专题5.3～5.4 函数的应用与反函数（高效培优讲义，5知识7重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

专题5.3~5.4 函数的应用与反函数 教学目标 1.能从实际问题中抽象出两个变量之间的关系，建立函数解析式（含分段函数），并写出符合实际意义的定义域； 2.理解函数零点的概念，掌握“方程的根—函数的零点—图像与x轴交点”三者之间的等价关系； 3.理解零点存在定理的条件与结论，会判断函数零点所在区间及零点个数； 4.会用函数图像的观点求解方程与不等式，体会数形结合思想； 5.理解二分法的原理，会用二分法求函数零点的近似值（方程的近似解），能按精确度要求判断终止时机。 6.理解反函数的概念，知道并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数； 7.掌握求反函数的一般步骤（反解、换名、注明定义域）； 8.理解互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称，会利用对称性作图像、解决简单问题。 教学重难点 教学重点 1.函数零点的概念及零点存在定理； 2.用函数图像的观点求解方程与不等式； 3.从实际问题建立函数关系（建模）的基本方法； 4.用二分法求函数零点的近似值。 5.反函数的概念及其存在条件； 6.求反函数的一般步骤； 7.互为反函数的图像关于直线y=x对称。 教学难点 1.从实际情境中抽象数量关系、建立含实际意义定义域的函数模型（尤其是分段函数）； 2.零点存在定理的灵活运用：理解定理是充分而非必要条件，区分变号零点与不变号零点，正确判断零点个数； 3.二分法逼近过程中精确度、区间长度与二分次数的关系。 4.理解反函数概念中“对值域中每一个y，定义域中有唯一x与之对应”的一一对应条件； 5.求反函数时正确写出反函数的定义域（即原函数的值域）。 知识点01 函数关系的建立 基本思想：把实际问题中两个变量之间的对应关系用函数解析式表示出来，再借助函数的性质（单调性、最值等）研究问题。 步骤 操作要点 ①审题 分清常量与变量，明确所求目标，弄清已知量与未知量的关系 ②设元 设自变量x，必要时设辅助变量 ③列式 依据问题中的数量关系（等量关系）列出函数解析式，注意是否需要分段 ④定域 定义域既要使解析式有意义，又要符合实际问题的意义（如路程非负、件数为自然数等） 注意：实际问题中常常需要分段建立函数关系（如分段计费），应分段写出解析式，并保证各段定义域不重不漏；若题中另有“不足1km按1km计”之类的规定，则涉及取整（阶梯计费），建模时要先看清计价规则。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】依题意单调递增，则，解得， 又依题意可得对恒成立， 故，在恒成立， 所以，解得， 由对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以， 综上，的取值范围为. 知识点02 用函数观点求解方程与不等式 1. 函数的零点：对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 （1）零点是一个实数，不是一个点； （2）函数y=f(x)的零点 ⇔ 方程f(x)=0的实数根 ⇔ 函数图像与x轴交点的横坐标。 2. 零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的一个根。 （1）定理条件是“图像连续 + 端点函数值异号”，结论是“至少有一个零点”； （2）定理是判断零点存在的充分条件，不是必要条件：当f(a)·f(b)>0时，函数在区间内仍可能有零点（如f(x)=x²在[-1,1]上，f(-1)·f(1)>0，但零点x=0存在）； （3）定理只能说明变号零点（零点两侧函数值符号相反）的存在，不变号零点（如f(x)=(x-1)²的零点x=1）不能用端点异号判断； （4）若f(x)在(a,b)内单调，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点。 3. 用函数观点解方程与不等式： （1）求方程f(x)=g(x)的解 ⇔ 求函数y=f(x)与y=g(x)图像交点的横坐标； （2）解不等式f(x)>0：画出y=f(x)的图像，图像在x轴上方的部分所对应的x的取值范围即不等式的解集；f(x)<0同理取x轴下方的部分； （3）解不等式f(x)>g(x)：取两函数图像交点“上方”所对应的x的取值范围。 【即学即练】（25-26高一·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【答案】D 【详解】二次函数在区间上连续，且满足， 所以由零点存在性定理可知，在区间上至少存在一个零点， 又因为在区间上是严格增函数， 所以在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内必有唯一一个实根. 知识点03 用二分法求函数的零点 1. 二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2. 适用条件：函数在区间上连续、端点函数值异号，即零点为变号零点；不变号零点不能用二分法。 步骤 操作 判断与处理 1 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0 端点异号，方可继续二分 2 取区间中点c=，计算f(c) 记录中点及函数值 3 比较f(a)与f(c)的符号 若f(c)=0，则c即为零点；若f(a)·f(c)<0，则零点在(a,c)，令b=c；否则零点在(c,b)，令a=c 4 检验精确度 若|a-b|<ε（ε为给定精确度），则取a（或b）为零点近似值；否则回到第2步 精确度说明：每二分一次，区间长度缩短为原来的一半；经过n次二分，区间长度变为。精确度ε越小，需要二分的次数越多。判断终止看“区间长度小于精确度”，而不是“函数值足够小”。 【即学即练】（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 知识点04 反函数的概念 1. 定义：设函数y=f(x)的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值y，在D中总有唯一确定的值x与之对应，并且满足f(x)=y，那么由y确定x的对应关系就是D上的一个函数，这个函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f⁻¹(y)。习惯上，自变量用x表示、函数用y表示，因此改写为y=f⁻¹(x)，它的定义域为A，值域为D。 2. 存在条件：并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数。单调函数在定义域上一定一一对应，因而单调函数必有反函数。例如y=x²（x∈R）不存在反函数，而y=x²（x≤0）存在反函数。 步骤 操作 注意 1 反解 由y=f(x)解出x=f⁻¹(y) 由原函数定义域决定根号、绝对值等正负号的取舍 2 换名 交换x、y，写成y=f⁻¹(x) 符合“自变量用x、函数用y”的习惯写法 3 定域 写出反函数的定义域（即原函数的值域） 最易遗漏的一步，务必检验 3. 重要性质： （1）反函数的定义域=原函数的值域，反函数的值域=原函数的定义域（定义域与值域互换）； （2）反函数是相互的：f⁻¹(x)的反函数就是f(x)，即(f⁻¹)⁻¹=f； （3）互逆性：在相应定义域内，f(f⁻¹(x))=x，f⁻¹(f(x))=x； （4）点互逆：若点(a,b)在y=f(x)的图像上，则点(b,a)在y=f⁻¹(x)的图像上。 【即学即练】（25-26高一上·上海虹口·期末）指数函数的反函数的表达式为___________． 【答案】 【详解】因为指数函数，根据反函数的定义， 由，可得，故反函数为. 故答案为：. 知识点05 反函数的图像 1. 对称性：函数y=f(x)与其反函数y=f⁻¹(x)的图像关于直线y=x对称。 2. 作图方法：先作出y=f(x)的图像，再作它关于直线y=x的对称图形，即得y=f⁻¹(x)的图像。 函数 反函数 条件 y=aˣ y=logₐx a>0且a≠1 y=kx+b y= k≠0 y=x²（x≤0） y=- 定义域收缩后一一对应 3. 应用： （1）已知f(x)的图像过点(a,b) ⇔ f⁻¹(x)的图像过点(b,a)； （2）求f⁻¹(a)的值 ⇔ 解方程f(x)=a，即求原函数值为a时对应的自变量。 【即学即练】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【详解】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 题型01 函数关系的建立 【例1】（25-26高一上·上海·期中）某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【详解】（1）设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米.    所以 即； （2）               ，                              当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 【变式1-1】（26-27高一上·上海闵行·阶段检测）为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品的销售量万件与促销费用万元满足．已知生产该批产品万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定该厂家的产量与销量相等，且均为万件． (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； (2)请问投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？ 【详解】（1）由题意可知 ． （2），，故， ，当且仅当，即时取等， 此时万元， 故投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大． 【变式1-2】某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. (1)求函数的解析式，并求的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 【详解】（1）设地面长为， 所以墙面面积为， 所以， ，当且仅当，时等号成立， 所以，，最小值为28800. （2）对任意的时，方案二都比方案一费用低， 即时，恒成立， 得，， 因为， 设，则，在上单调递增， 当，即时，. 又，所以， 即的取值范围为 【变式1-3】某公司进行软件革新，需对现有的软件模型进行性能评估．该模型的综合性能（单位：分）与使用时长（单位：小时）有如下函数关系：，若． (1)求的值； (2)当使用时长取何值时，该模型的综合性能达到最大值． 【详解】（1）函数，由， 得，解得， 所以. （2）由（1）得， 当时，，即当时，取最大值80； 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以使用时长取20小时时，该模型的综合性能达到最大值98. 题型02 函数的零点与方程的解 【例2】（25-26高一·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 【变式2-1】（25-26高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中． (1)求函数的定义域与值域； (2)若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，那么，即函数的值域为 所以函数的定义域为，值域为. （2）具有，理由： 已知， 则 ， 所以函数关于点对称. （3）已知，则， 所以. 令，当时，， 则函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解. 由，可得 令，则，且 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增. 当时，；当时，， 所以，即实数的取值范围是. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且． (1)写出函数的单调区间（不要求证明）； (2)求出函数的表达式； (3)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 显然此时函数单调递增， 当时，， 显然此时函数单调递减， 所以函数的单调递增区间为，减区间为； （2）因为函数为偶函数，为奇函数， 所以由，可得 即， 联立解得， ； （3）， 由， 所以令 令 问题函数恰有4个零点，转化为直线与函数的图象有4个不同的交点， 因为， 所以函数是偶函数，因此该函数的图象关于轴对称， 所以当时，直线与函数的图象有2个不同的交点， 当时， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 当时，， 此时函数单调递增， 因此函数的图象如下图所示： 所以由数形结合思想可知：， 因此实数的取值范围. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期末）已知定义域为上的函数，其中常数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，解不等式； (3)若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【详解】(1)已知函数的定义域为，关于原点对称， 所以， ， 当时，， 此时函数是奇函数． 当时，且， 此时函数既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，， 即，移项可得， ， ， ， 二次函数， 其判别式， 且二次项系数，所以恒成立， 则等价于， 解得，因此，不等式的解集为． （3）已知方程，将代入可得： ，移项可得： ，合并同类项得： ， 因为，所以， 方程两边同时除以x得：， 即，令， 其对称轴为， 因为方程在区间上有两个不相等的实数根， 所以函数在区间上与x轴有两个不同的交点， 即且满足， 所以． 因此，实数a的取值范围是． 题型03 用函数观点解不等式 【例3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）不等式的解集为________．（用区间表示） 【答案】 【详解】令，则的定义域为， 所以的解集可转化为的解集， 因为函数在上均单调递减， 所以在上单调递减，所以的零点至多有1个， 又，所以的零点大于1， 而，所以只有唯一的一个零点2， 因为在上单调递减，，又的定义域为， 所以的解集为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期末）设常数，存在实数，使得对于任意，关于的不等式恒成立，则的最大值为________． 【答案】 【详解】对于的函数图象开口向上，对于在定义域上单调递增， 要使在上恒成立， 所以必为的对称轴左侧的零点，且在区间内， 即，故， 且不大于的对称轴右侧的零点， 所以，整理得，可得， 又，故，则， 所以的对称轴右侧的零点为， 综上，，故的最大值为. 故答案为： 【变式3-2】已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由得，设集合， 由得，设集合，所以， 设，则的解集非空， 设解集为，其中，是方程的两实根，且， 要使关于的不等式的解集内的每一个的值， 至少能使不等式或中的一个成立， 则需，即，即， 所以，解得， 所以，即. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和. (1)求的表达式； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数， 因为，所以在区间上严格增， 所以，即，解得， ； （2）方程有两个不相等的实数根，得方程有两个不相等的实数根， 令，则关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， ， ； （3）令，由在上恒成立，得恒成立， 得恒成立，即，恒成立， 令，，在上严格增，， 令，，可得， . 题型04 用二分法求近似解 【例4】已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【答案】 【详解】令函数，， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 由于，故函数的零点区间为， 因为，，又，且零点结果精确到0.1. 所以在区间内的零点近似为. 【变式4-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则=______． 【答案】 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 题型05 求反函数 【例5】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，则的反函数为__________ 【答案】 【详解】由，得，即，因此， 所以的反函数为. 故答案为： 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是_______. 【答案】 【详解】由得， 故的反函数为， 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的反函数，则________． 【答案】 【详解】因为，, 所以，, 所以， 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·上海·期末）已知，则_______. 【答案】； 【详解】，其图象是开口向上的抛物线， 对称轴为 ，所以在上单调递减， 所以， 当时，；即当趋向于时，趋向于， 因此，函数的值域为. 令，求解方程，得， 因为原函数的定义域为， 因此当时，解在定义域内，而不在定义域内， 故只取. 将和互换，得到反函数为，其定义域为. 故答案为：. 题型06 反函数性质的应用 【例6】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则________. 【答案】0 【详解】令可得，即， 解得； 即在函数的图象上，由反函数性质可得在函数的图象上， 因此可得. 故答案为：0 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则________． 【答案】 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【详解】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点， 则，解得，即， 而函数都是R上的增函数， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型07 反函数图像的对称性 【例7】（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的图象和函数的图象关于直线对称，则______. 【答案】 【详解】设在图象上，则点关于直线对称点在图象上， 则，即，所以. 故答案为：． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是________、________． 【答案】 －9 【详解】因为直线与直线关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 又的反函数为， 所以，． 故答案为：；. 【变式7-2】已知，函数的图像与的图像关于直线对称，则的值为________． 【答案】 【详解】由题意，， 所以的反函数为， 所以． 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象关于对称，求的值． 【答案】1 【详解】由得， ∴， 由函数的图象关于对称知， 即， ∴． 1．（24-25高一上·上海静安·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点， 所以该零点两侧函数值的符号相同， 则有两个相同的解， 则，解得. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【详解】因为时，，作出函数，的草图，如图1：    因为函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，可作出函数的草图，如图2：    保持轴上方的图象不变，将轴下方的图象对称到轴上方，得到函数的草图，如图3：    作直线，与函数的图象有4个交点，所以函数有4个零点. 故选：C 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 5．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 【答案】 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，其中，设是的反函数，则________．（） 【答案】 【详解】由题意，令， 则，， 解得，， 即. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为________． 【答案】 【详解】由， 得， 将互换得，， 且函数的值域为R， 因此，函数， 故答案为：． 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】2 【详解】因为，所以该函数的定义域为. 令，即， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：2. 9．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又， 即，所以存在唯一零点，所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【详解】（1）设且， 由，可得，又，， . （2）由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解， ，解得， 实数的取值范围为. 11．（25-26高一上·上海浦东新·期中）上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数． (1)设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时，的取值； (2)若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？ 【详解】（1）根据题意，即， ， 即，当且仅当，即时取等， 所以的最大值为，此时； （2）设利润为，则， 又， 则，此时； ，此时； ，此时； 所以每天制作款9幅，款2幅时总利润最大，最大总利润为236元． 12．（25-26高一上·上海·期末）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【详解】（1）购买台机器人的总成本万元， 每台机器人的平均成本， 当且仅当，即时，等号成立， 所以若使每台机器人的平均成本最低，应买台． （2）， 当时，， 当时，的最大值为件； 当时，件. 台机器人每日的总分拣量为件，完成这些分拣任务所需要的传统人工数为人. 1．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 2．（25-26高一上·上海·期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（    ） A．不存在常值函数是“相关函数” B．是“相关函数” C．“2026相关函数”至少有一个零点 D．“相关函数”至少有一个零点 【答案】C 【详解】对于A，易知任意常值函数都是“相关函数”， 而对任意都是“相关函数”，故A错误； 对于B，若是“相关函数”，则恒成立， 即恒成立， 此时有，此时无解，故B错误； 对于C，由“2026相关函数”可得， 若，则函数至少有两个零点， 若，则必有， 则函数在上至少有一个零点，故C正确， 对于D，由“相关函数”可得， 若，则必有，零点个数不确定，故D错误； 故选：C 3．（25-26高一上·上海·期末）若函数和的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】设是的图象上的任意一点，则它关于轴的对称点必不在函数的图象上， 即关于的方程无解，显然，则无解. 因，当且仅当，即时取等， 故有. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知平面直角坐标系上两点，，记，设点的坐标为，点的坐标为，若，则实数的取值范围是________． 【答案】或， 【详解】由题设有， 当时，，而， 故， 当时，，而， 故， 当时，， 若，则，故（舍）； 若，则，故（舍）； 综上，或， 故答案为：或. 5．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海松江·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，，关于的方程在区间上解的个数为______． 【答案】2015 【详解】当时，；当时，；当时，；； 关于的方程在区间解的个数即为与交点个数， 作出和的部分图象，    其中在上单调递减，当时，，此时无交点； 当时，，有一个交点； 当时，，有一个交点； 依次类推，当时，，有一个交点； 当时，，，此时不相交， 所以方程在区间上解的个数为个， 故答案为：2015 7．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 【答案】4 【详解】，即， 当时，为严格减函数， 故方程没有非正根（否则使得根的乘积非正，不符合题意）， 又，则时，， 故，而为正整数， 从而的取值为， 则的个数为． 8.（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】令，即， 如图，当左侧相切时， 此时，即只有一个解， ，整理得， ，解得或（舍去）， 时，有2个零点，时，有3个零点； 如图，当左侧直线过时， ，解得或（舍去）， 当时，有4个零点，时，有3个零点； ③如图，当右侧过时， ，解得或（舍去）， 当时，有2个零点，时，有3个零点； ④如图，当右侧相切时， 又，则只有一个解， ，整理得， ， 解得或（舍去）， 当时，有4个零点；时，有3个零点； 时，有2个零点； 综上，函数恰有2个零点，正实数的取值范围为． 故答案为：． 9．（25-26高一上·上海·期末）已知． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 【详解】（1）当时该函数才有意义，即，所以， 解得，故函数的定义域是． （2）此时，即，解得，故定义域为． 由得，即，解得． 综上，所求解集为． （3）由得，即． 则，即． 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当且时，考虑和. 由得总为原方程的解， 故此时一定不满足原方程，从而，即． 综上所述：的取值范围是 10．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）设（，，） (1)若，设，，用列举法表示； (2)若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； (3)若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 【详解】（1）若，则. 令，即，解得或. 所以. （2）若，，，则. 令，则. 若方程有两个大于的根，则，对称轴，且. 即，整理得，解得. 综上，实数的取值范围为. （3）证明：若为奇数，则为奇数. 若为奇数，则为奇数，即同奇或同偶. 假设存在整数使得方程，即，则， 故为奇数. 若为偶数，则为偶数，所以，均为偶数，故为偶数，矛盾. 若为奇数，则为奇数， 当同奇时，，均为奇数，故为偶数，矛盾. 当同偶时，，均为偶数，故为偶数，矛盾. 综上，不存在整数使得. 故方程无整数解． 11．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，则称函数满足“关系”． (1)判断函数是否满足“关系”？说明理由； (2)证明：函数满足“关系”； (3)设函数满足“关系”，求实数的取值范围． 【详解】(1)不满足，理由如下： 假设满足“关系”，则存在，使得， 即，而此方程的判别式，方程无实数解， 所以函数不满足“关系”. (2)令， 则， 又因为，，故， 所以在上有实数解， 即存在实数，使得成立，所以满足“关系”. （3）因为函数满足“关系”， 所以存在实数，使得，即， 所以， 令，则，所以， 因为，则，则，故， 即的取值范围是. 12．（25-26高一上·上海·期末）设是上的奇函数． (1)求k的值； (2)写出函数的单调性（只需写出结论，不需证明）；若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围； (3)已知有且仅有2个不同的零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）由是R上的奇函数，则，即，得； 当时，，满足，故. （2）由（1），在R上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， 因为在R上单调递增，，所以，即， 又在R上单调递减，，所以，即， 所以，即， 所以在R上单调递增. 不等式，即， ，即存在，使得成立， 又在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 所以函数在上的最小值为，故， 所以实数的取值范围为. （3）由，即， ，令，则， 有且仅有2个不同的零点，等价于方程有且仅有2个不同的正根， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 13．（25-26高一·上海嘉定·阶段检测）设，其中；再设，其中． (1)写出当时函数的表达式； (2)证明：当时，； (3)若平面直角坐标系上与的图象在范围内恰有3个不同的交点，求实数的值． 【详解】（1）解：由函数， 当时，可得， 所以当时，． （2）当时，， 令， 因为，可得，可得的开口向上，且对称轴， 由．所以． 当且仅当时等号成立，因为，所以， 所以当时，． （3）解：由函数与均以为对称轴， 先写出时，在各区间的表达式 若，当时，，当时，； 若，当时，，当时，； 若，当时，，当时，； 由（2）知，当时，，所以第3个交点只能出现在前两个周期内， 画出函数与的图象，如图所示， ①如图（1）所示，当交点为时，可得， 整理得，解得或（舍去）； ②如图（2）所示，当交点为时，可得， 整理得，解得或（舍去）， 综上可得，实数的值为或. 14．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【详解】(1)证明： 由题定义域为R，关于原点对称，任意的 ，所以为奇函数； （2）函数在R上是增函数； 所以， 即， 所以原问题转化为存在，使成立， 令，， 对称轴为，且开口向上，所以， 所以； （3）令， 即， 令，得， 所以原问题转化成关于的方程存在两个不同的正数解， ， 故. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3~5.4 函数的应用与反函数 教学目标 1.能从实际问题中抽象出两个变量之间的关系，建立函数解析式（含分段函数），并写出符合实际意义的定义域； 2.理解函数零点的概念，掌握“方程的根—函数的零点—图像与x轴交点”三者之间的等价关系； 3.理解零点存在定理的条件与结论，会判断函数零点所在区间及零点个数； 4.会用函数图像的观点求解方程与不等式，体会数形结合思想； 5.理解二分法的原理，会用二分法求函数零点的近似值（方程的近似解），能按精确度要求判断终止时机。 6.理解反函数的概念，知道并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数； 7.掌握求反函数的一般步骤（反解、换名、注明定义域）； 8.理解互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称，会利用对称性作图像、解决简单问题。 教学重难点 教学重点 1.函数零点的概念及零点存在定理； 2.用函数图像的观点求解方程与不等式； 3.从实际问题建立函数关系（建模）的基本方法； 4.用二分法求函数零点的近似值。 5.反函数的概念及其存在条件； 6.求反函数的一般步骤； 7.互为反函数的图像关于直线y=x对称。 教学难点 1.从实际情境中抽象数量关系、建立含实际意义定义域的函数模型（尤其是分段函数）； 2.零点存在定理的灵活运用：理解定理是充分而非必要条件，区分变号零点与不变号零点，正确判断零点个数； 3.二分法逼近过程中精确度、区间长度与二分次数的关系。 4.理解反函数概念中“对值域中每一个y，定义域中有唯一x与之对应”的一一对应条件； 5.求反函数时正确写出反函数的定义域（即原函数的值域）。 知识点01 函数关系的建立 基本思想：把实际问题中两个变量之间的对应关系用函数解析式表示出来，再借助函数的性质（单调性、最值等）研究问题。 步骤 操作要点 ①审题 分清常量与变量，明确所求目标，弄清已知量与未知量的关系 ②设元 设自变量x，必要时设辅助变量 ③列式 依据问题中的数量关系（等量关系）列出函数解析式，注意是否需要分段 ④定域 定义域既要使解析式有意义，又要符合实际问题的意义（如路程非负、件数为自然数等） 注意：实际问题中常常需要分段建立函数关系（如分段计费），应分段写出解析式，并保证各段定义域不重不漏；若题中另有“不足1km按1km计”之类的规定，则涉及取整（阶梯计费），建模时要先看清计价规则。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 知识点02 用函数观点求解方程与不等式 1. 函数的零点：对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 （1）零点是一个实数，不是一个点； （2）函数y=f(x)的零点 ⇔ 方程f(x)=0的实数根 ⇔ 函数图像与x轴交点的横坐标。 2. 零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的一个根。 （1）定理条件是“图像连续 + 端点函数值异号”，结论是“至少有一个零点”； （2）定理是判断零点存在的充分条件，不是必要条件：当f(a)·f(b)>0时，函数在区间内仍可能有零点（如f(x)=x²在[-1,1]上，f(-1)·f(1)>0，但零点x=0存在）； （3）定理只能说明变号零点（零点两侧函数值符号相反）的存在，不变号零点（如f(x)=(x-1)²的零点x=1）不能用端点异号判断； （4）若f(x)在(a,b)内单调，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点。 3. 用函数观点解方程与不等式： （1）求方程f(x)=g(x)的解 ⇔ 求函数y=f(x)与y=g(x)图像交点的横坐标； （2）解不等式f(x)>0：画出y=f(x)的图像，图像在x轴上方的部分所对应的x的取值范围即不等式的解集；f(x)<0同理取x轴下方的部分； （3）解不等式f(x)>g(x)：取两函数图像交点“上方”所对应的x的取值范围。 【即学即练】（25-26高一·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 知识点03 用二分法求函数的零点 1. 二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2. 适用条件：函数在区间上连续、端点函数值异号，即零点为变号零点；不变号零点不能用二分法。 步骤 操作 判断与处理 1 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0 端点异号，方可继续二分 2 取区间中点c=，计算f(c) 记录中点及函数值 3 比较f(a)与f(c)的符号 若f(c)=0，则c即为零点；若f(a)·f(c)<0，则零点在(a,c)，令b=c；否则零点在(c,b)，令a=c 4 检验精确度 若|a-b|<ε（ε为给定精确度），则取a（或b）为零点近似值；否则回到第2步 精确度说明：每二分一次，区间长度缩短为原来的一半；经过n次二分，区间长度变为。精确度ε越小，需要二分的次数越多。判断终止看“区间长度小于精确度”，而不是“函数值足够小”。 【即学即练】（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 知识点04 反函数的概念 1. 定义：设函数y=f(x)的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值y，在D中总有唯一确定的值x与之对应，并且满足f(x)=y，那么由y确定x的对应关系就是D上的一个函数，这个函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f⁻¹(y)。习惯上，自变量用x表示、函数用y表示，因此改写为y=f⁻¹(x)，它的定义域为A，值域为D。 2. 存在条件：并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数。单调函数在定义域上一定一一对应，因而单调函数必有反函数。例如y=x²（x∈R）不存在反函数，而y=x²（x≤0）存在反函数。 步骤 操作 注意 1 反解 由y=f(x)解出x=f⁻¹(y) 由原函数定义域决定根号、绝对值等正负号的取舍 2 换名 交换x、y，写成y=f⁻¹(x) 符合“自变量用x、函数用y”的习惯写法 3 定域 写出反函数的定义域（即原函数的值域） 最易遗漏的一步，务必检验 3. 重要性质： （1）反函数的定义域=原函数的值域，反函数的值域=原函数的定义域（定义域与值域互换）； （2）反函数是相互的：f⁻¹(x)的反函数就是f(x)，即(f⁻¹)⁻¹=f； （3）互逆性：在相应定义域内，f(f⁻¹(x))=x，f⁻¹(f(x))=x； （4）点互逆：若点(a,b)在y=f(x)的图像上，则点(b,a)在y=f⁻¹(x)的图像上。 【即学即练】（25-26高一上·上海虹口·期末）指数函数的反函数的表达式为___________． 知识点05 反函数的图像 1. 对称性：函数y=f(x)与其反函数y=f⁻¹(x)的图像关于直线y=x对称。 2. 作图方法：先作出y=f(x)的图像，再作它关于直线y=x的对称图形，即得y=f⁻¹(x)的图像。 函数 反函数 条件 y=aˣ y=logₐx a>0且a≠1 y=kx+b y= k≠0 y=x²（x≤0） y=- 定义域收缩后一一对应 3. 应用： （1）已知f(x)的图像过点(a,b) ⇔ f⁻¹(x)的图像过点(b,a)； （2）求f⁻¹(a)的值 ⇔ 解方程f(x)=a，即求原函数值为a时对应的自变量。 【即学即练】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 题型01 函数关系的建立 【例1】（25-26高一上·上海·期中）某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【变式1-1】（26-27高一上·上海闵行·阶段检测）为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品的销售量万件与促销费用万元满足．已知生产该批产品万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定该厂家的产量与销量相等，且均为万件． (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； (2)请问投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？ 【变式1-2】某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. (1)求函数的解析式，并求的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 【变式1-3】某公司进行软件革新，需对现有的软件模型进行性能评估．该模型的综合性能（单位：分）与使用时长（单位：小时）有如下函数关系：，若． (1)求的值； (2)当使用时长取何值时，该模型的综合性能达到最大值． 题型02 函数的零点与方程的解 【例2】（25-26高一·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【变式2-1】（25-26高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中． (1)求函数的定义域与值域； (2)若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且． (1)写出函数的单调区间（不要求证明）； (2)求出函数的表达式； (3)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围． 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期末）已知定义域为上的函数，其中常数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，解不等式； (3)若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 题型03 用函数观点解不等式 【例3】（25-26高一上·上海徐汇·期末）不等式的解集为________．（用区间表示） 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期末）设常数，存在实数，使得对于任意，关于的不等式恒成立，则的最大值为________． 【变式3-2】已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为______. 【变式3-3】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和. (1)求的表达式； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 题型04 用二分法求近似解 【例4】已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【变式4-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则=______． 【变式4-3】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 题型05 求反函数 【例5】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，则的反函数为__________ 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是_______. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的反函数，则________． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·期末）已知，则_______. 题型06 反函数性质的应用 【例6】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则________. 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则________． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【变式6-3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为__________. 题型07 反函数图像的对称性 【例7】（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的图象和函数的图象关于直线对称，则______. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是________、________． 【变式7-2】已知，函数的图像与的图像关于直线对称，则的值为________． 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象关于对称，求的值． 1．（24-25高一上·上海静安·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，其中，设是的反函数，则________．（） 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为________． 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的零点为______. 9．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 11．（25-26高一上·上海浦东新·期中）上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数． (1)设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时，的取值； (2)若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？ 12．（25-26高一上·上海·期末）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 1．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．（25-26高一上·上海·期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（    ） A．不存在常值函数是“相关函数” B．是“相关函数” C．“2026相关函数”至少有一个零点 D．“相关函数”至少有一个零点 3．（25-26高一上·上海·期末）若函数和的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_______． 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知平面直角坐标系上两点，，记，设点的坐标为，点的坐标为，若，则实数的取值范围是________． 5．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 6．（25-26高一上·上海松江·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，，关于的方程在区间上解的个数为______． 7．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 8.（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是______． 9．（25-26高一上·上海·期末）已知． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 10．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）设（，，） (1)若，设，，用列举法表示； (2)若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； (3)若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 11．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，则称函数满足“关系”． (1)判断函数是否满足“关系”？说明理由； (2)证明：函数满足“关系”； (3)设函数满足“关系”，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·上海·期末）设是上的奇函数． (1)求k的值； (2)写出函数的单调性（只需写出结论，不需证明）；若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围； (3)已知有且仅有2个不同的零点，求实数的取值范围． 13．（25-26高一·上海嘉定·阶段检测）设，其中；再设，其中． (1)写出当时函数的表达式； (2)证明：当时，； (3)若平面直角坐标系上与的图象在范围内恰有3个不同的交点，求实数的值． 14．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $