专题03 复数（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题03 复数 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：复数的概念 6 考点二：复数的四则运算【核心重点】 6 考点三：共轭复数与复数的模【高频考点】 7 考点四：复平面与几何意义 8 考点五：i的幂与复数范围内的方程 8 04 实战演练 9 考情解读 考试要求 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件;掌握复数的代数形式的四则运算;了解复数的代数表示及其几何意义，理解共轭复数的概念，会求复数的模。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 复数的概念 5年2考 实部、虚部、模、共轭复数 预测2027年在选择题中考查虚数的实部、虚部、模、共轭复数 复数的四则运算 5年2考 复数的加减乘除运算 预测2027年在选择题中考查复数的四则运算 复平面与几何意义 5年1考 判断对应点所在象限 预测2027年在选择或填空题中考查复数对应点所在象限 知识梳理 知识点1、复数的概念 （1）数系的扩充与虚数单位：为了解方程，引入新数，规定；形如（a，b∈R）的数叫做复数，叫做虚数单位；全体复数构成的集合叫做复数集 C。 （2）实部与虚部：在复数（a，b∈R）中，a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部。 （3）复数相等：a＋bi 与 c＋di 相等当且仅当 a＝c 且 b＝d，即两个复数相等等价于实部、虚部分别相等。 （4）复数的分类：当 b＝0 时 z 为实数；当 b≠0 时 z 为虚数；当 a＝0 且 b≠0 时 z 为纯虚数；当 a＝b＝0 时 z 为实数 0。实数集 R 是复数集 C 的真子集。 类别 条件（z＝a＋bi，a，b∈R） 说明 实数 b＝0 z＝a 就是实数 虚数 b≠0 z＝a＋bi（b≠0） 纯虚数 a＝0 且 b≠0 z＝bi（b≠0） 零 a＝0 且 b＝0 z＝0 （5）复平面与几何意义：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b) 一一对应，也与以原点为起点的向量 OZ 一一对应；实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 （6）复数的模：向量 OZ 的模叫做复数 z＝a＋bi 的模（或绝对值），记作 |z|，即；当 b＝0 时，|z|＝|a|。 （7）共轭复数：当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；若 z＝a＋bi，则其共轭复数为 a−bi；虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 ①判断实、虚、纯虚数示例：当 m 取何值时，z＝(m＋1)＋(m−1)i 是实数、虚数、纯虚数？由 m−1＝0 得 m＝1 时为实数；由 m−1≠0 得 m≠1 时为虚数；由 m＋1＝0 且 m−1≠0 得 m＝−1 时为纯虚数。 ②模的几何意义：|z|＝1 表示复平面内以原点为圆心、1 为半径的圆；1＜|z|＜2 表示以原点为圆心、1 与 2 为半径的两个圆所夹的圆环（不含边界）。 ③两点间距离：复平面内两点、的距离为，即两复数差的模。 必记结论 1.复数相等等价于实部、虚部分别相等，复数问题实数化就是列两个实数方程； 2. z与其共轭复数 a−bi 之积为 a²＋b²＝|z|²； 3.|z₁−z₂| 等于复平面内两点间的距离。 ⚠️避坑指南 ❌ 复数的虚部是实数 b，而不是 bi；a＝0 且 b≠0 才是纯虚数，只说 a＝0 不成立。 ❌ 两个复数一般不能比较大小，只有相等与不等关系。 ❌ 0的辐角任意，不要按一个固定角处理。 自主检测已知复数是纯虚数，则实数（     ） A． B． C． D． 知识点2、复数的四则运算 （1）加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，两个复数相加减类似多项式相加减，分别合并实部与虚部；复数加法满足交换律、结合律。 （2）乘除法与共轭：(a＋bi)(c＋di)＝(ac−bd)＋(ad＋bc)i，按多项式相乘后把 i² 换成 −1，乘法满足交换律、结合律与分配律；除法是乘法的逆运算，把分式的分子、分母同乘分母的共轭复数 c−di，使分母实数化为 c²＋d²（c＋di≠0）。 （3）复平面上的几何意义：复数加减对应平面向量的加减；两复数差的模即对应两点间距离。 （4）实系数一元二次方程：当 Δ＝b²−4ac＜0 时，方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）在复数范围内的根为，两根互为共轭复数；如 x²＋2＝0 的根为。 运算 法则（z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di） 要点 加法 z₁＋z₂＝(a＋c)＋(b＋d)i 类比多项式相加；对应向量加法 减法 z₁−z₂＝(a−c)＋(b−d)i 差的模即两点距离 乘法 z₁·z₂＝(ac−bd)＋(ad＋bc)i i²＝−1，合并实虚部 除法 乘分母共轭复数实数化 ①乘法示例：(1＋i)²＝1＋2i＋i²＝2i；(2＋3i)(2−3i)＝2²−(3i)²＝4＋9＝13，即两个共轭复数之积为实数。 ②除法示例：，分母化为 3²＋4²＝25。 ③实系数方程求根：Δ＜0 时根为一对共轭复数，可借助 a²＋b²＝(a＋bi)(a−bi) 在复数范围内因式分解，如 x²＋4＝(x＋2i)(x−2i)。 必记结论 1. 复数除法的核心是分母实数化； 2. 分子、分母同乘分母的共轭复数； 3. 共轭复数之积为。 ⚠️避坑指南 ❌ 乘法展开后勿忘 i²＝−1 的负号。 ❌ 除法必须乘“分母”的共轭复数，不是乘分子的。 自主检测（    ） A． B． C． D． 知识点3、复数的三角表示 （1）复数的三角形式：复数 z＝a＋bi 可表示为 z＝r(cosθ＋i sinθ)，其中 r＝|z|＝是复数的模，cosθ＝a/r，sinθ＝b/r；r(cosθ＋i sinθ) 叫做复数的三角形式，a＋bi 叫做代数形式。 （2）辐角与辐角主值：以 x 轴非负半轴为始边、向量 OZ 所在射线为终边的角 θ 叫做复数 z 的辐角。任何一个非零复数的辐角有无限多个，且相差 2π 的整数倍；规定 0≤arg z＜2π 的辐角值为辐角主值，如 arg 1＝0，arg i＝，arg(−1)＝π，arg(−i)＝；复数 0 的辐角任意。 内容 法则 代数形式 → 三角形式 r＝，cosθ＝a/r，sinθ＝b/r 三角形式 → 代数形式 a＝r cosθ，b＝r sinθ 乘法 / 除法 模相乘（除），辐角相加（减） （3）乘法的三角法则：r₁(cosθ₁＋i sinθ₁)·r₂(cosθ₂＋i sinθ₂)＝r₁r₂[cos(θ₁＋θ₂)＋i sin(θ₁＋θ₂)]，即积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和。 （4）除法的三角法则：r₁(cosθ₁＋i sinθ₁)÷r₂(cosθ₂＋i sinθ₂)＝(r₁/r₂)[cos(θ₁−θ₂)＋i sin(θ₁−θ₂)]，即商的模等于被除数模除以除数模，商的辐角等于被除数辐角减去除数辐角。 （5）乘除的几何意义：两个复数相乘，相当于把对应向量绕原点旋转辐角 θ₂，再把模伸缩为原来的 r₂ 倍；除法相当于反向旋转。 必记结论 1. 三角形式乘除口诀——模相乘（除）、辐角相加（减）； 2. 两个非零复数相等等价于模相等且辐角主值分别相等。 ⚠️避坑指南 ❌ 三角形式必须满足 r≥0 且为 r(cosθ＋i sinθ) 的结构。 ❌ 辐角主值范围是 [0，2π)；辐角有无限多个，比较复数相等时要看模与辐角主值是否分别相等。 自主检测规定：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位．则（   ） A．i B． C．1 D． 考点精讲 考点一 复数的概念 例1已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（   ） A．-1 B．1 C． D．0 例2若复数，则实数的值为________． 解题策略 复数的相关概念 · 标准形式：（ 为实部， 为虚部），。 · 分类判断： 实数 虚数 纯虚数 且 （ 不够，还要 ） · 复数相等： 且 （实部、虚部分别相等）。 · 易错：纯虚数漏掉 ；虚部是实数 ，不是 。 【变式1】已知复数，（，），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】复数的虚部为_________． 考点二 复数的四则运算 例3若复数满足，则（     ） A． B． C．1 D． 例4的虚部是______. 解题策略 复数的四则运算 · 加减：实部加减、虚部加减，合并同类项。 · 乘法：按多项式展开，遇 换成 。 · 除法（重点）：分子分母同乘分母的共轭复数，分母化为实数。 · 常用结论：， · 易错：除法忘记乘共轭；展开后 符号出错。 【变式1】已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若复数z满足（其中i表示虚数单位），则复数z的虚部为________. 考点三 共轭复数与复数的模 例5设复数，则复数的模为（   ） A．7 B．1 C．5 D．25 例6已知为虚数单位，若复数满足，则________． 解题策略 共轭复数与复数的模 · 共轭： 的共轭为 （虚部变号）。 · 模公式：（复平面上点到原点的距离）。 · 模的性质： （求模长平方的利器） ， 为实数； 为纯虚数 · 易错： 是实数非负； 是实数不是模。 【变式1】若复数满足，则的共轭复数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若复数的模为5，且，则_____. 考点四 复平面与几何意义 例7复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例8已知复数满足，则______． 解题策略 复平面与几何意义 · 一一对应：复数 复平面点 向量 。 · 几何含义： 向量 的长度 两点间距离 以 为圆心、 为半径的圆 · 象限判断：看 所在象限，实部定 轴，虚部定 轴。 · 易错：虚轴上的点除原点外都是纯虚数；原点是实数也是纯虚数的边界。 【变式1】已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】设，则满足条件的点的集合表示的图形的面积为______． 考点五 i的幂与复数范围内的方程 例9已知是虚数单位，则化简的结果为（   ） A．i B． C． D．1 例10若虚数是实系数一元二次方程的一个根，且，则______. 解题策略 i的幂与复数范围内的方程 · 的幂周期（4 循环）： ，，， 的结果： 除以 4，余 1 ，余 2 ，余 3 ，整除 · 复数方程： 实系数方程虚根共轭成对（若 是根，则 也是根） 设 ，利用复数相等列实部、虚部两个方程求解 · 韦达定理仍适用：复系数/实系数方程，根与系数关系不变。 · 易错： 算错周期；解复数方程忘设 而硬凑。 【变式1】已知复数是关于的方程（R，R）的一个根，则________． 【变式2】复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数z满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知是关于的方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是虚数单位，复数，则以下说法错误的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．在复平面内对应的点在第三象限 7．（2024高三上·广东·学业考试）若复数，则______. 8．复数，则的值为______． 9．已知，则______. 10．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：复数的概念 6 考点二：复数的四则运算【核心重点】 7 考点三：共轭复数与复数的模【高频考点】 9 考点四：复平面与几何意义 10 考点五：i的幂与复数范围内的方程 11 04 实战演练 13 考情解读 考试要求 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件;掌握复数的代数形式的四则运算;了解复数的代数表示及其几何意义，理解共轭复数的概念，会求复数的模。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 复数的概念 5年2考 实部、虚部、模、共轭复数 预测2027年在选择题中考查虚数的实部、虚部、模、共轭复数 复数的四则运算 5年2考 复数的加减乘除运算 预测2027年在选择题中考查复数的四则运算 复平面与几何意义 5年1考 判断对应点所在象限 预测2027年在选择或填空题中考查复数对应点所在象限 知识梳理 知识点1、复数的概念 （1）数系的扩充与虚数单位：为了解方程，引入新数，规定；形如（a，b∈R）的数叫做复数，叫做虚数单位；全体复数构成的集合叫做复数集 C。 （2）实部与虚部：在复数（a，b∈R）中，a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部。 （3）复数相等：a＋bi 与 c＋di 相等当且仅当 a＝c 且 b＝d，即两个复数相等等价于实部、虚部分别相等。 （4）复数的分类：当 b＝0 时 z 为实数；当 b≠0 时 z 为虚数；当 a＝0 且 b≠0 时 z 为纯虚数；当 a＝b＝0 时 z 为实数 0。实数集 R 是复数集 C 的真子集。 类别 条件（z＝a＋bi，a，b∈R） 说明 实数 b＝0 z＝a 就是实数 虚数 b≠0 z＝a＋bi（b≠0） 纯虚数 a＝0 且 b≠0 z＝bi（b≠0） 零 a＝0 且 b＝0 z＝0 （5）复平面与几何意义：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b) 一一对应，也与以原点为起点的向量 OZ 一一对应；实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 （6）复数的模：向量 OZ 的模叫做复数 z＝a＋bi 的模（或绝对值），记作 |z|，即；当 b＝0 时，|z|＝|a|。 （7）共轭复数：当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；若 z＝a＋bi，则其共轭复数为 a−bi；虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 ①判断实、虚、纯虚数示例：当 m 取何值时，z＝(m＋1)＋(m−1)i 是实数、虚数、纯虚数？由 m−1＝0 得 m＝1 时为实数；由 m−1≠0 得 m≠1 时为虚数；由 m＋1＝0 且 m−1≠0 得 m＝−1 时为纯虚数。 ②模的几何意义：|z|＝1 表示复平面内以原点为圆心、1 为半径的圆；1＜|z|＜2 表示以原点为圆心、1 与 2 为半径的两个圆所夹的圆环（不含边界）。 ③两点间距离：复平面内两点、的距离为，即两复数差的模。 必记结论 1.复数相等等价于实部、虚部分别相等，复数问题实数化就是列两个实数方程； 2. z与其共轭复数 a−bi 之积为 a²＋b²＝|z|²； 3.|z₁−z₂| 等于复平面内两点间的距离。 ⚠️避坑指南 ❌ 复数的虚部是实数 b，而不是 bi；a＝0 且 b≠0 才是纯虚数，只说 a＝0 不成立。 ❌ 两个复数一般不能比较大小，只有相等与不等关系。 ❌ 0的辐角任意，不要按一个固定角处理。 自主检测已知复数是纯虚数，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】由已知， 因为，复数是纯虚数，所以，所以. 知识点2、复数的四则运算 （1）加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，两个复数相加减类似多项式相加减，分别合并实部与虚部；复数加法满足交换律、结合律。 （2）乘除法与共轭：(a＋bi)(c＋di)＝(ac−bd)＋(ad＋bc)i，按多项式相乘后把 i² 换成 −1，乘法满足交换律、结合律与分配律；除法是乘法的逆运算，把分式的分子、分母同乘分母的共轭复数 c−di，使分母实数化为 c²＋d²（c＋di≠0）。 （3）复平面上的几何意义：复数加减对应平面向量的加减；两复数差的模即对应两点间距离。 （4）实系数一元二次方程：当 Δ＝b²−4ac＜0 时，方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）在复数范围内的根为，两根互为共轭复数；如 x²＋2＝0 的根为。 运算 法则（z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di） 要点 加法 z₁＋z₂＝(a＋c)＋(b＋d)i 类比多项式相加；对应向量加法 减法 z₁−z₂＝(a−c)＋(b−d)i 差的模即两点距离 乘法 z₁·z₂＝(ac−bd)＋(ad＋bc)i i²＝−1，合并实虚部 除法 乘分母共轭复数实数化 ①乘法示例：(1＋i)²＝1＋2i＋i²＝2i；(2＋3i)(2−3i)＝2²−(3i)²＝4＋9＝13，即两个共轭复数之积为实数。 ②除法示例：，分母化为 3²＋4²＝25。 ③实系数方程求根：Δ＜0 时根为一对共轭复数，可借助 a²＋b²＝(a＋bi)(a−bi) 在复数范围内因式分解，如 x²＋4＝(x＋2i)(x−2i)。 必记结论 1. 复数除法的核心是分母实数化； 2. 分子、分母同乘分母的共轭复数； 3. 共轭复数之积为。 ⚠️避坑指南 ❌ 乘法展开后勿忘 i²＝−1 的负号。 ❌ 除法必须乘“分母”的共轭复数，不是乘分子的。 自主检测（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案． 【详解】． 知识点3、复数的三角表示 （1）复数的三角形式：复数 z＝a＋bi 可表示为 z＝r(cosθ＋i sinθ)，其中 r＝|z|＝是复数的模，cosθ＝a/r，sinθ＝b/r；r(cosθ＋i sinθ) 叫做复数的三角形式，a＋bi 叫做代数形式。 （2）辐角与辐角主值：以 x 轴非负半轴为始边、向量 OZ 所在射线为终边的角 θ 叫做复数 z 的辐角。任何一个非零复数的辐角有无限多个，且相差 2π 的整数倍；规定 0≤arg z＜2π 的辐角值为辐角主值，如 arg 1＝0，arg i＝，arg(−1)＝π，arg(−i)＝；复数 0 的辐角任意。 内容 法则 代数形式 → 三角形式 r＝，cosθ＝a/r，sinθ＝b/r 三角形式 → 代数形式 a＝r cosθ，b＝r sinθ 乘法 / 除法 模相乘（除），辐角相加（减） （3）乘法的三角法则：r₁(cosθ₁＋i sinθ₁)·r₂(cosθ₂＋i sinθ₂)＝r₁r₂[cos(θ₁＋θ₂)＋i sin(θ₁＋θ₂)]，即积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和。 （4）除法的三角法则：r₁(cosθ₁＋i sinθ₁)÷r₂(cosθ₂＋i sinθ₂)＝(r₁/r₂)[cos(θ₁−θ₂)＋i sin(θ₁−θ₂)]，即商的模等于被除数模除以除数模，商的辐角等于被除数辐角减去除数辐角。 （5）乘除的几何意义：两个复数相乘，相当于把对应向量绕原点旋转辐角 θ₂，再把模伸缩为原来的 r₂ 倍；除法相当于反向旋转。 必记结论 1. 三角形式乘除口诀——模相乘（除）、辐角相加（减）； 2. 两个非零复数相等等价于模相等且辐角主值分别相等。 ⚠️避坑指南 ❌ 三角形式必须满足 r≥0 且为 r(cosθ＋i sinθ) 的结构。 ❌ 辐角主值范围是 [0，2π)；辐角有无限多个，比较复数相等时要看模与辐角主值是否分别相等。 自主检测规定：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位．则（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由已知，． 考点精讲 考点一 复数的概念 例1已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（   ） A．-1 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】若复数是纯虚数，则，解得. 例2若复数，则实数的值为________． 【答案】4 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】若复数，,解得, 所以实数的值为4. 解题策略 复数的相关概念 · 标准形式：（ 为实部， 为虚部），。 · 分类判断： 实数 虚数 纯虚数 且 （ 不够，还要 ） · 复数相等： 且 （实部、虚部分别相等）。 · 易错：纯虚数漏掉 ；虚部是实数 ，不是 。 【变式1】已知复数，（，），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 【变式2】复数的虚部为_________． 【答案】 【详解】复数的标准代数形式为，其中，实数称为该复数的虚部. 复数可改写为，对应， 因此该复数的虚部为. 考点二 复数的四则运算 例3若复数满足，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 则 例4的虚部是______. 【答案】 【详解】 所以的虚部是 解题策略 复数的四则运算 · 加减：实部加减、虚部加减，合并同类项。 · 乘法：按多项式展开，遇 换成 。 · 除法（重点）：分子分母同乘分母的共轭复数，分母化为实数。 · 常用结论：， · 易错：除法忘记乘共轭；展开后 符号出错。 【变式1】已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化简整理成的标准形式即可求解. 【详解】 . 所以的虚部为. 【变式2】若复数z满足（其中i表示虚数单位），则复数z的虚部为________. 【答案】/ 【详解】， 因此复数z的虚部为. 考点三 共轭复数与复数的模 例5设复数，则复数的模为（   ） A．7 B．1 C．5 D．25 【答案】C 【分析】复数已写成代数形式，直接利用复数模的公式计算. 【详解】由，得 例6已知为虚数单位，若复数满足，则________． 【答案】 【详解】因为，则， 可得，所以. 解题策略 共轭复数与复数的模 · 共轭： 的共轭为 （虚部变号）。 · 模公式：（复平面上点到原点的距离）。 · 模的性质： （求模长平方的利器） ， 为实数； 为纯虚数 · 易错： 是实数非负； 是实数不是模。 【变式1】若复数满足，则的共轭复数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数除法运算以及共轭复数的概念分析求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 【变式2】若复数的模为5，且，则_____. 【答案】 【分析】先设复数，再结合模长公式计算求解. 【详解】设，则，解得（负根舍去），所以，. 考点四 复平面与几何意义 例7复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数的实部为，虚部为，对应点的坐标为，故该点位于第一象限. 例8已知复数满足，则______． 【答案】/ 【分析】设，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】设， 则，解得， 故. 解题策略 复平面与几何意义 · 一一对应：复数 复平面点 向量 。 · 几何含义： 向量 的长度 两点间距离 以 为圆心、 为半径的圆 · 象限判断：看 所在象限，实部定 轴，虚部定 轴。 · 易错：虚轴上的点除原点外都是纯虚数；原点是实数也是纯虚数的边界。 【变式1】已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，其横坐标为正，纵坐标为负，故该点位于第四象限． 【变式2】设，则满足条件的点的集合表示的图形的面积为______． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，根据复数模的定义推导点Z的轨迹方程，确定轨迹为圆后计算面积. 【详解】设，则， 由，根据复数模的计算公式可得， 两边平方得，即点的集合是以为圆心，半径为2的圆， 因此该图形的面积. 考点五 i的幂与复数范围内的方程 例9已知是虚数单位，则化简的结果为（   ） A．i B． C． D．1 【答案】C 【详解】，故. 例10若虚数是实系数一元二次方程的一个根，且，则______. 【答案】 【分析】利用实系数一元二次方程共轭虚根成对的性质，结合韦达定理与复数模的运算公式求解即可； 【详解】根据实系数一元二次方程的虚根性质：若虚数是实系数一元二次方程的根， 则其共轭复数也为该方程的根。 由韦达定理，. 解题策略 i的幂与复数范围内的方程 · 的幂周期（4 循环）： ，，， 的结果： 除以 4，余 1 ，余 2 ，余 3 ，整除 · 复数方程： 实系数方程虚根共轭成对（若 是根，则 也是根） 设 ，利用复数相等列实部、虚部两个方程求解 · 韦达定理仍适用：复系数/实系数方程，根与系数关系不变。 · 易错： 算错周期；解复数方程忘设 而硬凑。 【变式1】已知复数是关于的方程（R，R）的一个根，则________． 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理得到另一根，结合韦达定理求的值，再计算. 【详解】∵是实系数方程的根， 实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理得，， 解得，故. 【变式2】复数，则在复平面内对应的点所在的象限是（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，结合复数的乘方及周期性化简复数，再求其共轭复数，根据对应点的坐标判断所在象限即可. 【详解】设，则， ，， 故的幂次周期为3. 又，所以. 所以，其在复平面内对应的点坐标为， 横、纵坐标均为负，因此该点位于第三象限. 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义易得． 【详解】因复数的实部为，虚部为， 故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. 2．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 3．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，所以的虚部是. 4．在复平面内，复数z满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先通过分母实数化求出复数，利用 “一个复数的共轭复数的共轭等于它本身” 这一性质，简化运算，再写出该复数在复平面对应的点坐标，最后根据横、纵坐标的正负判断点所在象限即可. 【详解】∵， ∴， 由共轭复数性质得：， ∴的共轭复数为：， ∴在复平面对应的点：， ∴该点在第三象限. 5．已知是关于的方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将代入方程， 得， 即， 解得． 6．已知是虚数单位，复数，则以下说法错误的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】D 【详解】． 选项A：复数标准形式为，虚部为，故虚部为，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：的共轭复数，C正确； 选项D：对应复平面内的点为，该点在第四象限，D错误． 7．（2024高三上·广东·学业考试）若复数，则______. 【答案】/ 【分析】利用复数的四则运算与复数模的运算公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．复数，则的值为______． 【答案】 【详解】由复数模的性质，得. 9．已知，则______. 【答案】16 【详解】由完全平方公式可得， 根据虚数单位的定义，代入化简得： ， 则，且， 根据复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等，可得： ，. 将x、y代入计算得： . 10．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为________． 【答案】1 【分析】利用实系数的一元二次方程的根的性质列式求解. 【详解】依题意，也是关于的实系数方程的一个根， 由韦达定理，,解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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