第03讲 二项式定理（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 二项式定理 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 二项展开式的特定项 2 题型02 二项展开式的有理项 2 题型03 三项展开式的指定项 3 题型04 多个二项式积的展开式的特定项 3 题型05 赋值法求系数和 4 题型06 二项式系数的最值 4 题型07 系数的最值 5 题型08 整除和余数问题 5 题型09 杨辉三角 6 题型10 二项式定理与数列求和 8 重难·创新演练 9 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考查重点：二项展开式特定项、有理项求解，三项、多个二项式乘积的指定项计算，赋值法求各类系数和，二项式系数与系数的最值辨析，整除余数、杨辉三角及结合数列求和应用，覆盖二项式定理核心考点，侧重公式运算、赋值技巧与综合迁移。 题型01 二项展开式的特定项 1．已知，那么的展开式中的系数为（    ） A．120 B． C．192 D． 2．已知的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 4．若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知，则______． 题型02 二项展开式的有理项 6．已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（多选）二项式的展开式（     ） A．共有6项 B．常数项为240 C．有四项有理项 D．第四项的系数为20 8．的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 9．在二项式的展开式中，系数为无理数的项的个数是______个. 10．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项__________． 题型03 三项展开式的指定项 11．展开式中的系数为（     ） A．120 B． C． D．以上都不对 12．的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 13．的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 14．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 15．的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 题型04 多个二项式积的展开式的特定项 16．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 17．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 18．若的展开式中常数项是10，则（    ） A． B． C． D． 19．的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 20．的展开式中，的系数为（     ） A． B． C． D． 题型05 赋值法求系数和 21．若，则（    ） A． B． C． D． 22．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 23．已知，则（    ） A．100 B．2560 C．3125 D．6250 24．若，则（   ） A．82 B．80 C．81 D．27 25．设，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 题型06 二项式系数的最值 27．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 28．已知二项式的展开式中仅有第3项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 29． 的展开式中二项式系数最大的项为（   ） A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第七项 30．已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型07 系数的最值 31．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 32．若展开式中的常数项为，则展开式中系数最大的项是（   ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 33．的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 34．在 的展开式中系数最大的项为_____. 35．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 题型08 整除和余数问题 36．生活中有各种不同的进制，在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7这八个数字来表示数值．例如，八进制数换算成十进制数是．那么八进制数换算成十进制数，则十进制数除以6所得的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．如果今天是星期五，那么天后是星期几？（     ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日 38．已知，若，则被除所得的余数为（   ） A． B． C． D． 39．在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 40．设，且，若能被4整除，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 41．已知，则a被26除的余数为__________． 题型09 杨辉三角 42．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》一书中. 如图， 若在 “杨辉三角” 中从第 2 行右边的 1 开始按 “锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列: ，则此数列的前 20 项的和为_____. 43．在“杨辉三角”中，从第2行开始，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.则在“杨辉三角”中第____行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5. 44．（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ） 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 …… A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．210在杨辉三角中出现了6次 45．如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 46．（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） 杨辉三角 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 1  6  15  20  15  6  1 1  7  21  35  35  21  7  1 A．第2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B． C．记第10行的第i个数为，则 D．记第n行的第i个数为，则 题型10 二项式定理与数列求和 47．若，且，则自然数n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 48．设是正整数，化简___________. 49．如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则________． 50．已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 51．已知，则_________；_________． 重难·创新演练 设题创新：依托多式相乘变形、余数模运算命题，跳出单纯套通项公式套路，融合赋值法变式、杨辉三角组合性质，结合数列运算综合设问，侧重考查公式活用、代数变形与等价转化的综合解题能力。 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）（多选）设，则下列结论正确的是（   ） A． B．的系数为 C．偶数次系数和为64 D． 2．（2025·安徽阜阳·二模）【新考法】（多选）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·海南三沙·模拟预测）【新角度】的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 4．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知，则___________． 5．（2025·河南南阳·一模）【新考法】已知，其中，若存在使得，则k的最大值为________． 6．（2026·黑龙江鹤岗·一模）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______． 7．（2025·云南普洱·二模）【新考法】设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 8．（2026·吉林长春·三模）已知（）.若的展开式中的系数为，则__________. 真题·实战演练 高频考点：二项展开式特定项、系数与二项式系数辨析、赋值法求系数和、三项及多二项式乘积指定项、整除余数、杨辉三角；近三年以小而精的选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出赋值、变形运算、参数分析三大热点。 1．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 2．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 3．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 4．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二项式定理 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 二项展开式的特定项 2 题型02 二项展开式的有理项 3 题型03 三项展开式的指定项 5 题型04 多个二项式积的展开式的特定项 7 题型05 赋值法求系数和 9 题型06 二项式系数的最值 11 题型07 系数的最值 12 题型08 整除和余数问题 14 题型09 杨辉三角 16 题型10 二项式定理与数列求和 20 重难·创新演练 23 真题·实战演练 23 模拟·基础演练 考查重点：二项展开式特定项、有理项求解，三项、多个二项式乘积的指定项计算，赋值法求各类系数和，二项式系数与系数的最值辨析，整除余数、杨辉三角及结合数列求和应用，覆盖二项式定理核心考点，侧重公式运算、赋值技巧与综合迁移。 题型01 二项展开式的特定项 1．已知，那么的展开式中的系数为（    ） A．120 B． C．192 D． 【答案】D 【详解】 根据组合数性质，可得， 因此： 整理得，解得（舍去，组合数下标为正整数）. 二项式的展开式通项为： , 化简的指数：，令，解得. 将代入系数部分： 即的系数为. 2．已知的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的展开式中第项为， 令，解得， 所以的展开式中的系数为， 解得. 3．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式中， 含的项的系数为. 4．若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 即是2或3的整数倍， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为5. 5．已知，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以的展开式的通项公式为， 所以． 题型02 二项展开式的有理项 6．已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意得，所以，解得， 所以的展开通项为， 若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个. 故选：C. 7．（多选）二项式的展开式（     ） A．共有6项 B．常数项为240 C．有四项有理项 D．第四项的系数为20 【答案】BC 【详解】二项式的展开式通项为，. 展开式共有7项，故A错误； 令，解得，所以常数项为，故B正确； 令，解得，所以有四项有理项，故C正确； 第四项的系数为，故D错误. 8．的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 【答案】85 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 9．在二项式的展开式中，系数为无理数的项的个数是______个. 【答案】 【详解】二项式展开式的通项为（其中且）， 所以当为奇数，即当时系数为无理数， 即系数为无理数的项有个. 故答案为： 10．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项__________． 【答案】（或，或，写出其中一个即可） 【详解】由题意知展开式中共有9项，所以， 所以的展开式的通项为，，． 若为有理项，则，所以，4，8， 故展开式中所有的有理项为，，． 故答案为：（或，或，写出其中一个即可） 题型03 三项展开式的指定项 11．展开式中的系数为（     ） A．120 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】的展开式中，项是由6个因式中，3个因式为，2个因式为，1个因式为， 含的项为， 的系数为. 12．的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 【答案】D 【详解】表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供3， 此时的系数为； 从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供3，此时的系数为， 所以展开式中的系数为． 13．的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 14．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【详解】由题意可知：的通项为， 且的通项为， 令，解得， 所以的系数为． 故选：A 15．的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【答案】B 【详解】展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，得这些项的系数之和为. 故选：B 题型04 多个二项式积的展开式的特定项 16．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 【答案】C 【详解】因为， 其中展开式的通项为，且， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为80. 17．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 【答案】A 【详解】， 二项式展开式的通项公式，二项式展开式的通项公式. 当中取常数项，中取项时，得，解得，此时的系数为； 当中取项，中取项时，得，解得，此时的系数为； 当中取项，中取常数项时，得，解得，此时的系数为； 的展开式中的系数. 18．若的展开式中常数项是10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在的展开式中常数项为， 依题意，，所以. 19．的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 【答案】D 【详解】要得到原式的常数项，需与展开式中的项相乘，故仅需计算中的系数， 的展开式通项为， 分三类计算的系数： 取因式的常数项，令，解得，对应系数为； 取因式的一次项，需匹配项，由于展开式仅含的偶次幂项，故该部分系数为； 取因式的二次项，令，解得，对应系数为， 因此的总系数为，即原式展开式的常数项为. 20．的展开式中，的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的二项展开通项且， 含的项为， 所以的系数为. 题型05 赋值法求系数和 21．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令可得， 令可得，， 令可得，， 所以，所以. 22．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，即， 令，则， 令，则， 将与相加， 得，解得. 23．已知，则（    ） A．100 B．2560 C．3125 D．6250 【答案】D 【详解】设， 则， 令，则. 24．若，则（   ） A．82 B．80 C．81 D．27 【答案】C 【详解】由二项式定理可知，均为正数，均为负数， 令，则， 则. 25．设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， 令，得， 令，得， 所以，故B正确. 26．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【详解】在中，偶数次项系数为正，奇数次项系数为负， 所以，取， 可得， 故所求式的值为. 题型06 二项式系数的最值 27．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，所以, 在中，令得， 即展开式的各项系数之和为1. 28．已知二项式的展开式中仅有第3项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【详解】已知二项式展开式中，仅有第项的二项式系数最大. 第项对应的二项式系数为唯一最大值. 由二项式系数性质可知二项式系数唯一最大值出现在为偶数时，位置为. 所以有，解得，因此. 29． 的展开式中二项式系数最大的项为（   ） A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第七项 【答案】D 【详解】由的展开式中，项的二项式系数为， 根据二项式系数的性质得，当时，即第七项的二项式系数最大． 30．已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据二项式的展开式，的二项式系数的最大值为，即， 的二项式系数的最大值为或且，即， 已知，即，得， 化简得，解得. 题型07 系数的最值 31．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 32．若展开式中的常数项为，则展开式中系数最大的项是（   ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【详解】由题可知的通项公式为，其中为整数，且， 令，解得，则，所以， 由，得，又，所以， 当时，，系数为正， 所以展开式中系数最大的项为第项． 33．的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 34．在 的展开式中系数最大的项为_____. 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 35．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中系数最大项为第__________项. 【答案】3和4 【详解】展开式的通项公式为， 则前3项的系数分别为，，， 由题意可得，即，解得或（舍去），所以， 设展开式中系数最大项为第项， 由，解得，又因为， 所以或，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项. 题型08 整除和余数问题 36．生活中有各种不同的进制，在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7这八个数字来表示数值．例如，八进制数换算成十进制数是．那么八进制数换算成十进制数，则十进制数除以6所得的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】八进制数换算成十进制数为： ， 除以余，则除以余， 为奇数时，除以余， 为偶数时，除以余， 是偶数，故除以余， 故除以余． 37．如果今天是星期五，那么天后是星期几？（     ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日 【答案】D 【详解】2的幂对7取模： ；；；；；. 周期为3，即. ，即. 因此，，即天相当于往后推2天，所以是星期日. 38．已知，若，则被除所得的余数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 而， 所以部分可被整除， 且末项，所以被除所得的余数为. 39．在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为 . 所以, 展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7. 40．设，且，若能被4整除，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】首先对变形得， 根据二项式定理展开： ， 由于52是4的倍数，因此展开式中所有含52的项都能被4整除，仅最后一项不含因数4， 因此： ， 要使能被4整除，需能被4整除，结合且，可得，解得. 41．已知，则a被26除的余数为__________． 【答案】25 【详解】由二项式定理可知： 由于最后一项为，所以a被26除的余数为. 题型09 杨辉三角 42．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》一书中. 如图， 若在 “杨辉三角” 中从第 2 行右边的 1 开始按 “锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列: ，则此数列的前 20 项的和为_____. 【答案】 【详解】记此数列的前20项的和为， 则 . 43．在“杨辉三角”中，从第2行开始，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.则在“杨辉三角”中第____行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5. 【答案】62 【详解】若第n行中含有三个连续项之比为3∶4∶5， 则存在正整数k使得， ， 整理，得，，解得. 44．（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ） 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 …… A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．210在杨辉三角中出现了6次 【答案】ACD 【详解】A：第6行第4个数为，故A正确； B：第2026行共有2027项，2027为奇数，所以最大项只有一项，为第1014个数，故B错误； C：第n行的第i个数为，所以， 所以，故C正确； D：设，由对称性只需考虑的情况， 对，2，3…逐个代入验算，可得当，2，4时，成立； 当时，，因为，故没有其他组合数等于210， 综上210可以表示为，，，，，共6个，故D正确． 45．如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ACD 【详解】第2027行中从左到右第29个数是，第2000个数是，因为， 所以第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等，A正确. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为， 因为，所以， 即每一行的第4个数字之和为，B错误. 第48行的所有数字之和为， 因为， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确. 因为，即（且）为公差不为0的等差数列， 则，解得， 又， 所以，又， 故，D正确. 46．（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） 杨辉三角 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 1  6  15  20  15  6  1 1  7  21  35  35  21  7  1 A．第2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B． C．记第10行的第i个数为，则 D．记第n行的第i个数为，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由图可知， 杨辉三角 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 1  6  15  20  15  6  1 1  7  21  35  35  21  7  1 第2024行中从左往右第1012个数为，第1014个数为， 因为，所以为，A正确； 对于B，因为，B错误； 对于C，因为. 所以. 令，得． 因为，所以，C正确； 对于D，， ，D正确． 题型10 二项式定理与数列求和 47．）若，且，则自然数n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】令，则 ， 所以，，所以． 故选：B. 48．设是正整数，化简___________. 【答案】 【详解】设， ， 所以有， 故答案为： 49．如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则________． 【答案】 【详解】由题意知，，则 当时，= 当时，，也符合上式． 综上，． 故答案为： 50．已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可. 51．已知，则_________；_________． 【答案】 【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以 令, 得： ……(1) 令, 得： 即： ……(2) (1)式与(2)式作差，得：, 所以. 故答案为：； 重难·创新演练 设题创新：依托多式相乘变形、余数模运算命题，跳出单纯套通项公式套路，融合赋值法变式、杨辉三角组合性质，结合数列运算综合设问，侧重考查公式活用、代数变形与等价转化的综合解题能力。 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）（多选）设，则下列结论正确的是（   ） A． B．的系数为 C．偶数次系数和为64 D． 【答案】BD 【详解】对于A，展开式中的系数，故A不正确； 对于B，从等式右边看，的系数即，故B正确； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相加，得，即偶数次系数和为，故C错误； 对于D： 因 所以 令，得，故D正确． 2．（2025·安徽阜阳·二模）【新考法】（多选）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】令，则，原式化为， 由二项式定理，展开式通项为； 选项A：已知，代入通项，当时， ，等式成立，故A正确； 选项B：令，则，故B错误； 选项C：令，代入展开式， 故，则，故C正确； 选项D：，则，代入， 则 ，故D正确． 3．（2025·海南三沙·模拟预测）【新角度】的展开式中的系数为_______．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的系数为. 4．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知，则___________． 【答案】 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 5．（2025·河南南阳·一模）【新考法】已知，其中，若存在使得，则k的最大值为________． 【答案】49 【详解】二项式的通项为，， 二项式的通项为，， ，， 若，则为奇数，此时，， 得，由，可得，即，， 又为奇数，的最大值为49. 6．（2026·黑龙江鹤岗·一模）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______． 【答案】 120 【详解】第10行从左到右第4个数是； 由题意知，， 令，则，当从1到时，从0到，则， ，由二项式定理，令得， 则， 所以． 7．（2025·云南普洱·二模）【新考法】设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 若是大于3的偶数，令， 则 ， 因为对，， 所以能被1225整除，故余数为0，即余数是. 8．（2026·吉林长春·三模）已知（）.若的展开式中的系数为，则__________. 【答案】 【详解】二项式展开的通项公式为：， 令，则， 因为的展开式中的系数为， 所以，即， 即， 令，则，则， 令得到， ① 令得到， ② 令得到，； ①②得，即， ①②得，即 所以. 真题·实战演练 高频考点：二项展开式特定项、系数与二项式系数辨析、赋值法求系数和、三项及多二项式乘积指定项、整除余数、杨辉三角；近三年以小而精的选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出赋值、变形运算、参数分析三大热点。 1．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 2．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 3．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 【答案】 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 4．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $