专题04 函数及其表示（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题04 函数及其表示 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：函数关系的判断与图像 7 考点二：函数的定义域【核心重点】 9 考点三：函数的解析式【核心重点】 11 考点四：函数的值域与最值【重难点】 12 考点五：求函数值域分段函数 14 04 实战演练 15 考情解读 考试要求 理解函数的三要素，掌握函数定义域、解析式、值域的求解方法，掌握分段函数的问题与求参数问题。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的定义域 5年5考 具体函数的定义域、抽象函数的定义域 预测2027年在选择或填空题中考查具体函数的定义域 函数的解析式 5年1考 待定系数法求函数解析式 预测2027年在选择或填空题中考查待定系数法求函数解析式 函数图像 5年2考 函数图像问题 预测2027年在选择或填空题中考查函数图像问题 分段函数 5年1考 分段函数求值 预测2027年在选择或填空题中考查分段函数求值问题 知识梳理 知识点1、函数的相关概念 1. 函数的定义：设 、 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 2. 函数的三要素：定义域 、对应法则 、值域 。值域由定义域和对应法则共同决定，是 的子集。 3. 相同函数的判定：定义域相同 且 对应法则完全一致（与用什么字母表示无关）。 4. 映射与函数的关系：函数是特殊的映射——映射允许 、 是任意非空集合，函数要求 、 必须是非空数集。 5. 函数图像的特征：函数图像上的点 满足 ；图像可能是连续曲线、离散点集、线段或曲线段。 必记结论 · 竖线检验法：作任意一条垂直于 轴的直线 ，该直线与函数图像至多有一个交点。若出现两个或以上交点，则不是 关于 的函数图像。 · 区间表示：、、、 等，注意实心点与空心圈的区别。 · 表示函数在 处的函数值（一个数）， 表示函数（一个对应关系），二者不可混淆。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 理解为”f 乘以 x”。 是对应法则的符号，不是乘号。 ❌ 判断相同函数不能只看解析式化简后相同，忽略定义域。 ❌ 不能认为函数图像一定是连续曲线。离散点集、单独的点、线段都可以是函数图像。 自主检测下列两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C． D．与 【答案】D 【分析】根据相同函数须定义域、值域、对应关系均相同，逐项判断即可. 【详解】对于选项的定义域为的定义域为， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项的定义域是，定义域不R . 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项的对应关系不同， 且的值域是由不小于的奇数组成的集合，的值域为不小于1的奇数组成的集合. 故不是相同函数，故C错误； 对于选项，函数的定义域、对应关系均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D. 知识点2、函数的定义域 1. 自然定义域：使函数解析式有意义的自变量 的取值集合。 2. 常见限制条件： （1）分式：分母 ； （2）偶次根式（、）：被开方数 ； （3）对数 ：真数 ，且底数 且 ； （4）零次幂 ：底数 ； （5）正切 ：。 3. 复合函数定义域：已知 的定义域为 ，则 的定义域是使 成立的 的集合。 4. 实际问题定义域：除满足解析式外，还必须符合实际意义（非负、整数、有界等）。 必记结论 1. 交集原则：一个函数同时受到多种限制时，取各限制条件的交集。 2. 括号整体范围一致原则： （1）若 的定义域为 ，则 中 的整体范围必须落在 内； （2）若 的定义域为 ，则 的定义域就是 在 上的值域。 3. 定义域必须用集合或区间书写，不能直接写不等式。 ⚠️避坑指南 ❌ 对数函数不能只注意真数 ，还要记得底数 且 ❌ 复合函数方向不能搞反。 ❌ 定义域不要漏端点。例如分母为零要排除，偶次根式等于零要包含，二者方向相反。 自主检测函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义， 则，即且， 故函数的定义域为. 知识点3、函数的解析式 1. 待定系数法：已知函数类型（一次、二次、反比例等），设出一般式，利用已知条件列方程求系数。 2. 换元法（含配凑法）：已知 的表达式，求 。令 ，反解 ，代入原式得 。 3. 方程组法（消元法）：已知 满足某个关于 和 、 的方程，通过变量替换构造另一个方程，联立消元。 4. 分段函数解析式：根据每一段的自变量范围分别写出对应法则，注意端点归属。 必记结论 · 一次函数设 ()；二次函数设 ()。 · 二次函数已知顶点 时，优先设顶点式 ；已知两根 、 时，设零点式 。 · 换元后必须标注新元 的取值范围，否则 的定义域会丢失。 · 形如 的结构，用 替换 再列一个方程，联立解出 。 ⚠️避坑指南 ❌ 换元后不要忘记求新元范围。 ❌ 分段函数端点不能重复或也不能遗漏。 ❌ 求实际问题解析式时不能漏掉定义域，会导致答案不完整。 自主检测已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用换元法求解即可. 【详解】令，则，所以， 则． 故选：A 知识点4、函数的值域 1. 值域：函数值的集合 ；最值是值域中的最大/最小值。 2. 常用求法： （1）观察法（简单初等函数）； （2）配方法（二次型函数）； （3）换元法（含根式、复合结构）； （4）分离常数法（一次/一次型分式）； （5）单调性法； （6）图像法； （7）判别式法（二次分式）。 必记结论 · 一次函数 ()：定义域 时值域为 。 · 二次函数 ()：配方后顶点处取最小值，值域为 ； 时取最大值。 · 反比例函数 ()：值域为 。 · 分式型 ()：分离常数 ，值域为 。 · 复合函数 ：由内到外，先求内层 的范围，再把这个范围当作 的定义域求值域。 ⚠️避坑指南 ❌ 换元后新元有范围限制，直接套旧公式导致值域扩大。 ❌ 二次函数在有限区间上的值域不是直接套顶点，要比较顶点与区间端点。 ❌ 判别式法忽略二次项系数为零的情况，或忽视原函数的定义域限制。 ❌ 实际问题中自变量有范围，不能直接写 或默认值域。 自主检测函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其中即 故函数的定义域为， 由解析式可知函数在单调递增， 所以， 故的值域为. 考点精讲 考点一 函数关系的判断与图像判定 例1下列图形可以表示为以为定义域，以 为值域的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数要求定义域内每一个都有唯一确定的与之对应，且值域恰好为. 【详解】对于A，图形中的最大值小于，即函数的值域不是，故A不符合； 对于B，图形在的范围不是，即函数的定义域不是，故B不符合； 对于C，对任意，有唯一确定的与之对应，且当取遍时，也取遍，故C符合； 对于D，图形中，对于存在上的某些值，对应两个不同的值，故D不符合. 例2下列选项中，是同一个函数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【详解】两个函数相同需定义域与对应法则都相同，逐项检验． 对于A，的对应法则是直接输出自变量本身，值域为全体实数，而，对应法则是输出自变量的绝对值，值域为非负实数，对应法则不同，故A错误； 对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，与相同，故C正确； 对于D， 的定义域为 ，与 的定义域不同，故D错误． 解题策略 函数相关概念的判断 · 判断两函数是否相同：先看定义域是否相同，再化简对应法则是否一致，两步缺一不可。 · 图像识别题：用”竖线法”一刀切，凡是被竖线穿两次的直接排除。 · 读图题：抓住关键点——与坐标轴交点、最高点、最低点、分段点、定义域端点。 · 抽象对应关系判断：紧扣”任意 、唯一 “两个关键词，一对一、多对一都是函数，一对多不是。 【变式1】下列图形可作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用函数的定义分析判断得解. 【详解】A中，当时有两个与之对应，不是函数图象； B中，曲线在轴左侧“回头”，对某些有两个不同的与之对应，不是函数图象； C中，时对应2个，不是函数图象； D中，每个至多对应一个，可以作为函数图象． 【变式2】下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个函数表示同一函数，必须定义域相同、对应关系也相同，逐项看定义域． 【详解】A项，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； B项，，定义域为，与相同，是同一函数； C项，，对应关系不同，不是同一函数； D项，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数． 考点二 函数的定义域 例3函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可. 【详解】由有意义可得， ， 解得，即， 所以函数的定义域为. 例4已知函数，则的定义域为_________（用区间表示）. 【答案】 【详解】由题意得，解得， 令，解得， 故的定义域为. 解题策略 函数定义域的求解 · 具体函数：逐条列出限制条件 列不等式组 取交集 写成区间/集合。 · 抽象函数：牢记”括号内范围一致”—— 后面括号里的整体（无论是 还是 ）所允许的范围是同一个。 · 含参定义域：对参数分类讨论（如二次项系数为零、根式内符号变化）。 · 实际应用题：先列解析式，再根据实际背景补”非负、整数、上限”等约束。 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 【变式2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 【答案】 【详解】已知的定义域为，因此，即， 在分母上，则，即， 取交集得：，故的定义域是. 考点三 函数的解析式 例5已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，可得，即. 例6已知满足，则_______． 【答案】 / 【分析】令，得到新的方程，联立两个方程消去即可求解. 【详解】已知对任意，有 ①. 令，代入①得： ②； 令，代入①得： ③. 由③整理得，代入②得： ， 即， 解得. 解题策略 函数解析式的求解 · 已知函数类型 待定系数法，设形式、列方程、解系数、回代。 · 已知 求 优先换元法；若 反解困难，用配凑法把右边整理成关于 的表达式。 · 与 或 混合方程 换元构造方程组，消去另一个函数。 · 图像或表格给分段信息 逐段读图，分段写解析式，并验证分段点函数值连续（或按题目要求跳跃）。 【变式1】已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 【变式2】已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 考点四 函数的值域与最值 例7函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以，，， 所以，即的值域为. 例8函数的最大值为______． 【答案】 【分析】先求根号内二次函数的最大值，再开方即可. 【详解】由得． 因为，当时取最大值， 所以的最大值为． 解题策略 函数最值与值域的求解 · 分式一次/一次型：分离常数，直接看出”不等于某个常数”。 · 二次型：配方，看开口方向和对称轴与定义域的位置关系（轴在区间内取顶点最值，轴在区间外取端点最值）。 · 含根号：换元去根号，注意新元非负。 · 复合函数：“由内向外、层层剥皮”，每一层都标注当前变量范围。 · 图像可见：直接画图读高低点，最快最稳。 【变式1】下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误； 选项B，由的定义域为，所以， 所以函数值域为：，故B错误； 选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误； 选项D，由的定义域为，此时， 所以函数值域为，故D正确. 【变式2】函数在区间上的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 【分析】由定义判断函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值与最小值即得. 【详解】因的定义域为，任取， ， 因为，所以， 所以， 即当时，，故函数在上为减函数， 故当时，函数取最大值，当时，取最小值， 故. 考点五 求函数值域分段函数 例9设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断内层自变量落在哪一段，再算外层函数值． 【详解】因为，所以． 因为，所以． 例10已知函数，则_______． 【答案】 【详解】，故. 解题策略 分段函数的相关计算 · 画图像是第一选择：分段函数问题画图最直观，值域、最值、方程解个数一眼看清。 · 求函数值：“先定位、后代入”——先看 在哪一段，再代对应式子。 · 求值域/最值：逐段求值域 取并集；逐段求最值 比较大小。 · 解方程 ：分段求解，每段解完必检”解是否在本段定义域内”，不合题意的舍去。 · 含绝对值：先按零点分段去绝对值符号，转化为普通分段函数再处理。 · 实际应用（出租车计费、个税、水费）：读懂分段规则，正确写出每段区间和对应公式，注意起步价段和累进计费的衔接。 【变式1】已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为和均为单调函数， 所以欲使则需，得，则 【变式2】设函数，则______. 【答案】12 【详解】由题意，， 所以. 实战训练 1．（2025高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 2．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出、、、即可得. 【详解】对A、B：，，故A、B错误； 对C、D：，，则，故C正确、D错误. 故选：C. 3．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数,若，则x＝（    ） A．－3 B．－2 C．3 D．3或－2 【答案】C 【分析】分与两种情况，求出答案. 【详解】当时，，解得，不满足要求，舍去； 当时，，解得，满足要求. 故选：C 4．已知函数满足，则等于（   ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【详解】①， 将替换为，可得， 即②， 由②①，得，即， 故. 5．下列各组函数表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数的定义域以及解析式是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一个函数， 对于B，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一个函数， 对于C, 的定义域为，的定义域为，定义域相同， 又，故，因此表达式相同，故是同一个函数， 对于D，,的表达式不相同，所以不是同一个函数， 6．已知函数，若存在最大值，则的最小值为（     ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性求解函数的最值，即可结合分段函数的性质求解. 【详解】当时，， 当时，， 若存在最大值，则的最大值为，且， 当，且时，在上单调递增， 此时，故，得，无解， 当，且时，在上单调递增， 在单调递减，此时，故，得， 综上可得存在最大值，则，故的最小值为0. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的定义域指的是自变量的取值范围，先由此求出中的范围，再求的定义域. 【详解】由的定义域为，由，可得， 对于函数,令，得， 所以函数的定义域为. 8．函数 的定义域为 ________． 【答案】 【详解】由，得 ，解得或； 函数的定义域为 . 9．已知函数 则 _____． 【答案】 【分析】通过代入分段函数解析式即可求解. 【详解】由题可得：，. 10．已知函数，则的值域为______． 【答案】 【分析】通过换元法求出的解析式，再结合二次函数的图象与性质求解值域 【详解】求的解析式：令，，则， 将其代入已知等式得： ，展开化简： ， 即，，对称轴为， 当时，取得最小值：，所以的值域为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数及其表示 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：函数关系的判断与图像 6 考点二：函数的定义域【核心重点】 7 考点三：函数的解析式【核心重点】 8 考点四：函数的值域与最值【重难点】 8 考点五：求函数值域分段函数 9 04 实战演练 11 考情解读 考试要求 理解函数的三要素，掌握函数定义域、解析式、值域的求解方法，掌握分段函数的问题与求参数问题。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的定义域 5年5考 具体函数的定义域、抽象函数的定义域 预测2027年在选择或填空题中考查具体函数的定义域 函数的解析式 5年1考 待定系数法求函数解析式 预测2027年在选择或填空题中考查待定系数法求函数解析式 函数图像 5年2考 函数图像问题 预测2027年在选择或填空题中考查函数图像问题 分段函数 5年1考 分段函数求值 预测2027年在选择或填空题中考查分段函数求值问题 知识梳理 知识点1、函数的相关概念 1. 函数的定义：设 、 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 2. 函数的三要素：定义域 、对应法则 、值域 。值域由定义域和对应法则共同决定，是 的子集。 3. 相同函数的判定：定义域相同 且 对应法则完全一致（与用什么字母表示无关）。 4. 映射与函数的关系：函数是特殊的映射——映射允许 、 是任意非空集合，函数要求 、 必须是非空数集。 5. 函数图像的特征：函数图像上的点 满足 ；图像可能是连续曲线、离散点集、线段或曲线段。 必记结论 · 竖线检验法：作任意一条垂直于 轴的直线 ，该直线与函数图像至多有一个交点。若出现两个或以上交点，则不是 关于 的函数图像。 · 区间表示：、、、 等，注意实心点与空心圈的区别。 · 表示函数在 处的函数值（一个数）， 表示函数（一个对应关系），二者不可混淆。 ⚠️避坑指南 ❌ 把 理解为”f 乘以 x”。 是对应法则的符号，不是乘号。 ❌ 判断相同函数不能只看解析式化简后相同，忽略定义域。 ❌ 不能认为函数图像一定是连续曲线。离散点集、单独的点、线段都可以是函数图像。 自主检测下列两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C． D．与 知识点2、函数的定义域 1. 自然定义域：使函数解析式有意义的自变量 的取值集合。 2. 常见限制条件： （1）分式：分母 ； （2）偶次根式（、）：被开方数 ； （3）对数 ：真数 ，且底数 且 ； （4）零次幂 ：底数 ； （5）正切 ：。 3. 复合函数定义域：已知 的定义域为 ，则 的定义域是使 成立的 的集合。 4. 实际问题定义域：除满足解析式外，还必须符合实际意义（非负、整数、有界等）。 必记结论 1. 交集原则：一个函数同时受到多种限制时，取各限制条件的交集。 2. 括号整体范围一致原则： （1）若 的定义域为 ，则 中 的整体范围必须落在 内； （2）若 的定义域为 ，则 的定义域就是 在 上的值域。 3. 定义域必须用集合或区间书写，不能直接写不等式。 ⚠️避坑指南 ❌ 对数函数不能只注意真数 ，还要记得底数 且 ❌ 复合函数方向不能搞反。 ❌ 定义域不要漏端点。例如分母为零要排除，偶次根式等于零要包含，二者方向相反。 自主检测函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点3、函数的解析式 1. 待定系数法：已知函数类型（一次、二次、反比例等），设出一般式，利用已知条件列方程求系数。 2. 换元法（含配凑法）：已知 的表达式，求 。令 ，反解 ，代入原式得 。 3. 方程组法（消元法）：已知 满足某个关于 和 、 的方程，通过变量替换构造另一个方程，联立消元。 4. 分段函数解析式：根据每一段的自变量范围分别写出对应法则，注意端点归属。 必记结论 · 一次函数设 ()；二次函数设 ()。 · 二次函数已知顶点 时，优先设顶点式 ；已知两根 、 时，设零点式 。 · 换元后必须标注新元 的取值范围，否则 的定义域会丢失。 · 形如 的结构，用 替换 再列一个方程，联立解出 。 ⚠️避坑指南 ❌ 换元后不要忘记求新元范围。 ❌ 分段函数端点不能重复或也不能遗漏。 ❌ 求实际问题解析式时不能漏掉定义域，会导致答案不完整。 自主检测已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 知识点4、函数的值域 1. 值域：函数值的集合 ；最值是值域中的最大/最小值。 2. 常用求法： （1）观察法（简单初等函数）； （2）配方法（二次型函数）； （3）换元法（含根式、复合结构）； （4）分离常数法（一次/一次型分式）； （5）单调性法； （6）图像法； （7）判别式法（二次分式）。 必记结论 · 一次函数 ()：定义域 时值域为 。 · 二次函数 ()：配方后顶点处取最小值，值域为 ； 时取最大值。 · 反比例函数 ()：值域为 。 · 分式型 ()：分离常数 ，值域为 。 · 复合函数 ：由内到外，先求内层 的范围，再把这个范围当作 的定义域求值域。 ⚠️避坑指南 ❌ 换元后新元有范围限制，直接套旧公式导致值域扩大。 ❌ 二次函数在有限区间上的值域不是直接套顶点，要比较顶点与区间端点。 ❌ 判别式法忽略二次项系数为零的情况，或忽视原函数的定义域限制。 ❌ 实际问题中自变量有范围，不能直接写 或默认值域。 自主检测函数的值域为（     ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 函数关系的判断与图像判定 例1下列图形可以表示为以为定义域，以 为值域的函数是（    ） A． B．C． D． 例2下列选项中，是同一个函数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 解题策略 函数相关概念的判断 · 判断两函数是否相同：先看定义域是否相同，再化简对应法则是否一致，两步缺一不可。 · 图像识别题：用”竖线法”一刀切，凡是被竖线穿两次的直接排除。 · 读图题：抓住关键点——与坐标轴交点、最高点、最低点、分段点、定义域端点。 · 抽象对应关系判断：紧扣”任意 、唯一 “两个关键词，一对一、多对一都是函数，一对多不是。 【变式1】下列图形可作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二 函数的定义域 例3函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例4已知函数，则的定义域为_________（用区间表示）. 解题策略 函数定义域的求解 · 具体函数：逐条列出限制条件 列不等式组 取交集 写成区间/集合。 · 抽象函数：牢记”括号内范围一致”—— 后面括号里的整体（无论是 还是 ）所允许的范围是同一个。 · 含参定义域：对参数分类讨论（如二次项系数为零、根式内符号变化）。 · 实际应用题：先列解析式，再根据实际背景补”非负、整数、上限”等约束。 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 考点三 函数的解析式 例5已知函数，则（     ） A． B． C． D． 例6已知满足，则_______． 解题策略 函数解析式的求解 · 已知函数类型 待定系数法，设形式、列方程、解系数、回代。 · 已知 求 优先换元法；若 反解困难，用配凑法把右边整理成关于 的表达式。 · 与 或 混合方程 换元构造方程组，消去另一个函数。 · 图像或表格给分段信息 逐段读图，分段写解析式，并验证分段点函数值连续（或按题目要求跳跃）。 【变式1】已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【变式2】已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 考点四 函数的值域与最值 例7函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例8函数的最大值为______． 解题策略 函数最值与值域的求解 · 分式一次/一次型：分离常数，直接看出”不等于某个常数”。 · 二次型：配方，看开口方向和对称轴与定义域的位置关系（轴在区间内取顶点最值，轴在区间外取端点最值）。 · 含根号：换元去根号，注意新元非负。 · 复合函数：“由内向外、层层剥皮”，每一层都标注当前变量范围。 · 图像可见：直接画图读高低点，最快最稳。 【变式1】下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数在区间上的最大值与最小值的和为_____． 考点五 求函数值域分段函数 例9设，则（    ） A． B． C． D． 例10已知函数，则_______． 解题策略 分段函数的相关计算 · 画图像是第一选择：分段函数问题画图最直观，值域、最值、方程解个数一眼看清。 · 求函数值：“先定位、后代入”——先看 在哪一段，再代对应式子。 · 求值域/最值：逐段求值域 取并集；逐段求最值 比较大小。 · 解方程 ：分段求解，每段解完必检”解是否在本段定义域内”，不合题意的舍去。 · 含绝对值：先按零点分段去绝对值符号，转化为普通分段函数再处理。 · 实际应用（出租车计费、个税、水费）：读懂分段规则，正确写出每段区间和对应公式，注意起步价段和累进计费的衔接。 【变式1】已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】设函数，则______.训 练 1．（2025高三上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数,若，则x＝（    ） A．－3 B．－2 C．3 D．3或－2 4．已知函数满足，则等于（   ） A． B．1 C．3 D．9 5．下列各组函数表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知函数，若存在最大值，则的最小值为（     ）． A． B．0 C．1 D．2 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数 的定义域为 ________． 9．已知函数 则 _____． 10．已知函数，则的值域为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $