广东东莞市寮步镇香市中学2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试题

东莞市寮步香市中学 2026-2027学年（上）八年级数学期中考试 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（） 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A．2，2，4 B．4，4，7 C．6，7，15 D．2，5，8 3． 下列命题的逆命题正确的是（） A． 等边三角形是锐角三角形 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．如果a=b，那么a²=b² 4．在直角坐标系中，点M(3，-3)关于x轴对称的点是（） A．(3，-3) B．(3，3) C．(-3，3) D．(-3，-3) 5．如图，△ABC≌△A'B'C，∠ACB=90°，∠A'CB=20°，则∠BCB'的度数为（） A．20° B．40° C．70° D．90° 6． 如图，已知AB=AD，请你添加一个条件使△ABC≌△ADE，请问添加下列哪个条件不能判断△ABC≌△ADE的是（） A． BC=DE B．AC=AE C．∠B=∠D D．∠ACB=∠AED 7．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（） A． SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7． 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，若∠CBD=55°，则∠ABE为（） A．20° B．35° C．40° D．50° 8． 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（） A．6 B．7 C．8 D．9 9． 如图，AD是△ABC的中线，DE=DF，下列说法：①CE=BF；②∠BAF=∠CAF；③△ABD和△ACD面积相等；④BF∥CE；⑤△BDF≌△CDE．其中正确的有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（共7小题，每小题4分） 11．如图，为了不使相框变形，在相框上钉上1根木条，这是∵三角形具有________性． 12． 如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是________． 13． 图中x的值为________． 14．已知点A(a，3)与点B(2，b)关于y轴对称，则a+b=________． 15．等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为________． 16．如图，AD，AE分别是△ABC的中线，高线，已知△ABD的面积是8，AE=4，则BC的长是________． 17． 如图AB=4cm，∠A=∠B=60°，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动（P运动到点B停止运动），同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s)．若△ACP与△BPQ全等，则x的值为________． 三、解答题（共3小题，每小题6分） 18．已知AB=DE，AB∥DE，点C在AF上，且满足AD=CF，求证：∠B=∠E． 18． 如图，点C是线段AB的中点，两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地，DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B．求证：AD=BE． 19． 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A(-3，2)、B(-4，-3)、C(-1，-1)均在格点上． （1） 画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁； （2）分别写出点A₁，B₁，C₁的坐标； 四、解答题（共3小题，每小题8分） 21．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF． 22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°． （1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线，分别交BC于点D，交AB于点E；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接AD，如果AC=5cm，BC=7cm，求△ACD的周长． 23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30° （1）求∠BAE的度数，求∠DAE的度数； （2）探究：小明认为如果只知道∠B−∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 五、解答题（共2小题，每小题10分） 24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系（不用证明）； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD−BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 25．【问题背景】∠MON=90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）． 【问题思考】 （1）如图(1)所示，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，∠AEB=________ （2） 如图（2）所示，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO=70°，则∠D=________； ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． 【问题拓展】 （3）在图（2）的基础上，如果∠MON=α，其余条件不变，随着点A，B的运动[如图（3）所示]，求∠D的度数．（用含α的代数式表示） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $东莞市寮步香市中学 2026-2027学年（上）八年级数学期中考试 参考答案 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 答案：A 解析： 轴对称图形是指沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形。观察四个图案： · 图案A：具有左右对称轴，沿竖直中线对折后两边完全重合，是轴对称图形。 · 图案B：为单一的卷曲线条，不具备对称性，不是轴对称图形。 · 图案C：呈树枝状分叉结构，不具备对称性，不是轴对称图形。 · 图案D：为复杂的螺旋组合图案，不具备对称性，不是轴对称图形。 因此，属于轴对称图形的是图案A，选A。 2. 答案：B 解析： 根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。 · A选项：2 + 2 = 4，不满足两边之和大于第三边（等于第三边），不能组成三角形。 · B选项：4 + 4 = 8 > 7，4 + 7 = 11 > 4，4 + 7 = 11 > 4，满足条件，能组成三角形。 · C选项：6 + 7 = 13 < 15，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。 · D选项：2 + 5 = 7 < 8，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。 因此选B。 3. 答案：B 解析： 写出各命题的逆命题并判断真假： · A的逆命题：“锐角三角形是等边三角形”——假命题（如三个角分别为50°、60°、70°的三角形是锐角三角形但不是等边三角形）。 · B的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”——真命题（若两个锐角之和为90°，则第三个角为180°-90°=90°，是直角三角形）。 · C的逆命题：“对应角相等的三角形是全等三角形”——假命题（对应角相等只能说明三角形相似，不一定全等）。 · D的逆命题：“如果a²=b²，那么a=b”——假命题（当a=-b时，a²=b²也成立）。 4.答案：B 解析： 关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变相反数。即点(x, y)关于x轴对称的点为(x, -y)。 点M(3, -3)关于x轴对称的点为(3, -(-3)) = (3, 3)。 因此选B。 5. 答案：C 解析： ∵△ABC≌△A’B’C，∴对应角相等，即∠A’CB’ = ∠ACB = 90°。 由图可知，∠BCB’ = ∠A’CB’ - ∠A’CB = 90° - 20° = 70°。 （也可以从旋转角度理解：△ABC绕点C旋转到△A’B’C的位置，旋转角为∠ACA’ = ∠ACB - ∠A’CB = 90° - 20° = 70°，而∠BCB’也等于旋转角，∴∠BCB’ = 70°。） 因此选C。 A. BC=DE B. AC=AE C. ∠B=∠D D. ∠ACB=∠AED 6.答案：A 解析： 已知AB=AD，且∠A为公共角（∠BAC = ∠DAE）。 · A选项：添加BC=DE，则有AB=AD，BC=DE，∠A=∠A，这是”边边角”(SSA)的情况，不能判定三角形全等。 · B选项：添加AC=AE，则有AB=AD，∠A=∠A，AC=AE，满足”SAS”（边角边），可以判定全等。 · C选项：添加∠B=∠D，则有则有∠A=∠A，AB=AD，∠B=∠D，满足”ASA”（角边角），可以判定全等。 · D选项：添加∠ACB=∠AED，则有∠A=∠A，∠ACB=∠AED，AB=AD，满足”AAS”（角角边），可以判定全等。 因此不能判断全等的条件是A，选A。 7.答案：B 解析： ∵O是AA’和BB’的中点，∴OA=OA’，OB=OB’。 又∵∠AOB和∠A’OB’是对顶角，∴∠AOB = ∠A’OB’。 在△OAB和△OA’B’中： - OA = OA’（O是中点） ， ∠AOB = ∠A’OB’（对顶角相等） ， OB = OB’（O是中点） 满足”SAS”（边角边）判定条件，∴△OAB≌△OA’B’。 因此选B。 8.答案：B 解析： 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等： · 沿BE折叠：∠ABE = ∠A’BE（设为x） · 沿BD折叠：∠CBD = ∠C’BD = 55°（设为y） ∵纸片的原上边是一条直线，∴折叠前的平角为180°。折叠后，折叠边重合，有： ∠ABE + ∠EBA’ + ∠A’BC’ + ∠C’BD + ∠DBC = 180° 由于折叠后A’和C’落在同一条射线上（即折叠边重合），∴： 2∠ABE + 2∠CBD = 180° 2x + 2×55° = 180° 2x + 110° = 180° 2x = 70° x = 35° ∴∠ABE = 35°。 因此选B。 9.答案：B 解析： ∵AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 过点D作DF⊥AC于点F，则DF = DE = 4。 S△ABC = S△ABD + S△ACD S△ABD = × AB × DE = × 9 × 4 = 18 S△ACD = × AC × DF = × AC × 4 = 2AC ∴32 = 18 + 2AC 2AC = 14 AC = 7 因此选B。 10.答案：B 解析： ∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC。 又∵DE=DF，且∠BDF和∠CDE是对顶角，∴∠BDF = ∠CDE。 在△BDF和△CDE中， BD = DC（AD是中线），∠BDF = ∠CDE（对顶角相等），DF = DE（已知） ∴△BDF≌△CDE（SAS），故⑤正确。 由△BDF≌△CDE可得： - BF = CE（对应边相等），故①正确。 - ∠DBF = ∠DCE（对应角相等），∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行），故④正确。 ③∵AD是中线，BD=DC，且△ABD和△ACD的高相同（从A到BC的距离），∴S△ABD = S△ACD，故③正确。 ②∠BAF=∠CAF意味着AF平分∠BAC，但AD只是中线，不一定是角平分线，∴②不一定正确。 综上，正确的有①③④⑤共4个。 因此选B。 二、填空题（共7小题，每小题4分） 11.答案：稳定 解析： 三角形具有稳定性，即三角形的三边确定后，其形状和大小就唯一确定了，不会发生改变。而四边形不具有稳定性，容易变形。在相框上钉一根木条后，将四边形分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性来防止相框变形。 12.答案：72° 解析： 左边的三角形中，三边分别标注为a、c、b，其中左下角（边a与边b的夹角）为58°，右下角（边c与边b的夹角）为72°，顶角为180°-58°-72°=50°。 右边的三角形三边也分别为a、c、b（但排列位置不同）：左边为c，右边为a，底边为b。∠α位于左下角（边c与边b的夹角）。 ∵两个三角形全等（三边对应相等，SSS），∴对应角相等。在左边三角形中，边c与边b的夹角为72°（右下角），因此在右边三角形中，边c与边b的夹角∠α也等于72°。 13.答案：70 解析： 根据三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 由图可知，三角形的一个外角为2x°，与它不相邻的两个内角分别为x°和70°。 ∴2x = x + 70 解得x = 70 验证：当x=70时，三个内角分别为70°、70°、40°，和为180°，符合三角形内角和定理。 14.答案：1 解析： 关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。即点(x, y)关于y轴对称的点为(-x, y)。 点A(a, 3)关于y轴对称的点为(-a, 3)。 ∵点A与点B(2, b)关于y轴对称，∴： -a = 2，解得a = -2 b = 3 ∴a + b = -2 + 3 = 1。 15.答案：15 解析： 等腰三角形的两边长为3和6，需要分两种情况讨论： · 情况一：腰长为3，底边长为6。此时三边为3、3、6。但3+3=6，不满足三角形三边关系（两边之和必须大于第三边），不能组成三角形。 · 情况二：腰长为6，底边长为3。此时三边为6、6、3。6+6=12>3，6+3=9>6，满足三角形三边关系，能组成三角形。 周长 = 6 + 6 + 3 = 15。 16.答案：8 解析： ∵AD是△ABC的中线，∴BD = DC，即D是BC的中点。 ∵AE是△ABC的高线，∴AE⊥BC，AE = 4。 S△ABD = × BD × AE = 8 × BD × 4 = 8 2 × BD = 8 BD = 4 ∵D是BC的中点，∴BC = 2 × BD = 2 × 4 = 8。 17.答案：1或 解析： 点P从A向B运动，AP = t cm，BP = AB - AP = (4-t) cm。 点Q从B向D运动，BQ = xt cm。 已知AC = 3cm，BD = 3cm，∠A = ∠B = 60°。 要使△ACP与△BPQ全等，需要分两种情况讨论（∵题目未指定对应顶点顺序）： 情况一： △ACP ≌ △BPQ（对应关系：A→B，C→P，P→Q） 此时需要：AC = BP 且 AP = BQ AC = BP → 3 = 4 - t → t = 1 AP = BQ → t = xt → 1 = x × 1 → x = 1 验证：当t=1时，AP=1，BP=3，BQ=1，AC=3，∠A=∠B=60°。由SAS可证△ACP≌△BPQ。此时Q运动距离BQ=1≤BD=3，符合条件。 情况二： △ACP ≌ △BQP（对应关系：A→B，C→Q，P→P） 此时需要：AC = BQ 且 AP = BP AP = BP → t = 4 - t → t = 2 AC = BQ → 3 = x × 2 → x = 验证：当t=2时，AP=2，BP=2，BQ=3，AC=3，∠A=∠B=60°。由SAS可证△ACP≌△BQP。此时Q运动距离BQ=3=BD，Q到达D点，符合条件。 综上所述，x的值为1或。 三、解答题（共3小题，每小题6分） 18.证明： ∵AB∥DE，∴∠BAC = ∠EDF（两直线平行，同位角相等）。 ∵点A、D、C、F在同一直线上，且AD = CF， ∴AD + DC = CF + DC，即AC = DF。 在△ABC和△DEF中：AB = DE ，∠BAC = ∠EDF ， AC = DF ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 ∴∠B = ∠E。 19.证明： ∵两人从点C同时出发，以相同的速度行走，并同时到达D、E两地， ∴CD = CE（速度相同、时间相同，路程相等）。 ∵点C是线段AB的中点，∴AC = CB。 ∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠DAC = ∠EBC = 90°。 在Rt△DAC和Rt△EBC中：CD = CE， AC = CB ∴Rt△DAC≌Rt△EBC（HL）。 因此AD = BE。 20.解答： 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求。 （2）根据y轴对称的点的坐标规律：横坐标变相反数，纵坐标不变。即点(x, y)关于y轴对称的点为(-x, y)。∴ A(-3, 2)关于y轴对称 → A₁(3, 2) ， B(-4, -3)关于y轴对称 → B₁(4, -3) -，C(-1, -1)关于y轴对称 → C₁(1, -1) ∴A₁(3, 2)，B₁(4, -3)，C₁(1, -1)。 四、解答题（共3小题，每小题8分） 21. 证明： ∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴PD = PE。 在Rt△ODP和Rt△OEP中： - OP = OP（公共边） - PD = PE（已证） ∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）。 因此OD = OE（全等三角形的对应边相等）。 在△ODF和△OEF中： - OD = OE，，∠DOF = ∠EOF， OF = OF， ∴△ODF≌△OEF（SAS）。 ∴DF = EF。 22.解：（1）如图，即为所求 尺规作图步骤：分别以A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即为AB的垂直平分线，该线交BC于点D，交AB于点E。 （2）∵DE是线段AB的垂直平分线，D在DE上， 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴DA = DB。 △ACD的周长 = AC + CD + DA = AC + CD + DB = AC + (CD + DB) = AC + BC = 5 + 7 = 12(cm) ∴△ACD的周长为12cm。 23.解：（1）在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°。 ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE = ∠BAC/2 = 80°/2 = 40°。 ∵AD⊥BC，∴∠ADB = 90°。 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 70° = 20°。 ∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 40° - 20° = 20°。 （2） 可以。 解：在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C。 ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE = ∠BAC/2 = (180° - ∠B - ∠C)/2 = 90° - (∠B + ∠C)/2。 ∵AD⊥BC，∴∠ADB = 90°。 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠B。 ∴∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = [90°- - (∠B + ∠C)] - [90° - ∠B] = ∠B - (∠B + ∠C) = (∠B - ∠C)。 当∠B - ∠C = 40°时，∠DAE = 40°÷2 = 20°。 ∴即使只知道∠B - ∠C = 40°，也能得出∠DAE = 20°。 五、解答题（共2小题，每小题10分） 24. 解：（1） DE = AD + BE （2）证明： ∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC = ∠CEB = 90°。 ∵∠ACB = 90°，∴∠ACD + ∠BCE = 90°。 又∵在Rt△ACD中，∠ACD + ∠CAD = 90°， ∴∠CAD = ∠BCE。 在△ACD和△CBE中： - ∠ADC = ∠CEB = 90° - ∠CAD = ∠BCE（已证） - AC = BC（已知） ∴△ACD≌△CBE（AAS）。 因此AD = CE，CD = BE。 由图2可知，DE = CE - CD = AD - BE。 ∴DE = AD - BE。 （3） DE = BE - AD 证明：同理可证△ACD≌△CBE（AAS）， 因此AD = CE，CD = BE。 由图3可知，DE = CD - CE = BE - AD。 ∴DE = BE - AD。 25.答案： （1） ∠AEB = 135° 解：在△AOB中，∠AOB = 90°，∴∠OAB + ∠OBA = 90°。 ∵AE平分∠BAO，∴∠BAE = ∠BAO/2。 ∵BE平分∠ABO，∴∠ABE = ∠ABO/2。 在△AEB中： ∠AEB = 180° - ∠BAE - ∠ABE = 180° - ∠BAO - ∠ABO/2 = 180° - (∠BAO + ∠ABO) = 180° - ×90° = 180° - 45° = 135°。 （2）① ∠D = 45° 解：∵∠BAO = 70°，在Rt△AOB中，∠ABO = 90° - 70° = 20°。 ∠ABN是△AOB的外角，∠ABN = 180° - ∠ABO = 180° - 20° = 160°。 ∵BC平分∠ABN，∴∠ABC = ∠ABN = ×160° = 80°。 ∵AD平分∠OAB，∴∠DAB = ∠OAB/2 = × 70° = 35°。 在△ABD中，∠ABD = 180° - ∠ABC = 180° - 80° = 100°（∵D在BC的反向延长线上）。 ∴∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - 35° - 100° = 45°。 （2）② ∠D的大小不会变，∠D = 45°。 证明：设∠BAO = 2β（则AD平分∠OAB，∠DAB = β）。 在△AOB中，∠AOB = 90°，∴∠ABO = 90° - 2β。 ∠ABN = 180° - ∠ABO = 180° - (90° - 2β) = 90° + 2β（外角）。 ∵BC平分∠ABN，∴∠ABC = ×(90° + 2β) = 45° + β。 ∵D在BC的反向延长线上，∴∠ABD = 180° - ∠ABC = 180° - (45° + β) = 135° - β。 在△ABD中，∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - β - (135° - β) = 180° - β - 135° + β = 45°。 ∴无论A、B如何运动，∠D始终等于45°，不会改变。 （3） 当∠MON = α时： 设∠BAO = 2β（则AD平分∠OAB，∠DAB = β）。 在△AOB中，∠AOB = α，∴∠ABO = 180° - α - 2β。 ∠ABN = 180° - ∠ABO = 180° - (180° - α - 2β) = α + 2β（外角）。 ∵BC平分∠ABN，∴∠ABC = (α + 2β) = α + β。 ∵D在BC的反向延长线上，∴∠ABD = 180° - ∠ABC = 180° - ( α + β) = 180° - α - β。 在△ABD中，∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - β - (180° - α - β) = 180° - β - 180° + α + β = α 。 ∴当∠MON = α时，∠D = α 。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $