专题2.3基本不等式及其应用（高效培优讲义，3知识7重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式及其应用核心知识点，以重要基础不等式为起点，推导基本不等式的成立条件、几何意义及算术与几何平均数概念，延伸至三角不等式，通过“一正二定三相等”准则和配凑、常数代换等技巧，构建从概念到应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计与实际情境融合，如贮水池造价、运输成本等问题，引导学生用数学眼光观察现实，通过恒成立问题训练逻辑推理提升数学思维。课中辅助教师系统教学，课后学生可借变式练习查漏补缺，强化知识应用能力。

专题2.3基本不等式及其应用 教学目标 1. 理解基本不等式的推导过程、核心成立条件与几何意义，清晰区分算术平均数与几何平均数的概念。 2. 熟练掌握基本不等式两大核心最值模型：积定和最小、和定积最大，严格掌握“一正、二定、三相等”的使用准则。 3. 掌握代数式配凑、常数代换、分式化简等常用解题技巧，能够解决基本不等式最值问题与生活实际应用问题。 教学重难点 教学重点 1. 基本不等式的公式形式、适用范围、核心条件与几何意义； 2. 基本不等式两大最值结论：积定和最小、和定积最大； 3. 依托“一正二定三相等”准则规范求解代数式最值。 教学难点 1. 无定值代数式的变形技巧，包括拆项、凑系数、常数“1”代换等配凑定值方法； 2. 等号无法取到时，结合函数单调性求解最值的转化思路； 3. 实际问题的数学建模，结合自变量定义域验证结果的合理性。 知识点01 重要基础不等式 对任意实数 ，恒有： 当且仅当 时，等号成立。 推导：由完全平方公式 ，展开变形可得，适用于全体实数。 【即学即练】 1．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点02 基本不等式（均值不等式） 算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 基本不等式 若 ，则 1. 概念定义： 为正数 的算术平均数， 为正数 的几何平均数； 2. 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数； 3. 等号条件：当且仅当 时，等号成立。 三大使用核心条件（缺一不可） 1. 一正：参与运算的两项 均为正数； 2. 二定：两项的和或积为定值（和定或积定）； 3. 三相等：在自变量定义域内，存在 的取值，保证等号可取。 两大核心最值结论 1. 积定和最小 已知 ，若积 （定值），则 ； 当且仅当 时， 取得最小值 。 2. 和定积最大 已知 ，若和 （定值），则 ； 当且仅当 时， 取得最大值 。 常用拓展公式与变形 1. 通用不等关系： 2. 负数处理技巧：若 ，令 ，转化为正数套用公式，最后还原符号； 3. 倒数型拓展： 时，； 时，。 【即学即练】 2．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为______. 知识点03 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么≤；当且仅当ab≥0时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有≤，且等号当且仅当ab≥0时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明≤，只需证明， 即，也就是2ab≤2，所以，等号当且仅当ab≥0时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有-()≤a+b≤③， 将 ()看作一个整体时，上面的③式逆用＜a↔-a＜x＜a，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成（a+b）-b代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即2； 方法2：将取成代入定理。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海·期末）若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 题型01 直接套用公式求最值（基础题） 【典例1】（25-26高一上·上海·期中）若正数、满足，则的最大值为_____________. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 【变式1-2】（25-26高一上·上海闵行·期末）若正实数、满足，则的最小值为___________． 【变式1-3】（25-26高一上·上海松江·期中）若，则的最小值是__________. 题型02 配凑法构造定值（高频必考） 【典例2】（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，当时，取得最小值，则________. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为__________． 【变式2-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，求的最大值． 题型03 常数“1”代换法（重难点） 【典例3】（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若，则的最小值为___________． 【变式3-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 ，且 ，则 的最小值是________. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，且，则式子的最小值是__________. 题型04 分式型最值问题 【典例4】设，则的最小值为_____________． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【变式4-2】设为正实数，若则的最大值是__________. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 题型05 基本不等式实际应用题 【典例5】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【变式5-1】（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【变式5-3】某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 题型06 恒成立问题（参数范围求解） 【典例6-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例6-2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【典例6-3】若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当正实数满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型07 三角不等式及其应用 【典例7】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 ，则 的最大值为________. 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． (1)若，求的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在最小值？若存在，求出该最小值及此时的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； (2)求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； (3)对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 1．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 2．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知两实数、满足，则的最小值为______． 4．（25-26高一上·上海·期中）若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为___________ 5．（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）当且仅当实数x的范围是________时，不等式等号成立. 6．（25-26高一上·上海·期中）若均为正数，且，则的最小值为___________． 7．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 8．（25-26高一上·上海浦东新·期末）某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏. 9．（25-26高一上·上海·期中）已知，且，则的最小值是______． 10．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正数，设. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值. 11．（25-26高一上·上海·期中）如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 12．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知实数，求的取值范围； （2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为16cm，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形海报面积S最小？最小面积是多少？    1．（25-26高一上·上海宝山·期中）若，且，则a的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（25-26高一上·上海·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 4．（25-26高一上·上海·期中）若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______． 5．（25-26高一上·上海·期中）若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 6．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图象，然后求解，请类比求解以下问题: 设, ， 若对任意 ，都有，则 的最小值是_____. 8．（25-26高一上·上海·期中）（1）集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合； （2）若实数、、满足，则称比远离. ①若比远离，求的取值范围； ②对任意两个不相等的正数、，证明：比远离. 9．（25-26高一上·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3基本不等式及其应用 教学目标 1. 理解基本不等式的推导过程、核心成立条件与几何意义，清晰区分算术平均数与几何平均数的概念。 2. 熟练掌握基本不等式两大核心最值模型：积定和最小、和定积最大，严格掌握“一正、二定、三相等”的使用准则。 3. 掌握代数式配凑、常数代换、分式化简等常用解题技巧，能够解决基本不等式最值问题与生活实际应用问题。 教学重难点 教学重点 1. 基本不等式的公式形式、适用范围、核心条件与几何意义； 2. 基本不等式两大最值结论：积定和最小、和定积最大； 3. 依托“一正二定三相等”准则规范求解代数式最值。 教学难点 1. 无定值代数式的变形技巧，包括拆项、凑系数、常数“1”代换等配凑定值方法； 2. 等号无法取到时，结合函数单调性求解最值的转化思路； 3. 实际问题的数学建模，结合自变量定义域验证结果的合理性。 知识点01 重要基础不等式 对任意实数 ，恒有： 当且仅当 时，等号成立。 推导：由完全平方公式 ，展开变形可得，适用于全体实数。 【即学即练】 1．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 知识点02 基本不等式（均值不等式） 算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 基本不等式 若 ，则 1. 概念定义： 为正数 的算术平均数， 为正数 的几何平均数； 2. 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数； 3. 等号条件：当且仅当 时，等号成立。 三大使用核心条件（缺一不可） 1. 一正：参与运算的两项 均为正数； 2. 二定：两项的和或积为定值（和定或积定）； 3. 三相等：在自变量定义域内，存在 的取值，保证等号可取。 两大核心最值结论 1. 积定和最小 已知 ，若积 （定值），则 ； 当且仅当 时， 取得最小值 。 2. 和定积最大 已知 ，若和 （定值），则 ； 当且仅当 时， 取得最大值 。 常用拓展公式与变形 1. 通用不等关系： 2. 负数处理技巧：若 ，令 ，转化为正数套用公式，最后还原符号； 3. 倒数型拓展： 时，； 时，。 【即学即练】 2．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 知识点03 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么≤；当且仅当ab≥0时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有≤，且等号当且仅当ab≥0时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明≤，只需证明， 即，也就是2ab≤2，所以，等号当且仅当ab≥0时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有-()≤a+b≤③， 将 ()看作一个整体时，上面的③式逆用＜a↔-a＜x＜a，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成（a+b）-b代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即2； 方法2：将取成代入定理。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海·期末）若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 即， ， ， 故不等式的等号成立的充要条件为. 题型01 直接套用公式求最值（基础题） 【典例1】（25-26高一上·上海·期中）若正数、满足，则的最大值为_____________. 【答案】 【详解】由题意，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是 故答案为： 【变式1-2】（25-26高一上·上海闵行·期末）若正实数、满足，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】正实数、满足，则，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为, 故答案为： 【变式1-3】（25-26高一上·上海松江·期中）若，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 题型02 配凑法构造定值（高频必考） 【典例2】（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，当时，取得最小值，则________. 【答案】3 【详解】， 当且仅当时，等号成立， 此时， 则， 故答案为： 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】已知：正数、、满足，. 因为（当且仅当即时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，求的最大值． 【答案】 【详解】由，得，即. 因为，所以，所以 . 所以.当且仅当，即时，等号成立. 所以. 当且仅当时，取得最大值，最大值为. 题型03 常数“1”代换法（重难点） 【典例3】（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【详解】正实数､满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 ，且 ，则 的最小值是________. 【答案】4 【详解】由，， 可得：， 故， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：4 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，且，则式子的最小值是__________. 【答案】1058 【详解】，且，故，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是1058. 故答案为：1058 题型04 分式型最值问题 【典例4】设，则的最小值为_____________． 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【变式4-2】设为正实数，若则的最大值是__________. 【答案】 【详解】由，则，当且仅当，即取等号， 同时，故，则且， ， 当且仅当，即，则或时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 题型05 基本不等式实际应用题 【典例5】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 【变式5-1】（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 【变式5-3】某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 题型06 恒成立问题（参数范围求解） 【典例6-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 【典例6-2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 【典例6-3】若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当正实数满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，所以， 所以，解得或， 所以. （2）由条件可知，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 又因为恒成立， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 题型07 三角不等式及其应用 【典例7】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角不等式可得， 因为存在实数x，使得不等式成立，所以， 两边平方得，所以， 所以，解得或， 可得a的取值范围是. 故选：A 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 ，则 的最大值为________. 【答案】12 【详解】 ， 当取得最大值， 所以 的最大值为12. 故答案为：12 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． (1)若，求的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在最小值？若存在，求出该最小值及此时的取值范围；若不存在，说明理由． 【详解】（1）依题意，得， 当时，，解得，故； 当时，，故； 当时，，解得，故； 综上：. （2）依题意，得对一切实数恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. （3） 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小， 当且仅当即取得最小值， 取得最小值， 当且仅当即取得最小值， 当且仅当即取得最小值， 当时， 当且仅当即取得最小值， 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为16. 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； (2)求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； (3)对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【详解】（1）， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2. (2)1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即. (3)32，理由如下： ， 其中，，，， 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理， 所以或， 可知的最大值是. 1．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知两实数、满足，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为两实数、满足，则， 当且仅当或时取等号. 故的最小值为. 4．（25-26高一上·上海·期中）若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【详解】因为，当且仅当，即时取等号， 又不等式对于任意的实数恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）当且仅当实数x的范围是________时，不等式等号成立. 【答案】 【详解】由题意可知，即可知最小值为1； 所以不等式恒成立，此时. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期中）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 8．（25-26高一上·上海浦东新·期末）某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏. 【答案】12 【详解】设矩形区域与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长为米 ，则. 由题可知. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为，即最少需要12米栅栏. 故答案为12. 9．（25-26高一上·上海·期中）已知，且，则的最小值是______． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 10．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正数，设. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值. 【详解】（1）当时，不等式， 当时，不等式为，解得，则； 当时，不等式为，无解； 当时，不等式为，解得，则， 所以不等式的解集为. （2）均为正数，， 当且仅当时取等号，而的最小值为6，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值. 11．（25-26高一上·上海·期中）如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【详解】（1）依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 （2）由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 12．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知实数，求的取值范围； （2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为16cm，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形海报面积S最小？最小面积是多少？    【详解】（1）当时，，当且仅当，即取等号， 当时，，所以， 当且仅当，即取等号， 综上所述：的取值范围为. （2）设矩形栏目宽为，高为，则， 所以 ， 当且仅当，即取等号， 所以海报的高为与宽为，可使矩形海报面积S最小，最小面积为. 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）若，且，则a的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【详解】若，，由，可得， 所以，当且仅当时等号成立， 取，， 得， 所以，则，当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为8. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 3．（25-26高一上·上海·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，当时，取等号， 所以， 解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 4．（25-26高一上·上海·期中）若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 由对任意满足的实数，都有成立，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·期中）若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为___________． 【答案】 【详解】当一个直角三角形的斜边为，设直角三角形的直角边为， 所以，所以， 所以，当且仅当时，面积最大， 当面积最大时，三角形的周长为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图象，然后求解，请类比求解以下问题: 设, ， 若对任意 ，都有，则 的最小值是_____. 【答案】2 【详解】类比图象法解不等式，画出和的图象. 因为对任意 ，都有，所以两个函数的图象应如下图所示：    由图象得：. 所以. 故答案为：2 8．（25-26高一上·上海·期中）（1）集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合； （2）若实数、、满足，则称比远离. ①若比远离，求的取值范围； ②对任意两个不相等的正数、，证明：比远离. 【详解】（1）不等式对任意恒成立， 由，当且仅当时取等号， 所以，即或，解得或， 所以集合或； （2）①由已知得，所以，即或， 解得或或， 所以的取值范围为. ②因为、是任意两个不相等的正实数， 所以， ， 所以 显然恒成立， 因此， 所以比远离 9．（25-26高一上·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7； （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $