2026-2027学年苏科版八年级数学上学期期中自测卷（第1-3章）

2026-2027学年八年级数学上学期期中自测卷（第1-3章) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1.若2026的两个平方根分别是m和n,则m+2mn+n的值是() A.0 B.2026 C.-4052 D.4052 2.如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC,连接BD,CD,若∠BDA=130°，则∠DBC等 于( A.40° B.45 C.50° D.30° 3.在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24和12的两部分，则BC 的长度是() A.8 B.4 C.16或8 D.8或4 4.如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN=0.55m,在 玩游戏过程中，小朋友离地面的最大距离是() A、 B M B A.0.9m B.1.0m C.1.1m D.1.2m 5.若m,n是正整数且m>n,由m,n的值可确定勾股数a,b,c,其中a=m2+n2,b=2mn, c=m-n,则下列勾殷数不能由m,n确定的是() A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 6.正整数a、b分别满足50<a<90,V2<b<7,则b=() A.4 B.8 C.9 D.16 7.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和CE交于O,AO的延长 线交BC于F,则图中全等的直角三角形有() C E A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 8.中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计.如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学 风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得 到的.若∠ACB=90°，AC=6,BC=4,则该“数学风车”的周长为() D A.40 B.42 C.48 D.56 9.如图所示的长方体中，DE=3,BE=4,AB=2.AB的中点C处有一粒米，一只蚂蚁沿着 长方体表面（包括底面）从点D处爬到点C处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是 A.34 B.5V2 C.V58 D.4V2 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的J顶点P是BC的中点，连接 AP,两边PE,PF分别交ABAC于点E、F,连接EF,过点F作FH⊥BC于点，在线段CP 上截取HG=HC,连接FG.现给出以下三个结论：①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形； ③当BP=BE时，A-CF=2FH,上述结论中正确的个数是() B A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.3-3的小数部分是a,则a等于一· 12.如图，在四边形ABCD中，AB=23,CD=2,∠A=∠C=90°，∠B=60°，则AD的长 为 A口 D B c 13.如图，直线a,b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为0，点A在直线a上，直线b上存 在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有 个. b -a A 14.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F若S△ABc=30, BC=10:则EE长为 15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,BC=DC,∠BAD=60°，连接AC、BD相交于 点G,点E在边AD上，连接CE交BD于点F,CE‖AB.若CE=4,则EF的长为 B D 16.如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在AC上，过点C作CE⊥BD交BD的延长 线于点E,交BC的平行线AC于点F,若FD=2,则S△DE= BD 9' SAADB G E D 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17.(6分)按要求解题 (1)若x+4+只5y-10=0,求y的立方根： (2)若/1-2x+3x-5=0,求1-只x的值. 18.(6分)如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为APF,，且 AB=10cm'AD=8cm' D E B (1)求CE的长； (2)求折痕AF的长. 19.(8分)如图，在海平面上，O为灯搭，A、B为两个港口，其中港口A在灯塔O的北偏西 25方向上，距离灯塔60海里.港口B在灯塔o的北偏东65。方向上，距离灯塔80海里.一艘 轮船从港口A沿直线向港口B运输货物，航行的平均速度为每小时20海里. E (1)求港口A到港口B的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔0将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为50海里，在轮 船从港口A向港口B航行的过程中，接收安全信号的时长不低于1小时才符合安全标准，该轮 船本次航行是否符合安全标准？请说明理由， 20.(8分)如图，△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线.作AE⊥AB于点A,交BD的 延长线于点E,取BE的中点M,连接AM. E D (1)求证：△AEM是等边三角形； (2)若S△ABM=1,求△ABC的面积. 21.(10分)在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接 AD交CF于点M 女 D M E (1)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC; (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 22.（10分)阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上 有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39. 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为103=1000,1003=1000000， 所以59319是两位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 +3的 0 7 5 6 3 2 9 个位 数字 由上表，因为59319的个位数字是9，所以59319的个位数字是9. 因为303=27000,403=64000.所以303<59319<403，即59319的十位数字是3.故 359319=39: 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算103823= (2)已知7921是整数的平方，求V7921的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由. 23.(12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在射线BA,CA上，连结DE, ∠AED=∠ABC· A G ▣ 图1 图2 图3 (1)如图1，点D,E分别在边AB,AC上，求证：△ADE是直角三角形； 【变式应用】 (2)如图2，点D,E分别在BA的延长线，CA的延长线上，∠DAC的平分线AF交ED的延长线 于点F,连结BF交CE于点G,且∠EFG=∠EGF,求∠AFG的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在(2)的条件下，延长EF交BC的延长线于点H,点P在EC的延长线上，连结 FP,且∠PFG=∠AFG,若∠HFP=2∠P,求∠CBG的度数. 24.（12分)探究以下问题： E 图1 图2 【探索求知】 (1)如图1，在四边形ABCD中，连接AC,BD,∠CAB=60°，∠ADC=30°，CD=3V2,AD=6, AB=AC,以AD为边在△ACD左侧作等边△ADD,连接CD: ①判断△CAD能否由△BAD旋转得到，并说明理由； ②求BD的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道CD,CE将等腰△ABC广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量， ∠ACB=120’AC=BC,∠DCE=60,AD=2km'BE=3km,求DE的长. 参考答案 一、选择题 1.C 解：.2026的两个平方根是m和n ∴.m+n=0,m=2026, ∴.n=-m, ∴.mn=-m=-2026, ∴.m+2mn+n=(m+n)+2mn=0+2×(-2026)=-4052 2.A 解：，△ABC是等边三角形， ..AB=AC, .AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC ∠BAD=∠CAD, AD-AD .△ABD≌△ACD|SAS, ∴.∠CDA=∠BDA=130°，BD=CD, ∴.∠BDC=360°-∠BDA-∠CDA=360°-130°-130°=100°， .BD=CD. .∠DBC=∠DCB ∠Dc-180°-∠Dc-2×180-100=40. 3.B 解：设AB=AC=X,BC=y,则AD=BD= 当AD+AC=24且BD+BC=12时，即登+X=24,+y=12,解得X=16,y=4: ∴.BC=4,AB=AC=16, .4+16>16, ∴.能构成三角形，即BC=4,符合题意； 当AD+AC=12且BD+BC=24时，即之X=12,+y=24,解得x=8,y=20. ∴.BC=20,AB=AC=8, 8+8<20, ,不能构成三角形，即BC=0,不符合题意； 综上，BC=4. 故选：B. 4.C 解：如图，连接AA, M ,点M是AB的中点， ∴.AM=BM=AM=BM, ∴∠A=∠AAM,∠MAB=∠MBA, .∠A+∠AAB+∠ABA=180°， ∴.∠A+∠AAM+∠MAB+∠MBA=180°，即2∠AAM+2∠MAB=180°， ∴.∠AAM+∠MAB=90°，即∠AAB=90°， ∴，小朋友离地面的最大距离是AA, .MA=MB,支柱MN垂直于地面， .'.AN=B N, ∴.MN为△AAB的中位线， MN=iAA, .MN=0.55m, ∴.AA=2MN=1.1m, ∴.小朋友离地面的最大距离是1.1m. 5.B 解：A、a=13,b=12,c=5,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=13 2mn=12 m2-n2=5 解得： m=3 (n=2 故选项A不符合题意； B、a=15,b=12,c=9,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=15 2mn=12 m2-n2=9 解得：n=3,m=12, ,m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、.a=17,b=8,c=15,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=17 2mm=8 m2-n2=15 解得： 故选项C不符合题意； D、a=25,b=24,c=7,a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, m2+n2=25 2mn=24 m2-n2=7 解得： m=4 (n=3/ 故选项D不符合题意. 6.D 解：33=27<50<43=64<90<53=125,32=9>7>22=4， ∴.3<350<4<90<5，V2<2<V7<3, :正整数a、b分别满足50<a<90,V2<b<V7, .a=4,b=2, .b=24=16 故选：D 7.B 解：BD⊥AC,CE⊥AB, .∴.∠ADB=∠AEC=90°， .AC=AB' .∠ACB=∠ABC, ①在△AEC和△ADB中 ∠CAE=∠BAD .∵∠AEC=∠ADB=90° AC=AB ∴.△AEC≌△ADBAAS ∴.CE=BD'AE=AD'∠ACE=∠ABD .AB=AC ∴.∠CBE=∠BCD ②在△BCE和△CBD中 ∠CBE=∠BCD ,∠CEB=∠BDC=90 BC=BC .∴.△BCE≌△CBD AAS ∴BE=CD ③在Rt△AOD和Rt△AOE中 ..AO=AO ·AD=AE .∴Rt△AOD≌Rt△AOE HL ∴.OD=OE,∠DAO=∠EAO ④在△COD和△BOE中 ∠COD=∠BOE ∠CDO=∠BEO=90° OD=OE ∴.△COD≌△BOEAAS ⑤在△CAF和△BAF中 AC=AB ∠CAF=∠BAF AF=AF ∴.△CAF≌△BAF AAS .∠CFA=∠BFA=90°， ⑥在Rt△COF和Rt△BOF中 “8960 .Rt△COF≌Rt△BOF HL .共有6对全等的直角三角形. 8.D 解：：AC=6,BC=4,∠ACB=90°， BC为较短的直角边， …将较短的直角边向外延长一倍， :.延长部分BD=BC=4: :.新直角三角形的直角边CD=BC+BD=4+4=8: 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=VAC2+CD=V62+8=10, :“数学风车”的周长为AD+BD×4=10+4×4=56: 9.D 解：C为AB中点，AB=2, .BC=1; 分三种情况讨论： 将底面与右侧面展开在同一平面， E ⊙ D 此时直角三角形两直角边分别为DE+BC=3+1=4和BE=4, 路径长为42+42=4V2: 将底面与后侧面展开在同一平面， B 此时直角三角形两直角边分别为DE=3和BE+BC=4+1=5, 路径长为32+52=34： 将前侧面与右侧面展开在同一平面， E 此时直角三角形两直角边分别为DE+BE=3+4=7和BC=1, 路径长为V72+12=50; .:32<V34<50, 故最短路程为4V2. 10.A 解：，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P是BC的中点， ∴.∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB,∠APC=∠EPF=90°， ∴.∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF, .∠APE=∠CPF, 在△APE和△CPF中 ∠EAP=∠C AP=CP ∠APE=∠CPF .△APE≌△CPF ASA, ∴.AE=CF,EP=PF, ∴△EP℉是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ..AE=CF,AB=AC, ∴.BE=AF, AP=PC=PB,BP=BE, ..AF=AP, ∴∠APF=∠AFP=号180-451=67.50， 2 .∠CP℉=22.5°， FH⊥BC, ..FG=FC, ∴.∠FGC=∠C=45°， ∴.∠PFG=∠FGC-∠FPG=22.5°， ∴PG=FG=FC, .'FA-CF=PC-PG=CG=2FH. 故③正确，符合题意. 二、填空题 11.2-3 1<3<4 ∴.1<V3<2' .-2<-V3<-1? ∴.1<3-3<2 3-3的小数部分a=3-5-1=2-3 12.2 解：如图，延长AD、BC相交于点E, .∠A=90°，∠B=60°， .∠E=90°-60°=30°， .BE=2AB=43,DE=2CD=4, 在Rt△BAE中，由勾股定理得， AE=VBE2-AB=V(432-(232=6' ∴.AD=AE-DE=6-4=2. D B E 13.4 解：要使△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B,此时有1个； 6 B ②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； B b ③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个： b 0 B ∴这样的点B有1+1+2=4（个）， 故答案为：4. 14.3 解：.AD是△ABC的中线， .S△ABD= 5m,BD=号c-×10-5 :BE是△ABD的中线， ∴.SABDE= 5r6子×0受 :EF⊥BC于点F S=BDF. DEF- 2, 即x5×EF=15 解得：EF=3, 故答案为：3. 15.2 解：AB=AD=6、∠BAD=60°， △ABD是等边三角形， ∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， ..AB=AD.BC=DC. ,AC是线段BD的垂直平分线， ∴.AG⊥BD, .∠BAC=∠DAC=30°， .CE AB, ∴∠ACE=∠BAC=∠DAC=30°， ∴.AE=CE=4, .DE=AD-AE=6-4=2, EF‖AB, ∴.∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠BAD=60°， ∴△乙是等边三角形， ∴EF=DE=2」 16. 9 解：延长BA,CE,两线交于点H, 等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴.AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°， CE⊥BD, ∴.∠BEC=90°， .'∠CDE=∠BDA, ∴.∠ACH=∠ABD, 在△BAD和△CAH中， ∠ABD=∠ACH AB=AC ∠BAD=∠CAH ∴.△BAD≌△CAHASA, .∴.BD=CH,AD=AH, .AG‖BC, .∠HAF=∠ABC=45°， ∴.∠HAF=∠DAF=45°， 在△FAD和△FAH中， AD=AH ∠DAF=∠HAF, AF=AF .△FAD≌△FAH SAS. .FD=FH, ..FD2 ·BD9' 不妨设FD=2k,BD=9k, .FH=2k,CH=9k. ∴.CF=CH-FH=7k, .S△AP里=FH=2k=2, SAARC CF 7k7 D A 不妨设S△AFH=2x,S△AFC=7X, ∴.S△AFD=2X,SAFCD=S△Arc-S△AFD=5X,S△ACH=SAAFH+S△Ac=9X, .S△ADB=9X, ..SACDE=5x=5. SAADB 9x 9 三、解答题 17.(1)解：根据题意可得x+4=0,5y-10=0, 解得x=-4,y=2, .y=-4×2=-8, -8=-2: xy的立方根为-2 (2)解：.1-2x+3x-5=0, .1-2x=-3x-5, ∴.1-2x=-3x+5, 解得x=4, 1-V灭 =1-94 =1-2 =-1: 18.(1)解：，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上， .AE=AB=10.BF=EF, 四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10cm,BC=AD=8cm 在Rt△ADE中，AD=8cm, AD2+DE2=AE2· 82+DE2=102, .DE=6, .'.CE=CD-DE=10-6=4cm. (2)解：设BF=X,则EF=BF=X,FC=BC-BF=8-X, 在Rt△EFC中， EC2+FC2=EF2, 即42+(8-x2=x2. 解得x=5.故BF=5cm 在Rt△ABF中，由勾股定理得， AB+BF2=AF2 .'.AF=A B2+BF2=102+52=55(cm 19.(1)解：.港口A在灯塔O的北偏西25°方向上，距离灯塔60海里， .∠AON=25°，OA=60海里， .∵港口B在灯塔0的北偏东65°方向上，距离灯塔80海里， ∴.∠B0N=65°，OB=80海里， ∴.∠AOB=90°， .AB=V0A2+0B=V60+80=100(海里)， ∴，港口A到港口B的直线距离为100海里. (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点O作OH⊥AB于H, B 净E .OA=60海里，OB=80海里，AB=100海里，∠AOB=90°， SA40n-0A-OB-ZAB-OH, ×60×80=×100-0H, 解得：0H=48<50, 设0C=0D=50海里， .CH=DH=V502-482=14(海里)， ∴.CD=2CH=28(海里)， ,航行的平均速度为每小时20海里， ∴航行时长=28÷20=1.4>1小时，满足安全标准. 20.(1)证明：.△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°， .BD是AC上的高线， .BD⊥AC, ∠ABD=∠CBD=3∠ABC=30, .AE⊥AB, .∠BAE=90°， ∴.∠E=60°， 点M是BE的中点， AM-EM-BM-E .∴△AEM是等边三角形. (2)解：：△AEM是等边三角形，AD⊥EM,且S△ABM=1, .'DE=DM, 1 .SAAMD=S△ADF2 2 EM=BM. .S△ABM=S AEM=1, ·,SABD=S△AMD十S△ABM=5+1=3 2 ,△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线. ∴CD=AD, 3 .S△ABm=S△CBD=2 SAA=SAABD+SACBD=3. 21.(1)证明：.DF=CD,DE⊥CF, ∴.FE=CE (2)证明：作DN⊥AC于点N, D M E N ∴.∠DNC=∠DBF=90o, .∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180, ∴.∠BFD=∠DCN, DF=CD. .∴.△DBF≌△DNC AAS: .'DB=DN' .DN⊥AC,∠B=90, .AD平分∠BAC, ∴.∠DAB=∠DAC (3)解：作MP⊥AB于点P,作MQ⊥AC于点Q, D M ,AD平分∠BAC, .∴.MP=MQ' S△AME AF·Mp 1 AF ·SAMC 1AC·MQ AC 同理：S△AME=FM, SAAMC CM ·AF=FM ·ACCM' 由(2)知，△DBF≌△DNCAAS, ∴.BF=NC' .AC=6BF' ∴.AC=6NG, ·AN=5NC,AN-5 AC 6' .'∠DAB=∠DAC,∠B=∠A=90°，AD=AD, .△ADB≌△ADN AAS' .AN=AB=5NC,AF=AB-BF=5NC-NC=4NC, .AE-4=2_FM ·AC63CM' 设FM=2k,CM=3k, 则CF=5k, ∴.FE=CE=2.5k' ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1 .k=2’ .∴.MF=2k=4 22.(1)解：因为103=1000,1003=1000000，且1000<103823<1000000，所以103823是两 位数； 因为103823的个位数字是3，所以103823的个位数字是7， 因为403=64000,503=125000，且64000<103823<125000， .103823的十位数字是4. 因此103823=47； (2)解：因为102=100,1002=10000， 所以V7921是两位数； 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 x2的 个位 0 149 65 6 9 41 数字 由上表， 因为7921的个位数字是1，所以7921的个位数字是1或9， 因为8<79<9，即80<7921<902，所以V7921的十位数字是8， 故/7921的值可能是81或89， .85=7225,7921>7225, .V7921>85, 所以V7921=89. 23.(1)证明：∠C=90°， ∴.∠A+∠B=90, .∠AED=∠ABC, .∴.∠A+∠AED=90, ∴.∠ADE=90°， ∴△ADE是直角三角形： (2)解：设∠AED=∠ABC=2a, ,∠C=90°， .∴.∠DAC=∠C+∠ABC=90°+2a' AF平分∠DAC “∠AC=∠AD号∠DAC=45+a, 又：'∠EFG=∠EGF,∠E+∠EFG+∠EGF=180°， ∴.2a+2∠EGF=180, .∴.∠EGF=∠EFG=90°-a' ∴.∠AFG=180°-∠FAG-∠EGF=180°-45°+a-90°-a=45o； (3)解：∠EFG=90°-&， ∴.∠HFG=180°-90°-a=90°+a' .∠PFG=∠AFG=45, ∴.∠AFP=90°，∠HFP=∠HFG-∠PFG=90°+a-45°=45°+a' .∴.∠P=90°-∠FAP=90°-45°+a=45°-a, .∴∠HFP=2∠P=90°-2a, ∴.45°+a=90°-2a .0=150, .∠CGB=∠EGF=90°-a=90°-15°=75°， .∠CBG=180°-∠GCB-∠CGB=180°-90°-75°=15°· 24.(1)①△CAD能由△BAD旋转得到， 理由：：'△ADD是等边三角形，∠CAB=60°， ∴.AD=AD’∠DAD=60°=∠CAB' ∴.∠BAD=∠CAD' 在△BAD和△CAD中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD .△BAD≌△CAD|SAS :点A为△BAD和△CAD的共同顶点， △CAD可以由△BAD旋转得到； ②，△BAD绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD, .'BD=CD' :△ADD是等边三角形， ∴.∠ADD=60°，DD=AD=6' .∠ADC=30 ∴.∠CDD=90 .CD=VDD2+CD2=62+32=36' .'BD=36 (2)解：.AC=BC,∠ACB=120°， ∠A=∠ABC=3180°-120叫=30， .∠DCE=60, ∴.∠ACD+∠BCE=60, 将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△BCF,作FG⊥AB于G,连接EF, B .△ACD≌△BCF, ∴.∠A=∠CBF=30,CD=CF,∠ACD=∠BCF'AD=BF, ∴.∠EBF=∠ABC+∠CBF=60°， ∴.∠BCF+∠BCE=∠ECF=60, ∴.∠ECF=∠DCE, 在△CDE和△CFE中， CD=CF ECD=∠ECF CE=CE .∴.△CDE≌△CFE SAS' .∴.DE=FE :FG⊥AB于G ∴.∠EGF=∠BGF=90°， .∠EBF=60, .∠BFG=30 .BG-BF=1km, '.BE=3 km' .∴.EG=BE-BG=2km' :.Rt△BFG中，FG=√BFP-BG2=22-T=3km' ∴.Rt△EFG中，EF-VEG2+FG=22+|R3=7km' ∴.DE=V7km'