专题4.4 数学归纳法（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题4.4 数学归纳法 教学目标 1. 能够准确理解数学归纳法的原理，熟记数学归纳法证明的两个步骤，掌握数学归纳法的书写规范；能利用数学归纳法证明简单的与正整数n有关的命题。 2. 通过实例探究、多米诺骨牌模型抽象出数学归纳法原理的过程，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养；借助证明命题的训练，提升严谨推理论证与规范书写证明过程的能力，体会递推的数学思想。 3. 感受数学归纳法 “奠基 + 递推” 两步证明的严谨性，体会有限步骤证明无限命题的数学价值；通过情境例题，激发自主探究的兴趣，养成严谨、有序的逻辑思维习惯 4. 能够运用数学归纳法解决基础证明题、辨析判断题；初步学会用数学归纳法证明数列相关等式、简单不等式。 教学重难点 1. 重点 数学归纳法的原理；数学归纳法证明命题的两个步骤（归纳奠基、归纳递推）；用数学归纳法证明简单的与正整数n有关的命题，证明过程的规范书写。 2. 难点 理解数学归纳法中两个步骤各自的作用以及二者缺一不可；理解归纳递推步骤中，由n=k成立推证n=k+1成立的递推本质；在递推证明过程中，找准n=k与n=k+1之间的联系，合理使用归纳假设。 知识点01 数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 【即学即练】 1．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 知识点02 运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 【即学即练】 1．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 知识点03 用数学归纳法证题的类型 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 【即学即练】 1．用数学归纳法证明：能被整除． 题型01 对数学归纳法的理解 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 【典例1】类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（      ） A． B． C． D． 【变式1】在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【变式2】（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 题型02 数学归纳法证明恒等式 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【典例1】是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 【变式1】设是定义在上的增函数，且，求证：． 【变式2】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 题型03 用数学归纳法证明整除性问题 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【典例1】用数学归纳法证明：能被64整除． 【变式1】用数学归纳法证明：能被整除（） 【变式2】将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 题型04 数学归纳法证明几何问题 抓增量！看从 n=k 到 n=k+1，新增了多少个几何元素、增加多少数量，这是几何归纳题最关键的一步 【典例1】平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________. 【变式2】已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 题型05 数学归纳法证明数列问题 数列类数学归纳法，重点抓住归纳假设n=k时的式子，结合题目给的递推关系式，去推n=k+1成立。两步核心：奠基验证 + 利用递推式 + 归纳假设完成递推 【典例1】已知数列满足，． (1)求证：； (2)记， （i）求证：； （ii）求证：对任意实数，存在正整数s使得． 【变式1】用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式2】首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 1．如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 2．若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 3．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 4．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明时，从到左边需要添加的因式是________． 6．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________． 7．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为______． 8．已知，，，若，则______. 9．已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 10．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 1．下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 2．数列满足，则的前60项的和为（   ） A． B． C． D． 3．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 4．已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前项和； ④数列每一项都满足成立. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 5．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 6．请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 7．已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 8．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 9．数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 10．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是正项等比数列，，，，是和的等比中项. (1)求.和的通项公式. (2)求的前项和. (3)设，求证：. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 数学归纳法 教学目标 1. 能够准确理解数学归纳法的原理，熟记数学归纳法证明的两个步骤，掌握数学归纳法的书写规范；能利用数学归纳法证明简单的与正整数n有关的命题。 2. 通过实例探究、多米诺骨牌模型抽象出数学归纳法原理的过程，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养；借助证明命题的训练，提升严谨推理论证与规范书写证明过程的能力，体会递推的数学思想。 3. 感受数学归纳法 “奠基 + 递推” 两步证明的严谨性，体会有限步骤证明无限命题的数学价值；通过情境例题，激发自主探究的兴趣，养成严谨、有序的逻辑思维习惯 4. 能够运用数学归纳法解决基础证明题、辨析判断题；初步学会用数学归纳法证明数列相关等式、简单不等式。 教学重难点 1. 重点 数学归纳法的原理；数学归纳法证明命题的两个步骤（归纳奠基、归纳递推）；用数学归纳法证明简单的与正整数n有关的命题，证明过程的规范书写。 2. 难点 理解数学归纳法中两个步骤各自的作用以及二者缺一不可；理解归纳递推步骤中，由n=k成立推证n=k+1成立的递推本质；在递推证明过程中，找准n=k与n=k+1之间的联系，合理使用归纳假设。 知识点01 数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 【即学即练】 1．已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2) 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）略 知识点02 运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 【即学即练】 1．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明： ①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）略 知识点03 用数学归纳法证题的类型 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 【即学即练】 1．用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】 ①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【详解】略 题型01 对数学归纳法的理解 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 【典例1】类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， ， ，令， ， 当时，系数为； 当时，系数为； 当时，系数为， 对任意，有， 与选项A一致，故A正确． 【变式1】在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 【变式2】（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【答案】AC 【详解】A选项，当时，等式只有一项，所以命题左边为1，所以A选项错误； B选项，当时，等式左边为，所以B选项正确； C选项，当时，等式左边为， 所以在的基础上增加的部分是，所以C选项错误，D选项正确. 题型02 数学归纳法证明恒等式 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【典例1】是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 【答案】存在，证明如下： 取，，联立得，即，解得； 下用数学归纳法证明． （i）当时，命题成立； （ii）假设时命题成立，即 ， 则当时， 左边 ，即时命题成立． 综上，命题得证，存在常数，使命题成立． 【详解】存在，证明略. 【变式1】设是定义在上的增函数，且，求证：． 【答案】 令，得，显然， 设时，成立， 那么时， ． 故对一切正整数，． 【详解】略 【变式2】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】 当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【详解】略 题型03 用数学归纳法证明整除性问题 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【典例1】用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】 （i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【详解】略 【变式1】用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】 当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 【详解】略 【变式2】将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 【答案】(1) (2)证明：当时，，能够被3整除； 假设当时，能被3整除，则有,所以， 则当时，，所以当时能被3整除. 综上所述，对一切，能被3整除. 【详解】（1）若选①： 因为 所以， 两式相减得， 所以是隔项等差数列， 且， 所以为奇数， 为偶数， 所以. 若选②：， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 若选③： 因为①， 所以②， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以的通项公式. （2）略. 题型04 数学归纳法证明几何问题 抓增量！看从 n=k 到 n=k+1，新增了多少个几何元素、增加多少数量，这是几何归纳题最关键的一步 【典例1】平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此． 故选：B． 【变式1】用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________. 【答案】k＋1 【详解】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 【变式2】已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【答案】，证明如下： 设这些圆将平面分成的区域数为， ，，，， 猜想. 数学归纳法证明如下： （1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立； （2）假设当 （）时，结论成立， 即 个圆将平面分为的区域数为：. 考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交， 由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异. 因此，第 个圆上共有 个交点， 【详解】，证明略. 题型05 数学归纳法证明数列问题 数列类数学归纳法，重点抓住归纳假设n=k时的式子，结合题目给的递推关系式，去推n=k+1成立。两步核心：奠基验证 + 利用递推式 + 归纳假设完成递推 【典例1】已知数列满足，． (1)求证：； (2)记， （i）求证：； （ii）求证：对任意实数，存在正整数s使得． 【答案】(1)由，得， 而时，若且时，必有， 所以对任意，都有 (2)（i）因为，所以，即， 于是，显然， 若且时，则， 综上，，即对任意，都有. （ii）由（i）知，于是， 因此，当时，， 对任意实数，只要取正整数足够大，使得，就有，故结论成立. 【详解】（1）略 （2）（i）略，（ii）略 【变式1】用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【详解】（1）略. （2）略. 【变式2】首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． (2) 证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． (3)或 【详解】（1）略 （2）略 （3）解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． 1．如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出均成立， 即对所有正偶数都成立. 2．若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 3．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立， 所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾， 所以当时命题不成立. 4．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 5．用数学归纳法证明时，从到左边需要添加的因式是________． 【答案】 【详解】当时，左端为：， 当时，左端为：， 由到需添加的因式为：． 6．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为__________． 【答案】 【详解】当时，. 故答案为： 7．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为______． 【答案】 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 8．已知，，，若，则______. 【答案】10 【详解】由题意得， 因为，所以，结合， 可得，解得或（舍去）. 故答案为：10. 9．已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 【答案】 计算得，，，，…，猜测数列的通项公式为，用数学归纳法证明： 证明：（i）当时，符合上述公式； （ii）假设当（为正整数）时，有， 则当时，，符合上述公式. 由（i）（ii）可知，（为正整数）. 【详解】略 10．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 【答案】(1) ，. 猜测，下面用数学归纳法证明： 当时，由知结论成立； 假设结论对成立，即，则，故结论对成立. 综上，有成立. (2) 【详解】（1）略 （2）设数列的前项和为，则. 所以. 故. 1．下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 2．数列满足，则的前60项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，有，则的前60项和 . 故选：C. 3．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 4．已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前项和； ④数列每一项都满足成立. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】对①：，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，； 综上，，正确； 对②：，故数列是递减数列，正确； 对③：，，，，，错误； 对④：当时，成立， 假设时成立，即， 当时，函数在上单调递增， 则， 故时成立. 综上所述：数列每一项都满足成立，正确. 故选：D. 5．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 【答案】 【详解】， ， ， 则比多了项． 6．请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 7．已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【详解】对于①，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故①正确； 对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确； 对于③，，，，， ，故③错误； 对于④，，所以， 累加得，所以，， 所以，又，故成立，④正确． 故答案为：①②④. 8．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 【答案】 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 9．数列中，是数列的前项和，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)已知， （Ⅰ）若，求数列的前n项和； （Ⅱ）若在和之间插入的前项，得到新数列，且的前项和为，求时，的最小值． 【答案】(1)法一：当时， ，，， ， ， ， ， 是常数列，设该常数为k，则，， ，也符合上式，因此是等差数列． 法二： ， ， ， ①， 又， ②， ②-①， 则数列是等差数列. 法三： 当时，解得， 当时，， 即， ，，，成等差数列， 猜想，. （ⅰ）时，，，成等差数列，猜想显然正确. （ⅱ）假设时猜想正确， 即，， 则当时，， ， ， ， ，， ， 时，猜想也正确； 综上所述，，对都成立. 是等差数列. (2)（Ⅰ）（Ⅱ）54 【详解】（1）略. （2）（Ⅰ），，， 设数列的前n项和为， ③， ④， 所以③-④得， ， 所以. （Ⅱ）新数列为：，，，，，，…，，，，…，，…， 将此数列分成若干组，，为第一组；，，为第二组；……，，，…，为第k组， 与之间的k项数列的和为：， 可得数列取到后的第k项时：. 前k组之和为： ， 显然随k的增大而增大， 当时，，， ，第44项再往后取m项，使m项的和大于978， 即：， ，当时，，时，， ，有最小值为54． 10．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是正项等比数列，，，，是和的等比中项. (1)求.和的通项公式. (2)求的前项和. (3)设，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)因为， 所以 ，而设， 两式错位相减即可求得，可得 所以， 则原不等式得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 因为，由题意得， 因为，，所以， 因为数列是正项等比数列，所以，所以. （2）由（1）得， 则，， 故， 所以. （3）略 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $