专题02 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题02 一元二次函数、方程和不等式 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：不等式的性质 6 考点二：一元二次不等式【核心重点】 9 考点三：基本不等式求最值【重难点】 10 考点四：基本不等式的实际应用 12 考点五：由不等式解集求参数与恒成立问题 14 04 实战演练 16 考情解读 考试要求 掌握不等式的性质，掌握一元二次不等式、分式不等式的解法，利用基本不等式求最值，了解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 解一元二次不等式 5年4考 解一元二次不等式 预测2027年在选择题中考查一元二次不等式的解法 基本不等式 5年5考 利用基本不等式求和、积的最值；条件等式求最值 预测2027年在选择题中考查利用基本不等式求最值 知识梳理 知识点1、等式性质与不等式性质 （1）不等关系与不等式：现实世界和日常生活中大量存在相等关系和不等关系，相等用等式表示，不等用不等式表示。要能根据实际问题中的数量关系，列出相应的不等式（组）。 （2）实数大小比较的基本事实：设 a，b 是两个实数，有 a＞b ⇔ a−b＞0；a＝b ⇔ a−b＝0；a＜b ⇔ a−b＜0。反过来也成立。比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小，这种方法称为作差比较法。 （3）等式的基本性质：对称性（若 a＝b，则 b＝a）、传递性（若 a＝b，b＝c，则 a＝c）、可加性（若 a＝b，则 a±c＝b±c）、可乘性（若 a＝b，则 ac＝bc；若 a＝b，c≠0，则）。 （4）不等式的基本性质： 性质 条件 结论 性质1 对称性 a＞b b＜a（即 a＞b ⇔ b＜a） 性质2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 性质3 可加性 a＞b a＋c＞b＋c（两边同加一个实数，方向不变） 性质4 可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc（同乘正数，方向不变） 性质4 可乘性 a＞b，c＜0 ac＜bc（同乘负数，方向改变） 性质5 同向可加 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d 性质6 同向同正可乘 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd ①作差比较法的步骤：作差 → 变形（配方、因式分解、通分等）→ 判断差的符号 → 得出大小关系。例如，比较 (x＋2)(x＋3) 与 (x＋1)(x＋4)：两式之差为 (x²＋5x＋6)−(x²＋5x＋4)＝2＞0，所以 (x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4)。 ②移项法则：由性质3可得，不等式中任何一项改变符号后，可以移到不等号的另一边。 ③性质7（乘方）：如果 a＞b＞0，那么 aⁿ＞bⁿ（n∈N，n≥2）。 ④使用限制：同向不等式只能相加，不能相减；只有同向且同为正数的两个不等式才能相乘。 必记结论 若 a＞b＞0，则 1/a＜1/b（两个正数中，倒数大的反而小）；若 a＞b，c＞d，则 a−d＞b−c（由同向可加与移项推出）。 ⚠️避坑指南 ❌ 不等式两边同乘（除）一个含字母的式子时，必须先判断该式的符号：乘（除）正数方向不变，乘（除）负数方向必须改变；两个同向不等式只能相加，不能相减。 自主检测已知，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【分析】取特值可判断AD不正确，利用不等式的基本性质可判断BC，即可求解. 【详解】对于A，由，当时，可得，所以A不正确； 对于B，由，则，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，则，所以C正确； 对于D，取，可得， 此时，所以D不正确. 知识点2、基本不等式 （1）重要不等式：，有，当且仅当时等号成立。 证明：，当且仅当时等号成立。 （2）基本不等式：若 a＞0，b＞0，则。 其中叫做正数 a，b 的算术平均数，叫做正数 a，b 的几何平均数；即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立。 （3）证明方法与几何解释：用分析法证明：要证，只要证，即，显然成立，当且仅当 a＝b 时等号成立。几何解释：在半圆中，垂直于直径的半弦长不超过半径。 （4）两个最值模型： 模型 条件（定值） 结论 取等条件 积定和最小 xy＝P（定值），x，y＞0 x＋y≥，和的最小值为 x＝y 和定积最大 x＋y＝S（定值），x，y＞0 xy≤S²/4，积的最大值为 S²/4 x＝y ①典型例：当 x＞0 时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 2。 ②矩形模型：面积为定值时，邻边相等（即正方形）所用篱笆最短；周长为定值时，邻边相等（即正方形）围成的面积最大。 ③常见变形：；；。 必记结论 用基本不等式求最值必须同时满足三个条件：一正（各项均为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能够取到），三者缺一不可。 ⚠️避坑指南 ❌ 若各项不是正数，不能直接套用基本不等式；若和或积不是定值，不能求出最值；若等号取不到，结论中的最大值或最小值不成立。 自主检测设，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【详解】，， 当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 知识点3、二次函数与一元二次方程、不等式 （1）一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。其一般形式是 ax²＋bx＋c＞0 或 ax²＋bx＋c＜0，其中 a，b，c 均为常数，a≠0。 （2）二次函数的零点：使 ax²＋bx＋c＝0 的实数 x 叫做二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的零点。一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是函数图象与 x 轴交点的横坐标。 （3）三者之间的联系：一元二次方程的根对应二次函数图象与 x 轴的交点；由图象位于 x 轴上方或下方的位置，即可确定 ax²＋bx＋c＞0 或 ax²＋bx＋c＜0 的解集。 （4）解集对照表（设 a＞0，Δ＝b²−4ac，x₁＜x₂）： 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 两个不相等实根 x₁，x₂ 两个相等实根 x₁＝x₂＝ 没有实数根 图象与 x 轴的交点 两个交点 一个交点（相切） 没有交点 ax²＋bx＋c＞0 的解集 {x | x＜x₁，或 x＞x₂} R ax²＋bx＋c＜0 的解集 {x | x₁＜x＜x₂} ∅ ∅ （5）求解步骤： 第一步 化正：若二次项系数 a＜0，先两边同乘 −1（不等号方向改变），把二次项系数化为正数； 第二步 求根：计算判别式 Δ＝b²−4ac，求出一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的实数根； 第三步 定解集：对照二次函数图象或上表，写出相应一元二次不等式的解集。 ①Δ＞0 型：解 x²−5x＋6＞0，方程的根为 x₁＝2，x₂＝3，解集为 {x | x＜2，或 x＞3}。 ②Δ＝0 型：解 9x²−6x＋1＞0，方程有重根 x＝，解集为 {x | x≠1/3}。 ③Δ＜0 型：解 −x²＋2x−3＞0，先化为 x²−2x＋3＜0，Δ＝−8＜0，方程无实根，解集为 ∅。 ④实际应用：把实际问题抽象为一元二次不等式求解；注意自变量的实际取值范围，如车辆数取整数、长度必须为正等。 必记结论 二次项系数为负时，先化为正数再求解；分式不等式化为整式不等式后，必须保证分母不为 0。 ⚠️避坑指南 ❌ Δ＝0 时，ax²＋bx＋c＞0 的解集不含重根；开口向下的不等式必须先化正再对照图象；解决实际问题时，不要遗漏自变量取值范围的限制。 自主检测不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，等价于， 即， 所以， 即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 考点精讲 考点一 不等式的性质 例1下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】作差法判断A；利用不等式性质判断BC，对D选项取特殊值验证即可. 【详解】对于A，因为，所以， 得，错误； 对于B，由，得，， 由同向不等式的可加性得，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，， 在两边同时乘以，得，即，故C正确； 对于D，取，满足，此时，故D错误. 例2已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，展开可得：. 由等式两边同类项系数相等，得方程组： ，解得. 因此. 由，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘2，得. 又，根据同向不等式相加的性质，得， 整理得. 故的取值范围是. 解题策略 不等式的性质应用 · 核心依据：加减不变方向；乘除正数不变向，乘除负数必须变号。 · 可减性：（同向可加），但不能相减。 · 可乘性：（同正同向才能乘）。 · 倒数关系：（同号才成立）。 · 易错：乘除含字母时，先判断正负再定方向；0 不能作除数也不能乘。 【变式1】已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ， ∴，A正确. 【变式2】下列命题为真命题的是（　　） A． B．若 且 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】D 【分析】对于A，先分别取倒数，再利用不等式的同向可加性即可判断；对于B，考虑，的情况即可判断；对于C，举反例即可；对于D，用换元后整体求范围． 【详解】对于A，因为 ，， 因为，所以， 所以 ，故A错误； 对于B，当，时，满足且， 此时，与矛盾；故B错误； 对于C，若 ，，例如 ，，，， 此时，故C错误； 对于D，设 ，，则 ，， ， 又，． 则，， 所以，故D正确． 考点二 一元二次不等式 例3关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法，结合不等式的性质、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】， 因为，所以，解得， 因此原不等式的解集为. 例4不等式的解集为___________. 【答案】 【详解】原不等式等价于，解得. 故该不等式的解集为. 解题策略 一元二次不等式的求解 · 三步法：① 化正（二次项系数化为正）→ ② 求根（对应方程的根）→ ③ 写解集。 · 口诀：“大于取两边，小于取中间”（ 时）。 · 三种情况： ：两根 ， 取 ， 取 ： 取 ， 取 ： 取全体 ， 取 · 含参讨论：① 二次项系数正/负/零；② 正负；③ 两根大小。 · 易错：忘记二次项系数为负要先变号；端点等号问题。 【变式1】一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由，得， 解得， 所以一元二次不等式的解集为. 【变式2】不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】不等式可化为， 所以， 所以， 所以不等式的解集是. 考点三 基本不等式求最值 例5已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，，， 所以 当且仅当 ，即 时取等号； 即，时，的最小值为8. 选项A正确. 例6已知正实数，满足：，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 解题策略 利用基本不等式求最值 · 公式：（），当且仅当 时取等。 · 条件三件套：“一正、二定、三相等”—— 一正：各项为正 二定：和定积最大，积定和最小 三相等：必须能取到等号（ 是否成立） · 常用变形： “1”的代换：已知 ，求 的最小值 凑项、凑系数：拆项配出定值 分离常数：如 · 易错：等号取不到时改用对勾函数单调性；忽略”各项为正”直接套公式。 【变式1】若函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解时函数的最小值，根据等号成立的条件确定的值. 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等式成立，此时取最小值，故. 【变式2】若，则的最大值为______. 【答案】2 【分析】根据两个式子的平方和是一个定值，利用重要不等式计算最值即可． 【详解】，，． ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为2． 考点四 基本不等式的实际应用 例7若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 例8小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】首先由长方体的体积公式求得底面面积，再用底面的长和宽表示纸的面积，最后用基本不等式，即可求最小值. 【详解】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 解题策略 基本不等式的实际应用 · 步骤：设变量 → 列关系式（面积/造价/利润等）→ 用基本不等式求最值 → 检验等号条件 → 作答。 · 常见模型： 面积一定，求周长/造价最小（积定和最小） 周长/材料一定，求面积最大（和定积最大） 运输成本、用料最省问题 · 关键：实际问题中变量有实际范围（长度、数量 ），取等条件必须在定义域内。 · 易错：忘记写”当 时取等号”；单位和实际意义对应不上。 【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 考点五 由不等式解集求参数与恒成立问题 例9若关于 的不等式 的解集是 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解集的两端点用韦达定理把 用 表示，再解新不等式． 【详解】因为 的解集为 ，所以 ，且 是 的两根， 由韦达定理 ，，即 ，． 不等式 即 ，两边同除以 得 ， 即 ，解得 或 ．故选D． 例10若关于的不等式的解集为，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】关于的不等式的解集为， 当时，成立， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围为． 解题策略 由不等式解集求参数与恒成立问题 · 已知解集反求参数： 解集端点就是对应方程的根 韦达定理：，，列方程求参数 注意二次项系数正负与解集方向一致 · 恒成立问题（核心方法）： 恒成立 恒成立 转化为求函数最值，分离参数最常用 · 二次恒成立： 对任意 恒成立 且 （ 时单独讨论） · 易错：① 忘记二次项系数为 0 的情况；② 等号能否取到与最值端点混淆；③ “存在成立”与”恒成立”搞反（存在求最值，恒成立求相反最值）。 【变式1】若不等式的解集是，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为 【变式2】不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分二次项系数为和不为两种情况讨论，分别结合一次、二次不等式恒成立的条件求解，再取并集得到的取值范围. 【详解】当，即时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 综上，实数的取值范围是. 实战训练 1．（2025高三上·广东·学业考试）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（2024高三上·广东·学业考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立． 故选：D． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 3．（2024高三上·广东·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】由得，， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 4．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 配成“和为定值”的两项，用基本不等式． 【详解】因为 ，所以 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最大值为 ． 5．若，，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，得，所以，A错误； 对于B，由，得，所以，即，B正确； 对于C，由，得，所以，即，C错误； 对于D，由，得，所以，即，D错误． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当且仅当时，不等式取等号． 7．（2025高三上·广东·学业考试）不等式的解集为______. 【答案】或 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故解集为或. 故答案为：或. 8．（2024高三上·广东·学业考试）已知 ，则 的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知 ，根据基本不等式可得， 当且仅当，即 时取等号. 故答案为：4. 9．关于x的不等式的解集是______（用集合的表示法表示）． 【答案】 【详解】不等式，解得， 所以所求不等式的解集为. 10．不等式的解集为______； 【答案】 【详解】由分式不等式解的性质得：原不等式等价于，且， 解得或，所以原不等式的解集为. 11某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【答案】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 12．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：不等式的性质 6 考点二：一元二次不等式【核心重点】 6 考点三：基本不等式求最值【重难点】 7 考点四：基本不等式的实际应用 8 考点五：由不等式解集求参数与恒成立问题 9 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 掌握不等式的性质，掌握一元二次不等式、分式不等式的解法，利用基本不等式求最值，了解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 解一元二次不等式 5年4考 解一元二次不等式 预测2027年在选择题中考查一元二次不等式的解法 基本不等式 5年5考 利用基本不等式求和、积的最值；条件等式求最值 预测2027年在选择题中考查利用基本不等式求最值 知识梳理 知识点1、等式性质与不等式性质 （1）不等关系与不等式：现实世界和日常生活中大量存在相等关系和不等关系，相等用等式表示，不等用不等式表示。要能根据实际问题中的数量关系，列出相应的不等式（组）。 （2）实数大小比较的基本事实：设 a，b 是两个实数，有 a＞b ⇔ a−b＞0；a＝b ⇔ a−b＝0；a＜b ⇔ a−b＜0。反过来也成立。比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小，这种方法称为作差比较法。 （3）等式的基本性质：对称性（若 a＝b，则 b＝a）、传递性（若 a＝b，b＝c，则 a＝c）、可加性（若 a＝b，则 a±c＝b±c）、可乘性（若 a＝b，则 ac＝bc；若 a＝b，c≠0，则）。 （4）不等式的基本性质： 性质 条件 结论 性质1 对称性 a＞b b＜a（即 a＞b ⇔ b＜a） 性质2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 性质3 可加性 a＞b a＋c＞b＋c（两边同加一个实数，方向不变） 性质4 可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc（同乘正数，方向不变） 性质4 可乘性 a＞b，c＜0 ac＜bc（同乘负数，方向改变） 性质5 同向可加 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d 性质6 同向同正可乘 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd ①作差比较法的步骤：作差 → 变形（配方、因式分解、通分等）→ 判断差的符号 → 得出大小关系。例如，比较 (x＋2)(x＋3) 与 (x＋1)(x＋4)：两式之差为 (x²＋5x＋6)−(x²＋5x＋4)＝2＞0，所以 (x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4)。 ②移项法则：由性质3可得，不等式中任何一项改变符号后，可以移到不等号的另一边。 ③性质7（乘方）：如果 a＞b＞0，那么 aⁿ＞bⁿ（n∈N，n≥2）。 ④使用限制：同向不等式只能相加，不能相减；只有同向且同为正数的两个不等式才能相乘。 必记结论 若 a＞b＞0，则 1/a＜1/b（两个正数中，倒数大的反而小）；若 a＞b，c＞d，则 a−d＞b−c（由同向可加与移项推出）。 ⚠️避坑指南 ❌ 不等式两边同乘（除）一个含字母的式子时，必须先判断该式的符号：乘（除）正数方向不变，乘（除）负数方向必须改变；两个同向不等式只能相加，不能相减。 自主检测已知，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 知识点2、基本不等式 （1）重要不等式：，有，当且仅当时等号成立。 证明：，当且仅当时等号成立。 （2）基本不等式：若 a＞0，b＞0，则。 其中叫做正数 a，b 的算术平均数，叫做正数 a，b 的几何平均数；即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立。 （3）证明方法与几何解释：用分析法证明：要证，只要证，即，显然成立，当且仅当 a＝b 时等号成立。几何解释：在半圆中，垂直于直径的半弦长不超过半径。 （4）两个最值模型： 模型 条件（定值） 结论 取等条件 积定和最小 xy＝P（定值），x，y＞0 x＋y≥，和的最小值为 x＝y 和定积最大 x＋y＝S（定值），x，y＞0 xy≤S²/4，积的最大值为 S²/4 x＝y ①典型例：当 x＞0 时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 2。 ②矩形模型：面积为定值时，邻边相等（即正方形）所用篱笆最短；周长为定值时，邻边相等（即正方形）围成的面积最大。 ③常见变形：；；。 必记结论 用基本不等式求最值必须同时满足三个条件：一正（各项均为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能够取到），三者缺一不可。 ⚠️避坑指南 ❌ 若各项不是正数，不能直接套用基本不等式；若和或积不是定值，不能求出最值；若等号取不到，结论中的最大值或最小值不成立。 自主检测设，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．10 D．11 知识点3、二次函数与一元二次方程、不等式 （1）一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。其一般形式是 ax²＋bx＋c＞0 或 ax²＋bx＋c＜0，其中 a，b，c 均为常数，a≠0。 （2）二次函数的零点：使 ax²＋bx＋c＝0 的实数 x 叫做二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的零点。一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是函数图象与 x 轴交点的横坐标。 （3）三者之间的联系：一元二次方程的根对应二次函数图象与 x 轴的交点；由图象位于 x 轴上方或下方的位置，即可确定 ax²＋bx＋c＞0 或 ax²＋bx＋c＜0 的解集。 （4）解集对照表（设 a＞0，Δ＝b²−4ac，x₁＜x₂）： 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 两个不相等实根 x₁，x₂ 两个相等实根 x₁＝x₂＝ 没有实数根 图象与 x 轴的交点 两个交点 一个交点（相切） 没有交点 ax²＋bx＋c＞0 的解集 {x | x＜x₁，或 x＞x₂} R ax²＋bx＋c＜0 的解集 {x | x₁＜x＜x₂} ∅ ∅ （5）求解步骤： 第一步 化正：若二次项系数 a＜0，先两边同乘 −1（不等号方向改变），把二次项系数化为正数； 第二步 求根：计算判别式 Δ＝b²−4ac，求出一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的实数根； 第三步 定解集：对照二次函数图象或上表，写出相应一元二次不等式的解集。 ①Δ＞0 型：解 x²−5x＋6＞0，方程的根为 x₁＝2，x₂＝3，解集为 {x | x＜2，或 x＞3}。 ②Δ＝0 型：解 9x²−6x＋1＞0，方程有重根 x＝，解集为 {x | x≠1/3}。 ③Δ＜0 型：解 −x²＋2x−3＞0，先化为 x²−2x＋3＜0，Δ＝−8＜0，方程无实根，解集为 ∅。 ④实际应用：把实际问题抽象为一元二次不等式求解；注意自变量的实际取值范围，如车辆数取整数、长度必须为正等。 必记结论 二次项系数为负时，先化为正数再求解；分式不等式化为整式不等式后，必须保证分母不为 0。 ⚠️避坑指南 ❌ Δ＝0 时，ax²＋bx＋c＞0 的解集不含重根；开口向下的不等式必须先化正再对照图象；解决实际问题时，不要遗漏自变量取值范围的限制。 自主检测不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点精讲 考点一 不等式的性质 例1下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题策略 不等式的性质应用 · 核心依据：加减不变方向；乘除正数不变向，乘除负数必须变号。 · 可减性：（同向可加），但不能相减。 · 可乘性：（同正同向才能乘）。 · 倒数关系：（同号才成立）。 · 易错：乘除含字母时，先判断正负再定方向；0 不能作除数也不能乘。 【变式1】已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列命题为真命题的是（　　） A． B．若 且 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 考点二 一元二次不等式 例3关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 例4不等式的解集为___________. 解题策略 一元二次不等式的求解 · 三步法：① 化正（二次项系数化为正）→ ② 求根（对应方程的根）→ ③ 写解集。 · 口诀：“大于取两边，小于取中间”（ 时）。 · 三种情况： ：两根 ， 取 ， 取 ： 取 ， 取 ： 取全体 ， 取 · 含参讨论：① 二次项系数正/负/零；② 正负；③ 两根大小。 · 易错：忘记二次项系数为负要先变号；端点等号问题。 【变式1】一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】不等式的解集是___________． 考点三 基本不等式求最值 例5已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 例6已知正实数，满足：，则的最小值为_____. 解题策略 利用基本不等式求最值 · 公式：（），当且仅当 时取等。 · 条件三件套：“一正、二定、三相等”—— 一正：各项为正 二定：和定积最大，积定和最小 三相等：必须能取到等号（ 是否成立） · 常用变形： “1”的代换：已知 ，求 的最小值 凑项、凑系数：拆项配出定值 分离常数：如 · 易错：等号取不到时改用对勾函数单调性；忽略”各项为正”直接套公式。 【变式1】若函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则的最大值为______. 考点四 基本不等式的实际应用 例7若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 例8小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 解题策略 基本不等式的实际应用 · 步骤：设变量 → 列关系式（面积/造价/利润等）→ 用基本不等式求最值 → 检验等号条件 → 作答。 · 常见模型： 面积一定，求周长/造价最小（积定和最小） 周长/材料一定，求面积最大（和定积最大） 运输成本、用料最省问题 · 关键：实际问题中变量有实际范围（长度、数量 ），取等条件必须在定义域内。 · 易错：忘记写”当 时取等号”；单位和实际意义对应不上。 【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 考点五 由不等式解集求参数与恒成立问题 例9若关于 的不等式 的解集是 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 例10若关于的不等式的解集为，则的取值范围为________ 解题策略 由不等式解集求参数与恒成立问题 · 已知解集反求参数： 解集端点就是对应方程的根 韦达定理：，，列方程求参数 注意二次项系数正负与解集方向一致 · 恒成立问题（核心方法）： 恒成立 恒成立 转化为求函数最值，分离参数最常用 · 二次恒成立： 对任意 恒成立 且 （ 时单独讨论） · 易错：① 忘记二次项系数为 0 的情况；② 等号能否取到与最值端点混淆；③ “存在成立”与”恒成立”搞反（存在求最值，恒成立求相反最值）。 【变式1】若不等式的解集是，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 实战训练 1．（2025高三上·广东·学业考试）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2024高三上·广东·学业考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·广东·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．若，，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三上·广东·学业考试）不等式的解集为______. 8．（2024高三上·广东·学业考试）已知 ，则 的最小值为 ______． 9．关于x的不等式的解集是______（用集合的表示法表示）． 10．不等式的解集为______； 11某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 12．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $