第1-3章综合练习-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第1-3章精选题练习-2026-2027学年数学八年级上册北师大版 一、单选题 1．若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列各组数据是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．8的立方根是（     ） A．2 B．4 C．8 D．6 5．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它往水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．在、、、0.1010010001…（相邻两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．估算的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 8．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 9．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为64时，输出的值是（     ）． A．2 B． C． D．3 10．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，斜边，则________． 12．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 13．平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是_________． 14．如图，、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 15．定义：对于任意有理数，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，则 ______． 16．如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 19．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 21．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 22．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点运动到点时．______； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位长度，若，两点同时出发，当，中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，，两点之间的距离为？请直接写出答案． 23．回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 24．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：若的整数部分是，小数部分是，求的值； (3)任务三：若，其中为整数部分，且，求的值． 25．阅读材料并回答以下问题： 材料一：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用，例如， 材料二：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，，所以． 请根据以上材料解答以下问题． (1)________，________； (2)________，________； (3)若，求的值； (4)计算：； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3章精选题练习-2026-2027学年数学八年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A A B B C B C 1．C 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，在第三象限． 2．A 【分析】根据勾股数的定义（满足的三个正整数a、b、c，叫做一组勾股数）逐项判断即可． 【详解】解：选项B、D中的数均不是正整数，不是勾股数，不符合题意； A选项：满足，是勾股数，符合题意； C选项：，不是勾股数，不符合题意． 3．C 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，由此逐项判断即可． 【详解】解：，，， 、、均不是最简二次根式， 的被开方数为整数，不含分母，且不含能开得尽方的因数， 是最简二次根式，故答案为． 4．A 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 5．A 【分析】利用勾股定理求出的长，结合线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由题意得，米，米，， ∴米， ∴米． 6．B 【分析】先化简，再根据无理数定义逐个判断每个数，统计无理数的个数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数， ∴不是无理数． ∵，是整数，属于有理数， ∴不是无理数． ∵是无限不循环小数，属于无理数， ∴是无理数． ∵（相邻两个之间多一个）是无限不循环小数，属于无理数， ∴是无理数． 综上，无理数一共有个． 7．B 【分析】先利用乘法分配律化简二次根式表达式，再估算根式结果的范围． 【详解】解：． ， ， ． 8．C 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理，将已知等式转化为关于的方程，求出的值，再根据三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， ， ， ，即， 观察图形可知，阴影部分是以的上边为底，点到该边所在直线的距离为高的三角形，底边长为，高为， ． 9．B 【分析】根据程序框图代入数字进行计算判断即可． 【详解】解：输入， ∵，且为有理数， ∴； 输入， ∵为无理数， ∴输出， 即B符合题意． 10．C 【分析】观察图形可知，每个点为一个循环，分别位于第三、二、一、四象限，根据是的倍数，确定位于第四象限且属于第个正方形即可求解． 【详解】解：由图可知，每个点为一组，对应一个正方形，且顺序依次为第三、二、一、四象限， ， 位于第个正方形的第四象限顶点处， 第个正方形的边长为，中心在原点， 第个正方形顶点的横、纵坐标绝对值均为， 第四象限点的符号特征为， 的坐标为． 11．18 【分析】由直角三角形结合勾股定理得到的值，即可得出结果． 【详解】解：∵中，斜边， ∴， ∴． 12．7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 13． 【分析】依据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标变化规律，求解对称点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 14． 【详解】解：由数轴得， 所以． 15． 【分析】根据定义分别求出，，，再相加求值即可． 【详解】解：． 16．3或6 【分析】根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵点O关于直线的对称点为B， ∴， ∴，，，， ∴， 当为直角三角形时，或或． ①若，如图1， ∵， ∴A、B、C三点共线， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴； ②若，如图2， ∵， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴； ③不存在这种情况． 综上所述，的长为3或6． 17．(1)0 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，即可求解； （2）把y的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∵是64的立方根， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 19．(1)如图所示，线段和线段为所求线段（答案不唯一）： (2)如图所示，图中三角形为所求三角形（答案不唯一）： 三角形面积为． 【分析】（1）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可； （2）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角边分别为和的直角三角形的斜边； ∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边． ∴线段只要满足条件即可． （2）解：∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边， 确定好该线段后，选择该线段的其中一点作长的边或者长的边， 顺次连接三点即可． 由图可知，三角形的面积． 20．(1) (2)4 【分析】（1）因为关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，所以先根据该坐标变换规律求出的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接三点即可得到． （2）因为和全等，面积相等，所以可以通过割补法，用包含的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积计算． 【详解】（1）解：∵， ∴关于轴对称的对应点坐标：，，， 在坐标系中描出这三个点，再依次连接、、，即可得到． （2）解：把三角形放在一个能完全包裹它的矩形内， 该矩形横向占3个单位、纵向占4个单位，面积为； 再减去矩形内三个多余直角三角形的面积： 左上角直角三角形面积： 左下角直角三角形面积： 右侧直角三角形面积： ， ∴的面积． ∴的面积为4． 21．(1)， (2)， 【分析】（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于轴上这一条件进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ， ∴点的“美好点”坐标是； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在轴上， 解得：， 这个美好点的坐标为． 22．(1) (2)或 (3)当t为1或时，P、Q两点之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理求解，根据路程除以速度，即可求解； （2）分和，两种情况进行讨论求解； （3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴当点运动到点时． （2）解：当是以为腰的等腰三角形时，则点在线段上， ①时，如图： ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：是以为腰的等腰三角形时，的值为或. （3）解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要：； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ②当点在上、点在上时，即，如图， ∴，， ∴， 当时，最小值为， ∴，不合题意； ③当点、都在上，此时：，， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 23．(1)证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 24．(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）估算出x，y的值，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分为4， 故的小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∵的整数部分是， ∴， ∵小数部分是， ∴． ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵为整数部分，且， ∴，， ∴． 25．(1)， (2)， (3)7 (4) 【分析】（1）直接分母有理化即可； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先把表示a的代数式分母有理化，再根据完全平方公式把其变形后代入计算； （4）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， ； （3）解：∵， ∴ ； （4）解： ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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