专题01 集合与常用逻辑用语（复习讲义）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 6 考点一：集合的基本概念 6 考点二：集合间的基本关系 7 考点三：集合的基本运算【核心重点】 7 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【重难点】 8 考点五：充分、必要条件的判定【高频考点】 9 考点六：含有量词的命题的否定及真假判断 9 04 实战演练 10 考情解读 考试要求 理解集合、元素及其关系，空集概念，掌握集合表示法及集合间关系，理解集合的基本运算，了解充要条件的含义。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2027年在选择题中考查集合的概念与运算 充分条件和必要条件 5年1考 判断充分条件和必要条件 预测2027年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 预测2027年在选择或填空题中考查命题的否定 知识梳理 知识点1、元素与集合 （1）集合与元素：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set，简称为集）。 （2）元素与集合的关系：给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中就确定了。若 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作；若 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作。 （3）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 （4）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn 图）。 （5）常见数集及数学符号： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* 或 N+ Z Q R ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，给定集合 A={1,2,3,4,5}，可知 1∈A，6∉A。 ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。集合 A={a,b,c} 应满足 a≠b≠c。 ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 A={1,2,3,4,5} 和 B={1,3,5,2,4} 是同一个集合。 ④列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，方程 x²−3x+2=0 的所有实数根组成的集合可表示为 {1,2}。 ⑤描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，即 {x∈A | P(x)}。例如，不等式 x−7<3 的解集可表示为 {x∈R | x<10}；若上下文已明确 x∈R、x∈Z，也可省略范围，简记为 {x | x<10}。 自主检测已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”），可用 Venn 图表示。 （2）集合相等：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B。也就是说，若 A⊆B 且 B⊆A，则 A=B。 （3）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⊊B（或 B⊋A），读作“A 真包含于 B”（或“B 真包含 A”）。 （4）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为 ∅，并规定：空集是任何集合的子集。 （5）由集合之间的基本关系可得下列结论： ①任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； ②对于集合 A，B，C，如果 A⊆B 且 B⊆C，那么 A⊆C（子集关系具有传递性）； ③空集是任何非空集合的真子集。 必记结论 若一个集合含有 n 个元素，则它的子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 自主检测集合的非空真子集个数为（　　） A．5 B．6 C．14 D．15 知识点3、集合的基本运算 （1）并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集（union set），记作 A∪B（读作“A 并 B”），即 A∪B={x | x∈A，或 x∈B}，可用 Venn 图表示。 并集的常用性质：A∪A=A；A∪∅=A；A∪B=B∪A；A∪B⊇A，A∪B⊇B。求并集时，两个集合的公共元素在并集中只能出现一次。 （2）交集：由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集（intersection set），记作 A∩B（读作“A 交 B”），即 A∩B={x | x∈A，且 x∈B}，可用 Venn 图表示。 交集的常用性质：A∩A=A；A∩∅=∅；A∩B=B∩A；A∩B⊆A，A∩B⊆B。 （3）全集与补集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universal set），通常记作 U。对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（complementary set），简称为集合 A 的补集，记作 ∁UA，即 ∁UA={x | x∈U，且 x∉A}，可用 Venn 图表示。 必记结论 ①；。 ②，，。 ③德摩根律：；。 自主检测已知全集，集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 知识点4、充分条件与必要条件 （1）命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若 p，则 q”“如果 p，那么 q”等形式，其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 （2）充分条件与必要条件：“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q，这时我们就说由 p 可以推出 q，记作 p⇒q，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p⇏q，此时 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。 （3）定理与条件的对应：数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 （4）充要条件：如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q。此时 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件；p 与 q 互为充要条件。数学定义中的条件与被定义概念互为充要条件。 （5）四种条件关系的判断： p 与 q 的推出关系 p 是 q 的什么条件 ，且 充分不必要条件 ，且 必要不充分条件 ，且 充要条件 ，且 既不充分也不必要条件 自主检测“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 知识点5、全称量词与存在量词 （1）量词：在含有变量的陈述句中，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。 （2）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称量词命题。通常将含有变量 x 的语句用 p(x) 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示，全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p(x) 成立”可简记为 ∀x∈M，p(x)。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。 （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“∃”表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题，可简记为 ∃x∈M，p(x)。常见的存在量词还有“有些”等。 （4）命题真假的判断：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x) 成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x₀，使 p(x₀) 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题（举反例）。要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x) 成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x) 成立的元素不存在，那么这个存在量词命题就是假命题。 必记结论 规律：交换量词（∀ 与 ∃ 互换），否定结论 p(x)，变量的取值范围 M 保持不变。 ①全称量词命题 ∀x∈M，p(x) 的否定：∃x∈M，¬p(x)，即全称量词命题的否定是存在量词命题； ②存在量词命题 ∃x∈M，p(x) 的否定：∀x∈M，¬p(x)，即存在量词命题的否定是全称量词命题。 自主检测命题“，”的否定是______． 考点精讲 考点一 集合的基本概念 例1下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．中国的直辖市 B．不大于15的质数 C．不等式2x－3＞5的解 D．中国著名的数学家 例2已知集合 ，若 ，则实数 ______． 解题策略 集合的基本概念 · 代表元素是核心：区分数集（ 的取值）、点集（）、图形集，看竖线前是什么。 · 枚举法解有限集：列举出来再数个数，注意元素互异性——求出参数后代回检验，防止重复。 · 描述法化简：看清楚是定义域、值域还是点集，先化简再判断。 · 易错： 与 与 的区别；数集与点集的混淆。 【变式1】已知集合，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】二次函数上所有点组成的集合可表示为________. 考点二 集合间的基本关系 例3设集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 例4已知集合，.若，则______. 解题策略 集合间的基本关系 · 两种情况： 和 ，空集优先讨论（尤其是含参数时， 可能为空）。 · 有限集子集个数： 个元素 子集 个，真子集 个，非空真子集 个。 · 数轴判断包含关系：注意端点”含等号与否”，画数轴时实心/空心标清。 · 易错： 不要漏掉 的情况，这是丢分重灾区。 【变式1】集合，，若，则实数可能的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】满足且为的真子集，则集合的个数为__________. 考点三 集合的基本运算 例5集合，B=，则（   ） A． B． C． D． 例6已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 解题策略 集合的基本运算 · Venn 图 / 数轴：交并补运算，先画数轴或韦恩图再读数。 · 运算性质： ； 德摩根定律： · 有限集元素个数：（容斥原理）。 · 易错：补集运算先明确全集 ；区间端点开闭。 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D．以上都不是 【变式2】已知全集，，，则（   ） A．0 B． C． D． 考点四 利用集合的运算求参数的值(范围) 例7已知集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例8已知集合，且，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解题策略 利用集合的运算求参数的值 · 翻译条件为不等式：、、 等，全部转化为数轴上的位置关系。 · 端点单独检验：等号能否取到，单独代入验证，不要凭感觉。 · 分类讨论：含参数的集合 可能为 ，必须分 和 两种情况。 · 策略：先画数轴定位置 列不等式（组） 解参数 回代检验端点。 【变式1】已知集合，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点五 充分、必要条件的判定 例9设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例10下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 解题策略 充分、必要条件的判定 · 定义法： 则 是 的充分条件， 是 的必要条件（箭头指向必要条件）。 · 集合法（最快）：设 对应集合 ， 对应集合 。 是 的充分条件 是 的必要条件 充要条件 · 记忆口诀：“小充分，大必要”——范围小的推范围大的。 · 易错：看清问的是” 是 的什么条件”还是” 是 的什么条件”，方向别搞反。 【变式1】已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点六 含有量词的命题的否定及真假判断 例11命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 例12命题“，”的否定是______． 解题策略 含有量词的命题的否定及真假判断 · 否定规则（两步）： 改量词：全称 存在 否定结论：只否结论，不否条件 · 示例： 的否定是 。 · 真假判断： 全称命题为真 需所有都成立；为假 举一个反例即可。 存在命题为真 举一个例子即可；为假 需所有都不成立。 · 易错：① 否命题与命题的否定混淆；② 忘改量词；③ 否定结论时不等式方向错（如 的否定是 ）。 【变式1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】命题“，”的否定是_______． 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知命题：“，”，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知表示集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．命题，则是（    ） A． B． C． D． 7．若 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 8．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 9．已知集合，则集合A可用列举法表示为________． 10．已知集合，集合，若，则实数等于______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 2 03 核心考点精讲 7 考点一：集合的基本概念 7 考点二：集合间的基本关系 8 考点三：集合的基本运算【核心重点】 9 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【重难点】 10 考点五：充分、必要条件的判定【高频考点】 12 考点六：含有量词的命题的否定及真假判断 14 04 实战演练 15 考情解读 考试要求 理解集合、元素及其关系，空集概念，掌握集合表示法及集合间关系，理解集合的基本运算，了解充要条件的含义。 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2027年在选择题中考查集合的概念与运算 充分条件和必要条件 5年1考 判断充分条件和必要条件 预测2027年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 预测2027年在选择或填空题中考查命题的否定 知识梳理 知识点1、元素与集合 （1）集合与元素：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set，简称为集）。 （2）元素与集合的关系：给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中就确定了。若 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作；若 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作。 （3）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 （4）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（Venn 图）。 （5）常见数集及数学符号： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* 或 N+ Z Q R ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，给定集合 A={1,2,3,4,5}，可知 1∈A，6∉A。 ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。集合 A={a,b,c} 应满足 a≠b≠c。 ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 A={1,2,3,4,5} 和 B={1,3,5,2,4} 是同一个集合。 ④列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，方程 x²−3x+2=0 的所有实数根组成的集合可表示为 {1,2}。 ⑤描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，即 {x∈A | P(x)}。例如，不等式 x−7<3 的解集可表示为 {x∈R | x<10}；若上下文已明确 x∈R、x∈Z，也可省略范围，简记为 {x | x<10}。 自主检测已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】因为集合，且， 所以当时，，此时， 集合中的元素出现重复，故舍去； 当时，，解得（舍去）或． 若，则，符合题意．综上所述，. 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”），可用 Venn 图表示。 （2）集合相等：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B。也就是说，若 A⊆B 且 B⊆A，则 A=B。 （3）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⊊B（或 B⊋A），读作“A 真包含于 B”（或“B 真包含 A”）。 （4）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为 ∅，并规定：空集是任何集合的子集。 （5）由集合之间的基本关系可得下列结论： ①任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； ②对于集合 A，B，C，如果 A⊆B 且 B⊆C，那么 A⊆C（子集关系具有传递性）； ③空集是任何非空集合的真子集。 必记结论 若一个集合含有 n 个元素，则它的子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 自主检测集合的非空真子集个数为（　　） A．5 B．6 C．14 D．15 【答案】C 【详解】由题意可得， 集合A中共有4个元素， 所以非空真子集个数为. 知识点3、集合的基本运算 （1）并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集（union set），记作 A∪B（读作“A 并 B”），即 A∪B={x | x∈A，或 x∈B}，可用 Venn 图表示。 并集的常用性质：A∪A=A；A∪∅=A；A∪B=B∪A；A∪B⊇A，A∪B⊇B。求并集时，两个集合的公共元素在并集中只能出现一次。 （2）交集：由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集（intersection set），记作 A∩B（读作“A 交 B”），即 A∩B={x | x∈A，且 x∈B}，可用 Venn 图表示。 交集的常用性质：A∩A=A；A∩∅=∅；A∩B=B∩A；A∩B⊆A，A∩B⊆B。 （3）全集与补集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universal set），通常记作 U。对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（complementary set），简称为集合 A 的补集，记作 ∁UA，即 ∁UA={x | x∈U，且 x∉A}，可用 Venn 图表示。 必记结论 ①；。 ②，，。 ③德摩根律：；。 自主检测已知全集，集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交运算及补集运算即可求解. 【详解】由于集合，， 故 ， 所以. 知识点4、充分条件与必要条件 （1）命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若 p，则 q”“如果 p，那么 q”等形式，其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 （2）充分条件与必要条件：“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q，这时我们就说由 p 可以推出 q，记作 p⇒q，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p⇏q，此时 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。 （3）定理与条件的对应：数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 （4）充要条件：如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q。此时 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件；p 与 q 互为充要条件。数学定义中的条件与被定义概念互为充要条件。 （5）四种条件关系的判断： p 与 q 的推出关系 p 是 q 的什么条件 ，且 充分不必要条件 ，且 必要不充分条件 ，且 充要条件 ，且 既不充分也不必要条件 自主检测“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】当时，可能，因此不能推出， 反之，若，则都不为0，可以推出． 综上所述，“”是“”的必要不充分条件． 知识点5、全称量词与存在量词 （1）量词：在含有变量的陈述句中，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。 （2）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称量词命题。通常将含有变量 x 的语句用 p(x) 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示，全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p(x) 成立”可简记为 ∀x∈M，p(x)。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。 （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“∃”表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题，可简记为 ∃x∈M，p(x)。常见的存在量词还有“有些”等。 （4）命题真假的判断：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x) 成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x₀，使 p(x₀) 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题（举反例）。要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x) 成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x) 成立的元素不存在，那么这个存在量词命题就是假命题。 必记结论 规律：交换量词（∀ 与 ∃ 互换），否定结论 p(x)，变量的取值范围 M 保持不变。 ①全称量词命题 ∀x∈M，p(x) 的否定：∃x∈M，¬p(x)，即全称量词命题的否定是存在量词命题； ②存在量词命题 ∃x∈M，p(x) 的否定：∀x∈M，¬p(x)，即存在量词命题的否定是全称量词命题。 自主检测命题“，”的否定是______． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是， 考点精讲 考点一 集合的基本概念 例1下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．中国的直辖市 B．不大于15的质数 C．不等式2x－3＞5的解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据构成集合中元素的确定性判断各项即可. 【详解】根据题意，选项A,B,C中对象都有确定的元素，满足集合的元素的特性，能构成集合， 选项D没有明确的对象，不满足集合的确定性，不能构成集合. 例2已知集合 ，若 ，则实数 ______． 【答案】 【分析】按 是哪个元素分类，再检验元素的互异性． 【详解】若 ，则 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，解得 （舍去）或 ， 当 时 ，符合题意． 所以 ． 解题策略 集合的基本概念 · 代表元素是核心：区分数集（ 的取值）、点集（）、图形集，看竖线前是什么。 · 枚举法解有限集：列举出来再数个数，注意元素互异性——求出参数后代回检验，防止重复。 · 描述法化简：看清楚是定义域、值域还是点集，先化简再判断。 · 易错： 与 与 的区别；数集与点集的混淆。 【变式1】已知集合，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，对集合中两个元素进行分类讨论，分别求出的值，再检验集合中元素的互异性即可得出的值. 【详解】由题可知，，则当时，集合中两个元素均为，不合题意； 当时，则或，又知不合题意，所以. 【变式2】二次函数上所有点组成的集合可表示为________. 【答案】 【详解】二次函数上所有点组成的集合用描述法表示为. 考点二 集合间的基本关系 例3设集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求集合，再利用真子集个数与元素的关系即可求解. 【详解】由题意得：， 所以集合的真子集个数为个. 例4已知集合，.若，则______. 【答案】1 【详解】由题意可得是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得，所以. 解题策略 集合间的基本关系 · 两种情况： 和 ，空集优先讨论（尤其是含参数时， 可能为空）。 · 有限集子集个数： 个元素 子集 个，真子集 个，非空真子集 个。 · 数轴判断包含关系：注意端点”含等号与否”，画数轴时实心/空心标清。 · 易错： 不要漏掉 的情况，这是丢分重灾区。 【变式1】集合，，若，则实数可能的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由于，故或或，且， 即或或，共4个. 【变式2】满足且为的真子集，则集合的个数为__________. 【答案】 【详解】因为，故中必有元素， 又为的真子集，故中可能有元素， 但不可能均在中，故满足条件的的个数为. 考点三 集合的基本运算 例5集合，B=，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集的定义，取两个集合中元素的公共取值范围即可求解. 【详解】因为，，所以. 例6已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，得， 而，所以. 解题策略 集合的基本运算 · Venn 图 / 数轴：交并补运算，先画数轴或韦恩图再读数。 · 运算性质： ； 德摩根定律： · 有限集元素个数：（容斥原理）。 · 易错：补集运算先明确全集 ；区间端点开闭。 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】A 【详解】由知中的元素都是偶数且为被除余的整数； 而中，取遍全体整数，故恰为全体偶数的集合. 所以，从而. 【变式2】已知全集，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，，结合集合交集和补集的运算，即可求解. 【详解】由全集，，可得， 又由集合，可得， 根据集合交集的概念与运算，可得. 考点四 利用集合的运算求参数的值(范围) 例7已知集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式组化简集合.根据可得出，然后结合集合元素的互异性以及包含关系，列出关于的不等式组求解即可. 【详解】对于集合：解不等式， 解得. 所以. 因为，所以. 因为，根据集合元素的互异性可知，即. 要使，则需满足且， 即，解得. 结合，可得实数的取值范围是. 例8已知集合，且，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】已知集合，且， 所以. 解题策略 利用集合的运算求参数的值 · 翻译条件为不等式：、、 等，全部转化为数轴上的位置关系。 · 端点单独检验：等号能否取到，单独代入验证，不要凭感觉。 · 分类讨论：含参数的集合 可能为 ，必须分 和 两种情况。 · 策略：先画数轴定位置 列不等式（组） 解参数 回代检验端点。 【变式1】已知集合，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 因为，所以集合与集合没有公共元素， 则集合在集合的右边，所以. 【变式2】已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解. 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 考点五 充分、必要条件的判定 例9设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“”可得“”，但由“”不可得“”， 故“”是“”的充分不必要条件 例10下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】推不出，不满足充分性， 也推不出，不满足必要性，故A错误； 推不出，不满足充分性，能推出，满足必要性，故B正确； 无法推出，不满足充分性，推不出，不满足必要性，故C错误； 能推出，满足充分性，推不出，不满足必要性，故D错误． 解题策略 充分、必要条件的判定 · 定义法： 则 是 的充分条件， 是 的必要条件（箭头指向必要条件）。 · 集合法（最快）：设 对应集合 ， 对应集合 。 是 的充分条件 是 的必要条件 充要条件 · 记忆口诀：“小充分，大必要”——范围小的推范围大的。 · 易错：看清问的是” 是 的什么条件”还是” 是 的什么条件”，方向别搞反。 【变式1】已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合包含关系及集合元素互异性进行判断即可. 【详解】  当时，，，显然满足，即充分性成立； 若，则可得或， 由解得或， 当时，集合中元素的互异性矛盾，故， 经检验，与均满足，即时，不一定等于3，即必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 【变式2】已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解． 【详解】设，设， 若p是q的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，满足题意， 当时，，则，解得， 当时，，显然不符合题意， 故a的范围为 故选：C 考点六 含有量词的命题的否定及真假判断 例11命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题的否定为：，. 例12命题“，”的否定是______． 【答案】， 【详解】原命题是存在量词命题，故该命题的否定为，. 解题策略 含有量词的命题的否定及真假判断 · 否定规则（两步）： 改量词：全称 存在 否定结论：只否结论，不否条件 · 示例： 的否定是 。 · 真假判断： 全称命题为真 需所有都成立；为假 举一个反例即可。 存在命题为真 举一个例子即可；为假 需所有都不成立。 · 易错：① 否命题与命题的否定混淆；② 忘改量词；③ 否定结论时不等式方向错（如 的否定是 ）。 【变式1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为“，”. 【变式2】命题“，”的否定是_______． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是， 实战训练 1．（2026高三上·广东·学业考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程得到集合，由集合的并集运算得到结果. 【详解】，，，又，． 故选：D. 2．（2026高三上·广东·学业考试）已知命题：“，”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】因为命题，所以． 故选：A. 3．（2025高三上·广东·学业考试）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助交集定义即可得. 【详解】由，集合，则. 故选：A. 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 所以. 5．已知表示集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】阴影部分对应的集合为，， 又，所以，共有个元素. 6．命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以是. 7．若 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【详解】若 ，则集合为 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，（舍去）或 ， 当 时集合为 ，符合题意． 故选项A正确. 8．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 9．已知集合，则集合A可用列举法表示为________． 【答案】 【分析】先将原方程变形为关于的表达式，结合为自然数的约束确定y的所有可取的值，逐一计算得到的全部符合条件的取值即可. 【详解】由可得，其中， 由于x是自然数，因此，即，结合y是自然数，可得y的可能取值为， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 因此集合A的所有元素为0,4,8，即. 10．已知集合，集合，若，则实数等于______． 【答案】 【详解】因为集合，集合，且，所以，解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $