，若 与 在对应区间上单调性相同，则复合后增；相反则复合后减。 5. 单调性与运算： （1）增 + 增 = 增，减 + 减 = 减； （2）增 - 减 = 增，减 - 增 = 减； （3）正数常数不改变单调性；负系数整体翻转单调性； （4）同号区间上，倒数函数单调性相反； （5）正数区间上， 与 、（ 时）单调性一致。 6. 最值与单调性：若 在闭区间 上单调递增，则最大值 、最小值 ；单调递减则反之。 必记结论 1. 定义证明五步走：取值 作差 变形 定号 结论。 （1）作差：； （2）变形：因式分解、配方、有理化、通分； （3）定号：判断差的正负； （4）结论：依据定义下结论。 2. 基本初等函数的单调性结论（直接套用）： （1）一次函数 ： 增， 减； （2）二次函数 ： 时在 减、 增； 反之； （3）反比例 ： 时在 和 各自递减（注意不能说在整个定义域上递减）； （4）： 为奇数时在 上增； 为正偶数时在 增、 减。 ⚠️避坑指南 ❌ 证明单调性时不作差、直接”看出来”。解答题必须严格按定义五步，不能凭图像或直觉。 ❌ 作差后变形不彻底，导致无法定号。差的变形目标一定是化成”几个因子相乘/相加”的形式，每个因子符号清楚。 ❌ 单调区间写法错误。多个单调区间之间用逗号或”和”连接，不能用并集符号 。 ❌ 复合函数”同增异减”时，忘记先求内层函数的取值范围，直接在外层定义域上判断。 自主检测若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 知识点2、函数的奇偶性 1. 偶函数：设 定义域为 ，若对 ，都有 且 ，则 为偶函数。图像关于 轴对称。 2. 奇函数：同上，若 ，则 为奇函数。图像关于 原点对称。 3. 前提——定义域关于原点对称：这是函数具有奇偶性的必要不充分条件。定义域不关于原点对称，直接判定为非奇非偶。 4. 分类：奇函数、偶函数、既奇又偶（ 且定义域关于原点对称）、非奇非偶。 5. 奇偶性与单调性联动： （1）奇函数在对称区间上单调性相同； （2）偶函数在对称区间上单调性相反。 6. 奇偶性与运算（在公共对称定义域上）： （1）奇 奇 = 奇；偶 偶 = 偶； （2）奇 奇 = 偶；偶 偶 = 偶；奇 偶 = 奇； （3）任意函数 都可写成一个奇函数与一个偶函数之和：。 必记结论 1. 若 是奇函数且在 处有定义，则必有 。这是求参数、验解的常用结论。 2. 偶函数满足 ——解偶函数不等式时常用此法把自变量统一到非负半轴。 3. 常见奇偶函数： （1）奇函数：、、（ 奇）、、； （2）偶函数：（常数）、、、； （3）非奇非偶：、、。 4. 奇函数图像关于原点对称 若 ，则 ；偶函数 ，则 。 5. 单调性、奇偶性结合的核心转化： （1）已知 上的解析式 利用 求 上的解析式。 （2）若奇函数 在区间 上有最大值 ，则在 上有最小值 。 ⚠️避坑指南 ❌ 不先检查定义域是否关于原点对称，直接代入 。第一步永远是”看定义域”，不对称直接判定非奇非偶。 ❌ 误用。只有”奇函数且 在定义域内”才能推 ；偶函数、定义域不含 的奇函数都不成立。 ❌ 已知 解析式求 解析式时，符号搞错。步骤：设 则 代入已知解析式求 利用 （奇）或 （偶）解出 。 ❌ 解 型不等式时，不利用奇偶性把项挪成 与 的关系，再利用单调性脱掉 。 ❌偶函数解不等式 时，直接写 或 ——错，应写 ，再利用 上的单调性。 自主检测已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 考点精讲 考点一 函数的单调性及其证明 例1已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 例2已知幂函数在区间上单调递增． (1)求m的值； (2)设，判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 解题策略 函数单调性的证明 · 解答题证明单调性：严格按五步，作差变形是拿分关键；遇到根式先有理化，遇到分式先通分。 · 判断复合函数单调性：先定定义域 拆内外层 列“同增异减”表 下结论。 · 含参函数讨论单调性：抓住“对称轴、导数零点”与区间的相对位置分类，分完类再给结论。 【变式1】已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 【变式2】已知函数是一次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 考点二 函数单调性的应用 例3已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 解题策略 函数单调性的应用 1. 比较大小：① 同区间直接比；② 不同区间化到同一单调区间（偶函数化 ）；③ 找中间量 、、自身比较。 2. 解 ： （1）写出 的单调区间； （2）加限制 、； （3）按单调性转化为 、 的不等式； （4）取三者交集。 3. 含参单调性问题： （1）单调 对称轴不在区间内（或导数符号恒正/恒负）； （2）不单调 对称轴在区间内； （3）求最值 轴在区间内/外两种情况讨论。 4. 零点个数：画图 + 单调区间 + 端点函数值符号，三管齐下。 【变式1】函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________. 考点三 函数的奇偶性及其证明 例5已知函数（），且. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数的奇偶性. 例6已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求的定义域并判断其奇偶性. 解题策略 函数的奇偶性及其证明 1. 判断/证明奇偶性： （1）写定义域，看是否关于原点对称； （2）算 ，化简； （3）对比 或 ，三选一结论。 2. 含参函数判断奇偶性：用 对任意 恒成立，比较系数定参；再回代检验。 3. 抽象函数判奇偶：赋值 求 ，再令 推 与 关系。 【变式1】已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【变式2】已知函数，且. (1)求a的值； (2)判断函数的奇偶性. 考点四 函数奇偶性的应用 例7已知是偶函数，则（     ）． A． B． C．1 D．2 例8已知函数是奇函数，当时，，则时，的解析式是_______． 解题策略 函数奇偶性的应用 1. 求对称区间解析式四步： （1）设所求侧自变量 ； （2）转化为已知侧： 满足已知范围； （3）代入已知式求 ； （4）用奇偶性定义反解 ，并标注新定义域。 2. 求函数值：把所求自变量转化到已知解析式所在侧，再代值。 3. 解不等式： （1）偶函数 统一成 形式，套正半轴单调； （2）奇函数 把负号移进括号（），凑成同结构。 4. 求参数：列 恒等式 比较系数 回代验定义域。 【变式1】若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2】若是偶函数，则__________．（用数字作答） 考点五 函数单调性与奇偶性的综合应用 例9已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 例10已知函数为奇函数． (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 解题策略 函数单调性与奇偶性的综合应用 1. 解 ： （1）若 是奇函数：； （2）利用单调性脱 ，注意加 、 的定义域限制； （3）解不等式组。 2. 解偶函数 ：化为 ，套正半轴单调性。 3. 图像题：先由奇偶性定对称性，再由单调区间定升降，关键点（原点、对称轴、端点）代入验证。 4. 最值综合：奇/偶函数的对称区间最值互为相反数（奇）或相同（偶），避免重复计算。 【变式1】已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 【变式2】已知是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三上·广东·学业考试）函数（e为自然对数的底数）在的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   6．已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 7．已知函数为R上的偶函数，当时，，则函数________． 8．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 9．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 10．已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 11．已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用定义证明函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：函数的单调性及其证明【核心重点】 6 考点二：函数单调性的应用【核心重点】 9 考点三：函数的奇偶性及其证明【核心重点】 11 考点四：函数奇偶性的应用【重难点】 14 考点五：函数单调性与奇偶性的综合应用【重难点】 15 04 实战演练 21 考情解读 考试要求 理解函数的单调性与奇偶性的定义，掌握函数的单调性与奇偶性的证明，能利用函数的单调性与奇偶性的综合应用。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的单调性 5年3考 函数单调性的证明、利用函数单调性求参数 预测2027年在解答题中考查函数单调性的证明 函数的奇偶性 5年4考 函数奇偶性的证明、函数奇偶性的应用 预测2027年在选择或填空题中考函数奇偶性的应用 函数单调性与奇偶性的综合应用 5年1考 函数图像的综合判断 预测2027年在选择或填空题中考查函数奇偶性与单调性的综合应用 知识梳理 知识点1、函数的单调性 1. 单调递增：设函数 的定义域为 ，区间 ：若对 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递增， 为单调递增区间。 2. 单调递减：同上，当 时，都有 ，则称 在 上单调递减。 3. 单调区间：单调性是函数的局部性质，必须指明区间；同一函数在不同区间上单调性可以不同。 4. 复合函数单调性——“同增异减”：，若 与 在对应区间上单调性相同，则复合后增；相反则复合后减。 5. 单调性与运算： （1）增 + 增 = 增，减 + 减 = 减； （2）增 - 减 = 增，减 - 增 = 减； （3）正数常数不改变单调性；负系数整体翻转单调性； （4）同号区间上，倒数函数单调性相反； （5）正数区间上， 与 、（ 时）单调性一致。 6. 最值与单调性：若 在闭区间 上单调递增，则最大值 、最小值 ；单调递减则反之。 必记结论 1. 定义证明五步走：取值 作差 变形 定号 结论。 （1）作差：； （2）变形：因式分解、配方、有理化、通分； （3）定号：判断差的正负； （4）结论：依据定义下结论。 2. 基本初等函数的单调性结论（直接套用）： （1）一次函数 ： 增， 减； （2）二次函数 ： 时在 减、 增； 反之； （3）反比例 ： 时在 和 各自递减（注意不能说在整个定义域上递减）； （4）： 为奇数时在 上增； 为正偶数时在 增、 减。 ⚠️避坑指南 ❌ 证明单调性时不作差、直接”看出来”。解答题必须严格按定义五步，不能凭图像或直觉。 ❌ 作差后变形不彻底，导致无法定号。差的变形目标一定是化成”几个因子相乘/相加”的形式，每个因子符号清楚。 ❌ 单调区间写法错误。多个单调区间之间用逗号或”和”连接，不能用并集符号 。 ❌ 复合函数”同增异减”时，忘记先求内层函数的取值范围，直接在外层定义域上判断。 自主检测若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 【答案】(1)，；. (2)证明：设，， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． 【分析】（1）将和代入，解方程组即可求出答案； （2）根据函数的单调性的定义，设，利用作差比较法即可证明. 【详解】（1）把和代入得， 解得，所以. （2）略. 知识点2、函数的奇偶性 1. 偶函数：设 定义域为 ，若对 ，都有 且 ，则 为偶函数。图像关于 轴对称。 2. 奇函数：同上，若 ，则 为奇函数。图像关于 原点对称。 3. 前提——定义域关于原点对称：这是函数具有奇偶性的必要不充分条件。定义域不关于原点对称，直接判定为非奇非偶。 4. 分类：奇函数、偶函数、既奇又偶（ 且定义域关于原点对称）、非奇非偶。 5. 奇偶性与单调性联动： （1）奇函数在对称区间上单调性相同； （2）偶函数在对称区间上单调性相反。 6. 奇偶性与运算（在公共对称定义域上）： （1）奇 奇 = 奇；偶 偶 = 偶； （2）奇 奇 = 偶；偶 偶 = 偶；奇 偶 = 奇； （3）任意函数 都可写成一个奇函数与一个偶函数之和：。 必记结论 1. 若 是奇函数且在 处有定义，则必有 。这是求参数、验解的常用结论。 2. 偶函数满足 ——解偶函数不等式时常用此法把自变量统一到非负半轴。 3. 常见奇偶函数： （1）奇函数：、、（ 奇）、、； （2）偶函数：（常数）、、、； （3）非奇非偶：、、。 4. 奇函数图像关于原点对称 若 ，则 ；偶函数 ，则 。 5. 单调性、奇偶性结合的核心转化： （1）已知 上的解析式 利用 求 上的解析式。 （2）若奇函数 在区间 上有最大值 ，则在 上有最小值 。 ⚠️避坑指南 ❌ 不先检查定义域是否关于原点对称，直接代入 。第一步永远是”看定义域”，不对称直接判定非奇非偶。 ❌ 误用。只有”奇函数且 在定义域内”才能推 ；偶函数、定义域不含 的奇函数都不成立。 ❌ 已知 解析式求 解析式时，符号搞错。步骤：设 则 代入已知解析式求 利用 （奇）或 （偶）解出 。 ❌ 解 型不等式时，不利用奇偶性把项挪成 与 的关系，再利用单调性脱掉 。 ❌偶函数解不等式 时，直接写 或 ——错，应写 ，再利用 上的单调性。 自主检测已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【答案】(1)， (2)为奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为， 则，所以， 所以为奇函数. 【分析】（1）由已知得关于，的方程组，即可求解. （2）求出，结合奇偶性的定义即可得出结论. 【详解】（1）由得，；由得，； 联立解得，，. （2）为奇函数，证明略. 考点精讲 考点一 函数的单调性及其证明 例1已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 【答案】(1)不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小. 【详解】（1）略 （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 例2已知幂函数在区间上单调递增． (1)求m的值； (2)设，判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)函数 在区间 上单调递减，证明： 由（1）知 ，则 ， 任取 ，且 ， 则 ， 因为 ，所以 ，且 ， 故 ，于是 ， 因此，，即 ， 故函数 在 上单调递减. 【分析】（1）利用幂函数的定义以及幂函数的单调性可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为 是幂函数， 所以 ，解得 ，即 . 当 时，，在 上单调递增，满足题意； 当 时，，在 上单调递减，不满足题意，舍去； 因此， . （2）略 解题策略 函数单调性的证明 · 解答题证明单调性：严格按五步，作差变形是拿分关键；遇到根式先有理化，遇到分式先通分。 · 判断复合函数单调性：先定定义域 拆内外层 列“同增异减”表 下结论。 · 含参函数讨论单调性：抓住“对称轴、导数零点”与区间的相对位置分类，分完类再给结论。 【变式1】已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 【答案】 在上递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上递减. 【分析】任取，且，利用作差法证明，结合增、减函数的定义即可下结论. 【详解】略 【变式2】已知函数是一次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明. 【答案】(1) (2)减函数，证明如下： 任取且，则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数是上的单调减函数. 【分析】（1）设一次函数，由条件列方程组即可得解； （2）将的解析式代入中，化简后利用函数单调性的定义进行判断和证明. 【详解】（1）设一次函数， 则，解得， 所以. （2）. 可判断在上单调递减，证明略. 考点二 函数单调性的应用 例3已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 即成立，所以在上是单调递减的， 则，即. 例4已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 解题策略 函数单调性的应用 1. 比较大小：① 同区间直接比；② 不同区间化到同一单调区间（偶函数化 ）；③ 找中间量 、、自身比较。 2. 解 ： （1）写出 的单调区间； （2）加限制 、； （3）按单调性转化为 、 的不等式； （4）取三者交集。 3. 含参单调性问题： （1）单调 对称轴不在区间内（或导数符号恒正/恒负）； （2）不单调 对称轴在区间内； （3）求最值 轴在区间内/外两种情况讨论。 4. 零点个数：画图 + 单调区间 + 端点函数值符号，三管齐下。 【变式1】函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求对数函数的定义域，再依据复合函数“同增异减”的单调性规则，结合内层二次函数的单调性取交集得到结果． 【详解】由题得，， 因为对数函数在单调递增，二次函数在单调递减，在单调递增， 所以函数的单调增区间是． 【变式2】偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________. 【答案】 【分析】先根据偶函数的对称性确定在上的单调性和，再将乘积不等式拆分为两个同号的不等式组分类求解. 【详解】 因为是偶函数，在上单调递减，根据偶函数的性质，在上单调递增，且. 不等式等价于两个因式同号，分两种情况讨论： 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 考点三 函数的奇偶性及其证明 例5已知函数（），且. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数的奇偶性. 【答案】(1) (2) 由（1）知，则函数是奇函数，证明如下： 显然函数定义域为全体实数，它关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 【分析】（1）将代入函数解析式直接计算即可. （2）由函数奇偶性的定义判定并证明即可. 【详解】（1）因为，所以； （2）略 例6已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求的定义域并判断其奇偶性. 【答案】(1)3 (2)，奇函数 【分析】（1）将点代入解析式化简得，求解即可； （2）解分式不等式求得的定义域，再利用奇函数定义判断即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 由题意知，即，解得. （2）由（1）得，， 由得，解得，所以的定义域为， 因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数. 解题策略 函数的奇偶性及其证明 1. 判断/证明奇偶性： （1）写定义域，看是否关于原点对称； （2）算 ，化简； （3）对比 或 ，三选一结论。 2. 含参函数判断奇偶性：用 对任意 恒成立，比较系数定参；再回代检验。 3. 抽象函数判奇偶：赋值 求 ，再令 推 与 关系。 【变式1】已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明： 因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 【变式2】已知函数，且. (1)求a的值； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1) (2)为奇函数. 【分析】（1）将代入，解出的值. （2）按照定义法证明奇偶性的步骤，先判断定义域是否关于原点对称，再判断与的关系即可. 【详解】（1）由已知可得，，   解得： （2）由（1）知，，定义域为关于原点对称， 又，所以为奇函数. 考点四 函数奇偶性的应用 例7已知是偶函数，则（     ）． A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以， 即， 所以有， 所以，即， 所以，即. 例8已知函数是奇函数，当时，，则时，的解析式是_______． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义,把时的函数值转化为时的函数值. 【详解】设,则. 因为当时,,所以. 又是奇函数,所以,即. 所以当时,. 解题策略 函数奇偶性的应用 1. 求对称区间解析式四步： （1）设所求侧自变量 ； （2）转化为已知侧： 满足已知范围； （3）代入已知式求 ； （4）用奇偶性定义反解 ，并标注新定义域。 2. 求函数值：把所求自变量转化到已知解析式所在侧，再代值。 3. 解不等式： （1）偶函数 统一成 形式，套正半轴单调； （2）奇函数 把负号移进括号（），凑成同结构。 4. 求参数：列 恒等式 比较系数 回代验定义域。 【变式1】若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则，所以 因为函数是奇函数，所以当时， 【变式2】若是偶函数，则__________．（用数字作答） 【答案】2 【分析】将函数解析式展开，利用偶函数满足自变量一次项系数为 ，求出 的值后代入计算 . 【详解】. 因为 是偶函数，所以 的一次项系数为 ，即 . 解得 . . 考点五 函数单调性与奇偶性的综合应用 例9已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 由（1）知 ， 定义域为，函数在上单调递增， 证明如下：任取，则 ， 由及在上单调递增，得， 则， 即，所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义可得答案； （2）利用单调性的定义可证明； （3）利用奇偶性与单调性把不等式转化为二次不等式恒成立问题，分离变量，利用对勾函数求最值可得答案. 【详解】（1）由题意，定义在上的函数为奇函数， 得，解得， 此时， 则， 所以函数是上奇函数，所以. （2）略 （3）依题意，对任意的，成立， 因为为定义在上的奇函数， 则， 又因为函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 即， 而在上单调递增， 当且仅当时，取到最小值6， 因此，所以实数的取值范围是. 例10已知函数为奇函数． (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明： 设，且， 则， 因为单调递增，所以， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性性质可得答案； （2）利用函数单调性定义可得答案； （3）利用函数的奇偶性、单调性得出在区间上恒成立，令，再利用单调性定义判断出的单调性可得答案． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，又，所以，所以； （2）略 （3）因为函数为奇函数， 所以， 又因为在上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 令， 设，且， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，由题意，得， 所以a的取值范围为． 解题策略 函数单调性与奇偶性的综合应用 1. 解 ： （1）若 是奇函数：； （2）利用单调性脱 ，注意加 、 的定义域限制； （3）解不等式组。 2. 解偶函数 ：化为 ，套正半轴单调性。 3. 图像题：先由奇偶性定对称性，再由单调区间定升降，关键点（原点、对称轴、端点）代入验证。 4. 最值综合：奇/偶函数的对称区间最值互为相反数（奇）或相同（偶），避免重复计算。 【变式1】已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 【答案】(1) (2) 在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）首先利用奇偶性将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则， 又，则 ，，经验证此时为奇函数. （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. 【变式2】已知是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的对称性质来求解析式即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性来解不等式，再利用不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题意，得， 令，则，由于是在R上的奇函数， 所以， 则函数的解析式为 （2）由的解析式可知，函数在R上为增函数. ∵是定义在R上的奇函数， ∴，即. 又是增函数，∴， 即对任意的恒成立， ∵， ∴，即. ∴实数k的取值范围为. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 故选：A 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 解得． 故选：B 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】由函数在上单调递增，且值域为， 故必有唯一解， 故当时，有两不同根， 即有两不同非正根， 即有，解得， 由，则，解得， 故. 故选：D. 4．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出、、、即可得. 【详解】对A、B：，，故A、B错误； 对C、D：，，则，故C正确、D错误. 故选：C. 5．（2024高三上·广东·学业考试）函数（e为自然对数的底数）在的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可得答案. 【详解】由题知的定义域为， 又因为， 所以为偶函数，即图象关于轴对称，排除A、C； 又，排除D. 故选：B. 6．已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由单调性定义判断函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式组即可求解. 【详解】因为对任意实数且，不等式恒成立， 所以函数在R上为减函数. 所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 7．已知函数为R上的偶函数，当时，，则函数________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】令，则，那么， 因为函数是偶函数，所以. 所以当时，. 所以. 故答案为：. 8．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明略. 9．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)函数为奇函数，理由： 函数为上的奇函数. 由（1）可知， 由于，其定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数. 【分析】（1）把点代入解析式求出后可得答案； （2）利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； （2）略 10．已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数； (3)在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意得，，得，则； （2）略 （3）略 11．已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用定义证明函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数． (2)设， 则， 因为，，分母大于零，所以， 即在上单调递增． (3) 【分析】（1）由奇函数的定义即可求解； （2）作差后因式分解，由，，即可求解； （3）由奇偶性与单调性化为，再由定义域即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由得， 又在上单调递增，所以， 由得，由得，由得， 所以不等式的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $