第68课时 二项式定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

第68课时　 二项式定理 1.的展开式中，常数项为(　　) A．60　　　　 B．－60 C．120 D．－120 2．设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．－2 B．－1 C．242 D．243 3．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中x3的系数为(　　) A．－10 B．－20 C．10 D．20 4．已知(x＋a)n的展开式中只有第3项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为16，则a的值为(　　) A．－3 B．1 C．－1或3 D．－3或1 5.(1－2x)4的展开式中x2的系数为(　　) A．24 B．－24 C．－36 D．－40 6．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 7.＋＋＋…＋的展开式中含x的项的系数为(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 8．已知(x－1)n的展开式中二项式系数和为32，若(x－1)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n，则a1＝(　　) A．80 B．192 C．－192 D．－80 9．在(2x－y＋z)7的展开式中，含x3y2z2的项的系数为(　　) A．1 680 B．210 C．－210 D．－1 680 10．若(x－1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为(　　) A．－56 B．56 C．－70 D．70 11．【多选题】在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是(　　) A．n＝8 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 12．【多选题】已知f(x)＝(2x－3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则下列说法正确的是(　　) A．a1＋a2＋…＋an＝1 B．a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝18 C．f(6)被8除的余数为1 D．|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝39 13．已知的展开式中存在常数项，则正整数n的一个可能的值为________． 14.(x－y)7的展开式中x4y3的系数为________． 15．已知(n∈N*)． (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值； (2)当n＝6时，展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，求a的值； (3)当n＝6，a＝－2时，求展开式中系数最大的项． 16．【多选题】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21(mod 6)．若a＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×222，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A．2 019 B．2 023 C．2 029 D．2 033 17．将杨辉三角中的每一个数C都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果n≥2(n为正整数)，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是________． 第0行 第1行 　　 第2行 　　　　 第3行 　　　　　　 … … 第n行 　　…　 ①当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值； ②第8行第2个数是； ③＝(r∈N，0≤r≤n) 参考答案 1.答案　A 解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·＝(－1)r·C·26－r·x，令6－r＝0，解得r＝4.所以的展开式中的常数项为(－1)4×C×26－4＝60.故选A. 2．答案　C 解析　在(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，令x＝0，得15＝a0，所以a0＝1；令x＝1，得35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35－a0＝242. 3．答案　A 解析　根据的展开式中，二项式系数的和为2n＝32，∴n＝5.而＝的展开式的通项为Tr＋1＝C·(－2)r·x5－2r，令5－2r＝3，解得r＝1，可得展开式中x3的系数为C×(－2)＝－10. 4．答案　D 解析　因为展开式中只有第3项二项式系数最大，所以n为偶数． 由中间项为＋1＝3得n＝4.令x＝1得(1＋a)4＝16，故a＝1或－3. 5.答案　D 解析　(1－2x)4展开式中第r＋1项Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，x·C(－2)1x＝－8x2，C(－2)3x3＝－32x2，－8x2－32x2＝－40x2，即x2的系数为－40.故选D. 6．答案　B 解析　令x＝1得(a－1)(1＋1)5＝64，解得a＝3， 的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r＝Cx5－2r，0≤r≤5且r∈N， 所以当r＝2时，T3＝Cx；当r＝3时，T4＝Cx－1， 所以展开式的常数项为×Cx＋(－x)×Cx－1＝30－10＝20. 7.答案　A 解析　(2≤n≤10，n∈N*)的展开式的通项Tr＋1＝C，令n－r＝1，则r＝n－1，即的展开式中含x的项的系数为C＝1，∴＋＋＋…＋的展开式中含x的项的系数为1×9＝9. 8．答案　A 解析　由题意知2n＝32，解得n＝5，又(x－1)n＝(－2＋x＋1)n＝C(－2)n＋C(－2)n－1(x＋1)＋C(－2)n－2·(x＋1)2＋…＋C(x＋1)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n，则a1＝C(－2)5－1＝80.故选A. 9．答案　A 解析　相当于在7个因式中有3个因式选2x，有C种选法，余下的4个因式中有2个因式选－y，有C种选法，最后余下2个因式选z，把所选式子相乘即可得含x3y2z2的项，而C(2x)3·C(－y)2Cz2＝1 680x3y2z2，所以含x3y2z2的项的系数为1 680.故选A. 10．答案　A 解析　(x－1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的绝对值之和等于(x＋1)n(n∈N*)的展开式中各项系数之和，则(1＋1)n＝512，得n＝9，则(x＋1)8(x－1)n＝(x2－1)8(x－1)． 因为(x2－1)8的展开式中没有含x11的项，所以(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为(x2－1)8的展开式中x10的系数，即C(－1)3＝－56. 11．答案　ABD 解析　展开式中第r＋1项Tr＋1＝C＝Cxx ＝Cx，前3项的系数C，C，C成等差数列，则C＝C＋C，∴n＝8(n＝1舍去)，A正确．所有奇数项的二项式系数和为27＝128，B正确．令r－4＝0，得r＝4，则常数项为C＝≠，C错误．C<C<C＝C>C>…，则第3项和第4项系数最大，D正确．故选ABD. 12．答案　BCD 解析　由已知有2n＝C＋C＋…＋C＝512，故n＝9，f(x)＝(2x－3)9，所以(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9.令x＝1，得－1＝a0，令x＝2，得1＝a0＋a1＋…＋a9，所以a1＋a2＋…＋a9＝1－(－1)＝2，A错误．对(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9等号两边分别求导，得18(2x－3)8＝a1＋2a2(x－1)＋3a3(x－1)2＋…＋9a9(x－1)8，令x＝2，得18＝a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9，B正确．f(6)＝99＝(8＋1)9＝C×89＋C×88＋…＋C×81＋C×80，最后一项即为余数1，C正确．由ak＝C·(－1)9－k·2k(k＝0，1，…，9)，得|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝－a0＋a1－a2＋…＋a9.在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝0，得－39＝a0－a1＋a2－…－a9，所以|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝－a0＋a1－a2＋…＋a9＝－(－39)＝39，D正确． 13．答案　4(答案不唯一) 解析　的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)n－k＝Cx3n－4k，要使展开式中存在常数项，只需3n－4k＝0，0≤k≤n，k∈Z，n∈N*有解即可，则n可取4. 14.答案　－105 解析　因为(x－y)7＝2(x－y)7－·(x－y)7， 而(x－y)7的展开式的通项Tr＋1＝C·x7－r·(－y)r，r＝0，1，2，…，7. 所以(x－y)7的展开式中含x4y3的项为－2Cx4y3－Cx4y3＝－105x4y3，其系数为－105. 15．答案　(1)8　(2)2或－2　(3)240 解析　(1)展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故n＝8. (2)当n＝6时，＝， 展开式的通项Tk＋1＝Cx6－k＝(－a)kCx (k＝0，1，…，6)， 令6－＝3，得k＝2，所以A＝a2C＝15a2， 令6－＝0，得k＝4，所以B＝a4C＝15a4， 又B＝4A，解得a＝0(舍去)或a＝2或a＝－2， 所以a＝2或a＝－2. (3)当n＝6，a＝－2时，＝， 展开式的通项Tk＋1＝Cx6－k＝2kCx (k＝0，1，…，6)， 设第k＋1项系数最大， 则即 故k＝4，所以展开式中系数最大的项为T4＋1＝24C＝240. 16．答案　AC 解析　因为a＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×222＝(1＋2)22＝322＝911＝(10－1)11＝C×1011－C×1010＋…＋C×10－C＝10(C×1010－C×109＋…＋C－1)＋9， 所以a除以10所得的余数是9. 又因为a≡b(mod 10)， 所以b除以10所得的余数是9. 而2 019＝201×10＋9，2 023＝202×10＋3，2 029＝202×10＋9，2 033＝203×10＋3.故选AC. 17．答案　②③ 解析　对于①，根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘一个正数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以①错误．对于②，第7行第1个数为，第8行第1个数为，所以第8行第2个数为－＝，所以②正确．对于③，根据组合数的性质可知，C＝C，即＝(r∈N，0≤r≤n)，所以③正确．综上，正确的序号是②③. 学科网（北京）股份有限公司 $