专题10.6 二项式定理（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.6 二项式定理（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 求二项展开式的特定项】 1 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 2 【题型3 两个二项式之积问题】 2 【题型4 三项展开式问题】 2 【题型5 赋值法求系数和问题】 3 【题型6 二项式系数的最值问题】 3 【题型7 整除和余数问题】 4 【题型8 杨辉三角】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 求二项展开式的特定项】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 2．（2026·内蒙古赤峰·三模）展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 3．（2026·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 5．（2026·浙江温州·一模）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．42 B． C．84 D． 6．（2026·广西柳州·模拟预测）二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为5，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 8．（2026·广东清远·一模）在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 【题型3 两个二项式之积问题】 9．（2026·北京海淀·三模）的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 10．（2026·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 11．（2026·广西·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 三项展开式问题】 13．（2026·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 15．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 16．（2026·山东烟台·二模）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【题型5 赋值法求系数和问题】 17．（2026·福建厦门·三模）设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 18．（2026·山东济宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026·四川自贡·二模）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 20．（2026·四川乐山·三模）设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【题型6 二项式系数的最值问题】 21．（25-26高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 22．（2026·湖南郴州·模拟预测）的二项展开式中所有项的系数的最大值为（    ） A．84 B．128 C．240 D．560 23．（2026·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 24．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【题型7 整除和余数问题】 25．（2026·山西·模拟预测）除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（2026·湖北·一模）已知今天是星期三，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 28．（2026·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【题型8 杨辉三角】 29．（25-26高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 30．（2026高三·全国·专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 31．（25-26高二上·福建漳州·期末）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_________. 32．（2026·山东泰安·模拟预测）将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    一、单选题 1．（2026·辽宁大连·一模）多项式 的展开式中 的系数是（   ） A．35 B．280 C． D． 2．（2026·四川巴中·三模）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 5．（2026·山东·一模）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 7．（2026·江西·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 8．（2026·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 二、填空题 9．（2026·云南昆明·模拟预测）展开式中第4项的系数为___________． 10．（2026·浙江丽水·一模）展开式中的常数项是___________． 11．（2026·湖北武汉·三模）被8除的余数为___________. 12．（2026·江西新余·模拟预测）已知，则二项式的展开式中含项的系数为___________. 一、单选题 1．（2026·湖南郴州·模拟预测）的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 2．（2026·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2026·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．（2026·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047 C．第21行中，从左到右的第3个数是210 D．第3斜列为：，则该数列的前项和为 三、填空题 7．（2026·河北·模拟预测）已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为____________. 8．（2026·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是____________． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 4．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 5．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为__________． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.6 二项式定理（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 求二项展开式的特定项】 1 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 2 【题型3 两个二项式之积问题】 4 【题型4 三项展开式问题】 5 【题型5 赋值法求系数和问题】 7 【题型6 二项式系数的最值问题】 8 【题型7 整除和余数问题】 10 【题型8 杨辉三角】 11 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 求二项展开式的特定项】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【解题思路】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【解答过程】由题意得，二项展开式的通项为，， 令，则. 故选：C. 2．（2026·内蒙古赤峰·三模）展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 【答案】A 【解题思路】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解. 【解答过程】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故选：A. 3．（2026·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【答案】B 【解题思路】根据二项展开式的通项公式求解. 【解答过程】展开式的通项公式为， 所以, 故选：B. 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【解题思路】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【解答过程】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C. 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 5．（2026·浙江温州·一模）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．42 B． C．84 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理直接求解. 【解答过程】在的展开式中，含的项为， 所以含项的系数是84. 故选：C. 6．（2026·广西柳州·模拟预测）二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式即得. 【解答过程】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为5，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意，可知通项为，令，可解问题. 【解答过程】因为的通项为， 令，解得，则， 解方程得：． 故选：B． 8．（2026·广东清远·一模）在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式展开的通项公式求解． 【解答过程】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：C． 【题型3 两个二项式之积问题】 9．（2026·北京海淀·三模）的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】先根据二项式定理得到展开式的通项，求出其三次项与四次项的系数，根据多项式乘法运算法则，求得最后的结果. 【解答过程】展开式的通项是， 所以展开式中的系数是，项的系数是， 所以的展开式中项的系数是， 故选:A. 10．（2026·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【解答过程】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 11．（2026·广西·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简得出，写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】因为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 故选：D. 12．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 的通项为， 令，可得； 的展开式通项为， 令，可得. 所以，展开式中的系数为. 故选：D. 【题型4 三项展开式问题】 13．（2026·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【答案】A 【解题思路】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解. 【解答过程】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 【答案】B 【解题思路】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案. 【解答过程】，表示5个相乘， 展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1， 第二种是中选出4个和1个， 所以展开式中含有项有和， 所以项的系数为, 故选：B. 15．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 【答案】D 【解题思路】表示5个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解. 【解答过程】表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供3， 此时的系数为； 从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供3，此时的系数为， 所以展开式中的系数为． 故选：D. 16．（2026·山东烟台·二模）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】本题先把三项式整体看成二项式，利用二项式通项找到含的项，再对用二项式通项找到含的项，最后将两部分系数相乘，即得的系数． 【解答过程】先将看成， 根据二项式定理，其展开式的通项为， 含有的项为， 的展开式的通项为， 含有的项为， 所以的项的系数． 故选：A. 【题型5 赋值法求系数和问题】 17．（2026·福建厦门·三模）设，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【解题思路】分别令和代入计算即可. 【解答过程】令易知， 令可得，， 所以. 故选：A. 18．（2026·山东济宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】赋值可得，结合导数及代入可得，进而求解即可. 【解答过程】设， 令，得，又， 令，则， 所以， 即. 故选：A． 19．（2026·四川自贡·二模）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据赋值法，分别令，求解可得. 【解答过程】由， 令，得， 令，得， . 故选：D. 20．（2026·四川乐山·三模）设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】C 【解题思路】令求得，令即可求得的值． 【解答过程】由，令，得； 令，得， 所以． 故选：C． 【题型6 二项式系数的最值问题】 21．（25-26高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【解题思路】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【解答过程】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 22．（2026·湖南郴州·模拟预测）的二项展开式中所有项的系数的最大值为（    ） A．84 B．128 C．240 D．560 【答案】C 【解题思路】利用二项式通项公式，结合题意进行求解即可. 【解答过程】的通项公式为， 当该二项展开式中所有项的系数有最大值时，为偶数， 因为，，，， 所以的二项展开式中所有项的系数的最大值为. 故选：C． 23．（2026·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【解题思路】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【解答过程】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 24．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解题思路】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 【题型7 整除和余数问题】 25．（2026·山西·模拟预测）除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用二项式定理即可求解. 【解答过程】由题意可知， ， 由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为. 故选：D. 26．（2026·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】将合理变形，再利用二项式定理展开，进而得到的取值即可. 【解答过程】由题意得, ， 而一定能被整除， 只需保证能被整除即可，而， 得到， 故， 而一定能被整除，只需保证能被整除即可， 若使最小，则满足，解得，故C正确. 故选：C. 27．（2026·湖北·一模）已知今天是星期三，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】A 【解题思路】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【解答过程】 ． 即除以7的余数为5，所以天后是星期一. 故选：A. 28．（2026·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解题思路】化简得出，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数. 【解答过程】 其中是9的整数倍. 故被9除的余数为4. 故选：B. 【题型8 杨辉三角】 29．（25-26高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解题思路】利用图中所给杨辉三角结合组合数的性质即可判断A，B，D，利用组合数的性质计算即可判断C. 【解答过程】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数， 所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为， 则在第行中，第个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误， 对于C，由组合数运算性质得 ，故C错误. 对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为， 则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：D, 30．（2026高三·全国·专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【解答过程】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D. 31．（25-26高二上·福建漳州·期末）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前4项.记，则_________. 【答案】 【解题思路】先根据杨辉三角的行号与位置对应关系，确定数列的通项，再对通项进行裂项，最后通过裂项相消法求出前项和 ，代入得到结果. 【解答过程】在杨辉三角中，第行的第个数（从第行开始计数）为， ， 所以， 所以, 故答案为：. 32．（2026·山东泰安·模拟预测）将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    【答案】240 【解题思路】利用次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【解答过程】次二项式系数对应杨辉三角形的第行， 例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行， 令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前项和为， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当，去除两端的“1”可得， 则此数列前21项的和为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·辽宁大连·一模）多项式 的展开式中 的系数是（   ） A．35 B．280 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果. 【解答过程】已知展开式中第项为， 令，解得； 所以含的项为. 因此展开式中的系数为. 故选：D. 2．（2026·四川巴中·三模）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，分别令、，将所得等式联立可得的值. 【解答过程】设， 令可得， 令可得， 上述两式子相加得，，故， 展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 故选：D. 3．（2026·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【解答过程】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 4．（2026·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【解题思路】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【解答过程】， 故 ． 前面7项均能被7整除，则被7整除余5， 故天后是星期二． 故选：B. 5．（2026·山东·一模）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二项式系数的性质和展开式通项公式即可求解. 【解答过程】在的二项展开式中，根据二项式系数的性质可知最大的二项式系数是， 则二项式系数最大的项是， 故选：A. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【解题思路】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【解答过程】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 7．（2026·江西·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】求得中，常数项及项，即可求解. 【解答过程】因为中常数项为1，项的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：D. 8．（2026·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【解题思路】根据二项式定理展开式计算即可. 【解答过程】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 二、填空题 9．（2026·云南昆明·模拟预测）展开式中第4项的系数为___________． 【答案】 【解题思路】由二项展开式的通项公式求解. 【解答过程】由展开式的通项公式可得， ， 所以展开式中第4项的系数为． 故答案为：. 10．（2026·浙江丽水·一模）展开式中的常数项是___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【解答过程】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 11．（2026·湖北武汉·三模）被8除的余数为___________. 【答案】2 【解题思路】根据二项式展开式性质计算求解余数. 【解答过程】， 因为能被8整除， 所以除以8的余数即是被8除的余数， 所以被8除的余数是2. 故答案为：2. 12．（2026·江西新余·模拟预测）已知，则二项式的展开式中含项的系数为___________. 【答案】 【解题思路】逆用二项式定理化简已知求得，然后求出二项式展开式的通项，由得，代入求解即可. 【解答过程】由题意知，，所以， 则二项式的通项， 令，解得，所以含项的系数为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·湖南郴州·模拟预测）的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 【答案】D 【解题思路】将求原式常数项转化为求展开式中的系数，结合二项式通项计算对应项系数求和即可. 【解答过程】要得到原式的常数项，需与展开式中的项相乘，故仅需计算中的系数， 的展开式通项为， 分三类计算的系数： 取因式的常数项，令，解得，对应系数为； 取因式的一次项，需匹配项，由于展开式仅含的偶次幂项，故该部分系数为； 取因式的二次项，令，解得，对应系数为， 因此的总系数为，即原式展开式的常数项为. 故选：D. 2．（2026·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解题思路】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案. 【解答过程】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 3．（2026·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【解题思路】由，通过二项式定理展开即可求解. 【解答过程】， 而，故最后一位数为7， 故选：D. 4．（2026·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可. 【解答过程】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 故选：D. 二、多选题 5．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】由，可判断A；利用展开式的通项求出，可判断B；令求出，再对二项式两边求导，令即可判断C；当时，可判断D． 【解答过程】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故B正确； 因为，令，可得， 令， 有， 令，可得， 所以，故C错误； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确. 故选：BD． 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047 C．第21行中，从左到右的第3个数是210 D．第3斜列为：，则该数列的前项和为 【答案】BCD 【解题思路】可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列可判断AB；根据二项式系数性质可判断C；由公式可判断D. 【解答过程】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误； 对于B：可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以B正确； 对于C：第21行的二项式系数为且， 所以从左到右第三个数是，所以C正确； 对于D：由公式得： ，所以D正确. 故选：BCD． 三、填空题 7．（2026·河北·模拟预测）已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为____________. 【答案】 【解题思路】令即可求出，求出展开式通项即可求出常数项. 【解答过程】令，可得展开式中各项系数的和，解得； 的展开式通项为， 因为，所以展开式中常数项为， 故答案为：. 8．（2026·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是____________． 【答案】 【解题思路】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解. 【解答过程】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】写出二项展开式，令，解得，即可得解. 【解答过程】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵，，且已知的系数为， ∴，即，解得. 故选：A. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【解答过程】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 二、填空题 3．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【解答过程】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 故答案为：. 4．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】； 【解题思路】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【解答过程】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：；. 5．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为__________． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【解答过程】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为：. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为__________． 【答案】5 【解题思路】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【解答过程】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $