第14讲 函数的基本性质（知识清单+5题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

本讲义聚焦函数的基本性质，系统梳理奇偶性（定义、图像对称特征）、单调性（概念、单调区间判定）、最值（图像法与单调性法求最值及关系）三大核心知识点。通过知识清单夯实基础，题型归纳从单一性质应用到奇偶性与单调性综合、恒成立问题递进，构建完整学习支架。 资料亮点在于分层设计题型，精选上海地区期中期末真题，强化训练覆盖选择、填空、解答题。通过奇偶性判断、单调性证明等例题，引导学生用数学思维分析问题，提升逻辑推理与问题解决能力。课中助力教师系统授课，课后学生可借例题解析与训练查漏补缺，巩固知识。

第14讲 函数的基本性质 知识清单 知识点01：函数的奇偶性 1 知识点02：函数的单调性 2 知识点03：函数的最值 2 题型归纳 题型01 函数的奇偶性 3 题型02 函数的单调性 8 题型03 函数的最值 13 题型04 函数奇偶性与单调性综合 17 题型05 函数恒成立问题 23 强化训练 32 知识点01：函数的奇偶性 1.奇函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.偶函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 3.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 知识点02：函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 知识点03：函数的最值 1.图象法求函数最值的一般步骤 2.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 3.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 题型01 函数的奇偶性 【例1-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）若二次函数表达式为，则 “ ” 是 “此函数为偶函数” 的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】二次函数表达式为，则，其定义域为， 若，则二次函数为偶函数，充分性成立， 若二次函数为偶函数，，，必要性成立， 所以是此函数为偶函数的充要条件. 故选：C． 【例1-2】（25-26高一上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【详解】对于①：设、是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数， 且，可得， 可得，， 因为，可知为奇函数， ，可知为偶函数，故①为真命题； 对于②：设，，， 可知、、均是定义域上的奇函数， 且，，， 所以、、均是定义域上的奇函数，故②是真命题； 故选：A. 【例1-3】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【答案】C 【详解】设，则,故， 故， 当且，即，则，解得， 当且时，即， ，解得， 当且时，即， ，解得， 当且，此时不存在， 综上可得， 故选：C 【例1-4】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，是奇函数，则 . 【答案】 【详解】令， 因为函数，是奇函数， 所以，解得； 所以，又，即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 注意到， 所以函数的图象关于点对称， 所以. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域为上任一点满足，则以下命题真命题的个数为（   ） ①一定是偶函数   ②一定是奇函数   ③可能是非奇非偶函数 ④若值域为，则一定是奇函数   ⑤的图形可能是个封闭的圆 ⑥若为偶函数，则值域为或 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】如图所示，函数的定义域为， 可得函数在时是由第一或第四象限的部分点或弧组成， 在时是由第二或第三象限的部分点或弧组成， 所以不一定是奇函数，也不一定偶函数，可能是非奇非偶函数， 故①②错，③对； 若函数值域为，依下图的特征，只能是一一对应关系才能满足， 结合下图轴对称与中心对称的特征，则必有， 故函数一定是奇函数，故④对； 由图可知的图形不可能是个封闭的圆，故⑤错误； 若函数是偶函数，只需有关于轴对称的弧或点即可， 故值域不一定是或，故⑥错. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·上海·期中）（1）若，函数为偶函数，求的值； （2）定义在上的函数满足：对任意，都有，求证：函数是奇函数. 【详解】（1）由于， 由于为偶函数，故，则，则， （2）函数为奇函数.证明如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 题型02 函数的单调性 【例2-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，又，故为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，单调递增，B错误； 对于C，的定义域为，又，故为偶函数，当时，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确； 对于D，的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：C. 【例2-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）命题在上为单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】由在上为单调增函数， 因，则需使，解得，又，故得； 而由（）在R上为增函数， 当时 ，显然不合题意； 当时，若，为减函数，不合题意； 当时，需使，解得:. 故命题P是命题Q的充要条件. 故选：C. 【例2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，又，试写出的大小关系 . 【答案】 【详解】由，，当且仅当时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 又在单调递减，所以， 所以， 故答案为：. 【例2-4】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得，又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，． （2）由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由可得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为． 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. 【变式2-2】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数； ②若图像经过坐标原点，解不等式． 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2， 故或. （2）由题意得或， ①若图像不经过坐标原点，则， 所以的严格单调递减区间为，无严格递增区间； ②若图像经过坐标原点，则， 由可得，解得， 所以原不等式的解集为. 题型03 函数的最值 【例3-1】（24-25高一上·上海青浦·开学考试）函数当 时，有最小值，最小值等于 . 【答案】 【详解】由题意知，， 作出函数图象如下： 根据图象，当时，有最小值，最小值为. 故答案为：，. 【例3-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知. (1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值. 【详解】（1）单调递减， 证明：当时，， 设， 则， 因为，且为增函数，所以， 所以，所以在区间上的单调递减. （2）当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减， 所以， 即； 当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递增， 所以， 即， 综上，或. 【变式3-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的最小值是 ． 【答案】4 【详解】函数的定义域为R， 当时，，当且仅当时取等号； 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 故答案为：4 【变式3-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【答案】 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数（且）． (1)若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值； (2)若函数的值域为，求使得的实数的取值范围． 【详解】（1）①当时，在上单调递增，则，； ②当时，在上单调递减，则，； 则实数的值为； （2）因为函数的值域为， 则，即有，解得， ，即有， ，则实数的取值范围为． 题型04 函数奇偶性与单调性综合 【例4-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证； （2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数. 【例4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）设为实数，已知函数为偶函数： (1)求的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明； 【详解】（1）易知为偶函数， 所以， 因此， 解得； （2）函数在区间上单调递增； 证明：由（1）可知， 设任意，且， 则，显然， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. 【例4-3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数为奇函数 (1)求：的值 (2)解关于x的不等式， 【详解】（1）因为的定义域为， 因为是奇函数，则，解得， 当时，则， 且，可知是奇函数， 所以. （2）由（1）可知， 因为在上是严格增函数，则在上是严格增函数， 所以在上是严格增函数， 又因为，可得 所以不等式解集为. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若函数为单调函数，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为R，由是偶函数，得， 则，即，整理得，而不恒为0， 所以. （2）， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，函数在上单调递增，因此， 所以实数的取值范围是或. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【详解】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 【变式4-3】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由定义域为，且， 所以为奇函数，得证； （2）令，则 ，而， 所以，即，故函数在区间上是增函数； （3）由，且函数在区间上是增函数， 所以，可得，解集为. 题型05 函数恒成立问题 【例5-1】（25-26高一上·上海·阶段练习）设函数，其中. 若对任意的恒成立，（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】B 【详解】由，得， 令，得或或，由，得， 而， 令， 令，得或或，则， 由，得， 若，取， 当时，，，此时，， 当时，由穿针引线法知，，矛盾， 因此，即，则， ， 由对任意的恒成立，得对任意的恒成立， 则，解得，所以. 故选：B 【例5-2】（24-25高一上·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的表达式； (2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）； (3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由函数图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 所以，则，且为偶数，，则， 所以； （2）当，对于、在上都是单调递增， 且在和处相交，如下图示，    由图分析知，从变化到过程中，从接近于0的值逐渐变大，再变小到0， 从变化到过程中，从0逐渐变小，再变大到0， 从变化到过程中，从0逐渐变大并趋向于， 所以，， 使在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当，令，则， 显然，，，即，故， 所以在上单调递减， 综上，，，使的单调增区间为、，单调减区间为、. （3）由题设在上恒成立，即在上恒成立， 由（2）知在上单调递减，则， 所以. 【例5-3】（25-26高一上·上海·阶段练习）定义实数、间的计算法则如下：． (1)计算； (2)对的任意实数、、，判断等式是否恒成立，并说明理由； (3)对任意，恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）由题意，． （2），，故分类讨论， 若，则； 若，例如，，则， 故等式不恒成立． （3）因为，所以，， 所以原不等式可变为，也即， 法一：动轴定区间： 当时，在上无解，故舍； 当时，设关于对称，故展开讨论， 当时，开口向下，可知在内单调递减， 则，解得，舍去； 当，时，开口向上，可知在内单调递增， 则，解得； 当，时，开口向上， 则，解得，舍去； 当，时，开口向上，可知在内单调递减， 则，解得，舍去； 综上，． 法二：参变分离： 因为，， 可得，对任意的恒成立， 设，，在单调递增， 则，故，故． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）不等式的解集为， 所以的解集为， 由，可得，求得， 又因为解集为， 故有， 故． （2）当时，， 若存在，使得， 即存在，使得， 令， 故的最小值， 又， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 故， 故使有解的实数的范围为. （3）若恒成立， 则恒成立， 则或恒成立， 即或恒成立. ①当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ②当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ③当时， 解得或， 若不等式解集为， 则， 所以，解得， ④当时，解得或，解集不为（舍）， ⑤当时，解得或，解集不为（舍）， 综上所述，的取值范围是. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数（常数）. (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 设可得即，解得， 所以，即. （2）设且， ， 由可得即， 由可得，故， 又，所以， 所以即， 所以函数在上是严格增函数. （3）因为的定义域为， 当为奇函数时，由解得，所以， 检验：，满足题意， 由（2）可知当时在上是严格增函数，所以， 则原不等式可转化为存在使得不等式成立， 只需的最小值小于0即可，令 因为一元二次函数的开口向上，对称轴为， ①即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； ②当即时，当时，函数取得最小值，解得或， 所以； ③当即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； 综上的取值范围. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·阶段练习）对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． (1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【详解】（1）因为，所以是的“下位序列”. （2）因为是的“下位序列”，所以， 又均为正数， ，即， ，即， 所以. （3）由题，可得，又均为整数， 所以， ， ，对集合内的每一个正整数都成立， 所以， 所以正整数的最小值为4049. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由基本初等函数的单调性与奇偶性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，为奇函数，但在定义域不具备单调性，故A错误； 对于B，由幂函数的性质可得为奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，的定义域为，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用偶函数及单调性的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数， 若在上为严格增函数，则在上为严格减函数， 因此在上的最大值为； 若在上的最大值为，不能得到在上为严格减函数， 如函数是上的偶函数，在上的最大值为， 而在上不单调，因此不能得到在上为严格增函数， 所以“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的充分非必要条件. 故选：B 3．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 易知，函数在上单调递增， 当时，为增函数，且 则当时，为减函数，且， 所以当时，， 当时，， 则不等式等价于或， 解得或， 解得或或， 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最小值建立不等式求解. 【详解】由不等式有实数解，则有实数解， 令函数，则， 当时，； 当时，； 当时，， 因此函数取最小值为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 5．（25-26高一上·上海·期中）关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①：根据分式的意义求定义域即可；对于②：根据基本不等式可得，进而分析定点；对于③：根据对勾函数单调性以及复合函数单调性分析判断；对于④：根据题意结合对数函数单调性求最值即可. 【详解】因为， 对于①：显然，所以函数的定义域为，故①错误； 对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立. 由于只有时的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误； 对于③：当，，则， 因为在内单调递减，且在定义域内单调递减， 所以函数在区间上是严格增函数，故③正确； 对于④：因为，当且仅当时，等号成立， 若，则在定义域内单调递增， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为2. 故选：B. 二、填空题 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知函数定义域为或， 令是二次函数，对称轴为，在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在上严格增，则. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海金山·期末）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 【答案】 【分析】由对勾函数性质以及奇函数性质即可得解. 【详解】由题意知，当时，在时取到最小值， 则由奇偶性可知函数在上的最大值为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】分奇函数和偶函数两种情况来进行求解的值，即可得到结果. 【详解】若函数为奇函数，则，即，解得； 若函数为偶函数，则，即，解得， 故函数不是奇函数也不是偶函数时，的取值范围为. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题中条件可知，进一步放缩不等式，转化为恒成立问题，求解即可. 【详解】由题设在上是增函数， 则 恒成立， 于是，即． 故答案为： 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中，存在个不同的实数使得成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得到，再通过换元，得到，由，通过讨论，，，确定最大值，最小值，进而可求解； 【详解】由题意可知，当正整数的最大值为8时， ， 令， ①当，即时， 的最小值0，显然不满足； ②当时，即，， 则：； ③当，即时， . 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·期末）已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为 . 【答案】(或或其中一个即可) 【分析】根据给定条件，利用奇偶性的定义、单调性定义探讨函数的性质，进而求解不等式. 【详解】对于任意的，，恒有，令，得， 令，得，则函数是奇函数， 设任意，得，则，于是，函数在上单调递减， 由，得，解得， 而，因此或或， 取的一个整数值为. 故答案为：(或或其中一个即可) 15．（23-24高一上·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用的单调性和不等式的性质可得答案. 【详解】当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，， ， ，， 所以. 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海金山·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，即可根据分段函数的性质作出函数的图象，根据恒成立，只需，即可求解. 【详解】，由题意得，解得， 当时， 画出上的函数的图象，   是由向右平移1个单位得到， 结合图象，要想恒成立， 只需，解得 又，故， 所以a的取值范围为. 故答案为: 【点睛】方法点睛：根据恒成立求解参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数，，，，使得，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据不等式的存在性，来研究最值情况，为了使的值越大，则让取到最大值，都取到最小值，此时满足的值最大，然后考虑任意区间，从而找到的最小区间来研究，即可得解. 【详解】由， 当时，对于任意正整数有， 而存在个实数，，，，使得， 不妨取，，，，在上各任取一个值， 此时满足是最大值，都是取到最小值， 即，此时的最大值是， 由于此时成立，显然对任意正整数在区间上也一定存在个实数 ，，，，使得， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：不等式的存在性问题，往往是研究函数的最大值和最小值，而对任意的区间都成立，往往研究最小长度的区间，从而此题可得解. 三、解答题 19．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知函数 (1)函数在区间上为严格减函数，求a的取值范围； (2)函数在区间上的最大值为3，求a的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由对称轴在区间左侧可得； （2）根据对称轴与区间的关系分类讨论求解． 【详解】（1），对称轴为． 若函数在区间上为严格减函数， 则，所以a的取值范围为． （2）①若，此时函数在区间单调递增， 所以最大值为，解得或（舍去）； ②若，此时当时，函数取得最大值为，解得（均舍去）； ③若此时函数在区间上单调递减， 所以最大值为，解得或（舍去）； 综上所述，或． 20．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）由求得，再检验是否为奇函数； （2）由单调性的定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再上单调性化简，用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）函数 是定义域在R上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，故符合． （2）在上是增函数．证明如下： 设任意， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数． （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在R上的奇函数，所以对于恒成立， 又在R上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数 ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为． 21．（24-25高一上·上海·期末）设常数，． (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由; (2)设，,写出的表达式. 若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论; (3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可得出结论； （2）利用函数单调性可得结论； （3）由不等式恒成立求出函数最值，解不等式可得结果. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，且， 此时既不是奇函数也不是偶函数； （2）①． ②所取，例如等等． ． 由于，由幂函数的单调性可得， 所以，即． （3）当时，， 所以在上是严格增函数，由得恒成立. 当时，即恒成立， 化简得恒成立，由于的取值范围为，所以，可得； 由于为正整数，所以或． 若，当时，． 当时，，不成立，舍去． 若，当时，恒成立． 综上，． 22．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足， (1)求函数的表达式； (2)做出函数的大致图像，并写出函数的最值和取到最值时的值（无需说明理由）； (3)函数（）在上是严格增函数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)做图见解析，当时，，当时， (3) 【分析】（1）由以及代入计算，即可得到结果； （2）由函数解析式可得其奇偶性，然后结合基本不等式即可得到时的最值，再由函数的奇偶性即可得到时的最值，从而得到结果； （3）根据题意，结合（2）中的结论，以及复合函数的单调性，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，则，即，解得， 又，即，解得，所以. 经检验，满足，所以. （2） 因为，所以为奇函数， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，， 又是上的奇函数，则时，. （3）由（2）可知，在上单调递增， 因为，令，，则在上单调递增， 要使函数在上是严格增函数， 则在上的值域要在内， 即，解得， 即的取值范围是. 23．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 函数的基本性质 知识清单 知识点01：函数的奇偶性 1 知识点02：函数的单调性 2 知识点03：函数的最值 2 题型归纳 题型01 函数的奇偶性 3 题型02 函数的单调性 5 题型03 函数的最值 6 题型04 函数奇偶性与单调性综合 8 题型05 函数恒成立问题 10 强化训练 13 知识点01：函数的奇偶性 1.奇函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.偶函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 3.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 知识点02：函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 知识点03：函数的最值 1.图象法求函数最值的一般步骤 2.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 3.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 题型01 函数的奇偶性 【例1-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）若二次函数表达式为，则 “ ” 是 “此函数为偶函数” 的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例1-2】（25-26高一上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【例1-3】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【例1-4】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，是奇函数，则 . 【变式1-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域为上任一点满足，则以下命题真命题的个数为（   ） ①一定是偶函数   ②一定是奇函数   ③可能是非奇非偶函数 ④若值域为，则一定是奇函数   ⑤的图形可能是个封闭的圆 ⑥若为偶函数，则值域为或 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（25-26高一上·上海·期中）（1）若，函数为偶函数，求的值； （2）定义在上的函数满足：对任意，都有，求证：函数是奇函数. 题型02 函数的单调性 【例2-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）命题在上为单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，又，试写出的大小关系 . 【例2-4】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数； ②若图像经过坐标原点，解不等式． 题型03 函数的最值 【例3-1】（24-25高一上·上海青浦·开学考试）函数当 时，有最小值，最小值等于 . 【例3-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知. (1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值. 【变式3-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的最小值是 ． 【变式3-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【变式3-3】（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数（且）． (1)若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值； (2)若函数的值域为，求使得的实数的取值范围． 题型04 函数奇偶性与单调性综合 【例4-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【例4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）设为实数，已知函数为偶函数： (1)求的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明； 【例4-3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数为奇函数 (1)求：的值 (2)解关于x的不等式， 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若函数为单调函数，求实数的取值范围. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【变式4-3】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 题型05 函数恒成立问题 【例5-1】（25-26高一上·上海·阶段练习）设函数，其中. 若对任意的恒成立，（    ） A． B． C．5 D．4 【例5-2】（24-25高一上·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的表达式； (2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）； (3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【例5-3】（25-26高一上·上海·阶段练习）定义实数、间的计算法则如下：． (1)计算； (2)对的任意实数、、，判断等式是否恒成立，并说明理由； (3)对任意，恒成立，求的取值范围． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数（常数）. (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·阶段练习）对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． (1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 3．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期中）关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 7．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海金山·期末）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是 . 10．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 11．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 ． 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中，存在个不同的实数使得成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高一上·上海·期末）已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为 . 15．（23-24高一上·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 16．（24-25高一上·上海金山·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 18．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数，，，，使得，则的最大值是 . 三、解答题 19．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知函数 (1)函数在区间上为严格减函数，求a的取值范围； (2)函数在区间上的最大值为3，求a的值． 20．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 21．（24-25高一上·上海·期末）设常数，． (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由; (2)设，,写出的表达式. 若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论; (3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值． 22．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足， (1)求函数的表达式； (2)做出函数的大致图像，并写出函数的最值和取到最值时的值（无需说明理由）； (3)函数（）在上是严格增函数，求的取值范围． 23．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $