第四章 数列（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 数列的最大（小）项 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【解答过程】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B. 4．（25-26高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【答案】 【解题思路】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【解答过程】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 5．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项，. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和得解； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【解答过程】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以 . （3）由（2）可得， 则， 令，得， 所以当时，， 令，得，所以当时，， 即， 所以数列的最大项为. 题型2 等差数列的判定与证明 6．（2026·辽宁·模拟预测）“数列满足”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的定义，以及充分不必要条件的概念，判断结果. 【解答过程】由，可得， 当时，可得，由等差数列定义可知数列是以为公差的等差数列， 当为等差数列且公差为时，不满足， 所以“数列满足”是“为等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 8．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：成等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【解答过程】当是等差数列时，设该等差数列的公差为， ， 因为， ， 所以， 所以成等差数列； 当成等差数列时， 假设， 因为， 所以成等差数列，但是显然不是等差数列， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 9．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可． 【解答过程】（1）证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）得，故， 故， ，   两式相减，得 ， 因此． 10．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数即可证明； （2）由（1）得到的通项公式，再利用累加法求出的通项公式； （3）先对进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式. 【解答过程】（1）证明：已知，移项可得， 则， 当时，， 因为（常数），且首项， 所以是以4为首项，4为公差的等差数列； （2）由（1）可知是以4为首项，4为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得， 当时，， 将代入上式可得：， ， 当时，，上式也成立. 所以数列的通项公式为. （3）证明：因为， 所以. 当时，，不等式成立； 当时，， ， 所以. 题型3 等差数列的前n项和及其最值 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【解答过程】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以 ． 故选：A． 12．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用等差数列性质与前n项和公式，推导关键项的符号，再分析数列项的正负变化，判断数列的增减性，最后结合前n项和的变化规律，确定最大值即可. 【解答过程】因为为等差数列， 由，根据性质得， 由，代入前项和公式： ，因此， 所以，所以等差数列是递减数列，前7项为正，从第8项开始为负， 所以时，的最大值为. 故选：C. 13．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知等差数列，其前项和为，若，则__________. 【答案】9 【解题思路】利用等差数列的性质求出的值，再结合等差数列前项和公式计算. 【解答过程】在等差数列中，，解得， 所以. 故答案为：9. 14．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【解题思路】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 15．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)25 (3) 【解题思路】（1）根据题意结合等差数列通项公式和求和公式可得，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而分析最值； （3）分和两种情况，讨论的符号，结合运算求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 当时，取到最大值为25． （3）由（1）可知：， 时，当时， 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 题型4 等比数列的判定与证明 16．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用特例判断A、B、D，再由等比数列的定义及性质判断C. 【解答过程】若的公比为，此时、均是常数数列且为0，但不是等比数列，B、D错， 若的公比为，此时是常数数列且为0，不是等比数列，A错， 若的公比为，，且， 则是首项为，公比为的等比数列，C对. 故选：C. 17．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的定义判断即可. 【解答过程】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 故选：C. 18．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的定义判断即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 19．（25-26高二下·广东江门·期中）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由数列的前项和，结合与的关系，求得，进而得到，即可得证； （2）由（1）求得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为数列的前项和， 当时，可得，   当时，可得，   经检验当时也成立，所以， 则，且， 所以数列是首项为，公比为等比数列． （2）由（1）知：，可得， 所以，   则，   两式相减，可得，   即 ． 20．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大项为 【解题思路】（1）由可得，配凑后可证为等比数列； （2）根据数列的单调性可求数列的最大项； 【解答过程】（1）证明：①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由， 解得，单调递增；当，单调递减； 所以， 所以数列的最大项为 题型5 等比数列的前n项和及其最值 21．（25-26高三上·江苏南通·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 22．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 23．（2026·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【解题思路】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值. 【解答过程】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D 24．（25-26高三上·山东·阶段检测）设等比数列的前项和为，公比，若，则___________． 【答案】 【解题思路】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列求和公式求解即可. 【解答过程】因为数列是等比数列，所以，， 所以是方程的两根，所以或， 所以公比或，所以或， 又，所以，所以 所以. 故答案为：. 25．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前 项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用等比数列的通项公式和前 项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前 项和即可证明. 【解答过程】（1）由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. （2）证明：，， ， 因为，所以， 从而. 题型6 等差、等比数列的综合应用 26．（26-27高三上·河北邯郸·阶段检测）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，分析可知，由已知条件求出的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列， 这与矛盾，故， 根据题意得，则，解得或（舍）. 则. 故选：A. 27．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知递增的等比数列的前项和为，若是与的等差中项，则（    ） A．21 B．21或57 C．21或75 D．57 【答案】A 【解题思路】由题意列方程求得等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解答过程】设等比数列的公比为q， 由是与的等差中项，得， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，此时等比数列是递减数列，不合题意； 故，，则， 故选：A. 28．（2026高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于__________. 【答案】 【解题思路】通过等比数列项的运算关系与等差中项的性质，建立首项与公比的方程，求解得首项和公比后，代入等比数列前项和公式计算. 【解答过程】设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得. 代入，得. 前5项和. 故答案为：31. 29．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 【解答过程】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 30．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据等差数列基本量的运算求解数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的性质，根据等比数列基本量的运算即可求解数列的通项公式； （2）结合等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为q（）， 由题意，和，得，则， 故数列的通项公式为． 由题意是和的等差中项，是和的等比中项，得， 由，，，得，则， 由且，得，故数列的通项公式为. （2）由题意和（1），得，，…，构成了首项为，公差为的等差数列， ，，…，构成了首项为，公比为的等比数列， 记数列的前n项和为， 则 . 题型7 数列求和 31．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据条件求解出的通项公式，再利用构造法求解出的通项公式，最后根据错位相减法求解出. 【解答过程】设的公差为，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以且，所以是首项为公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 32．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 33．（2026·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则___________. 【答案】 【解题思路】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【解答过程】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. 34．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【解答过程】（1）设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. （2）由题意得， 则 . 35．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可； （2）根据分组求和法，结合等差数列及等比数列的求和公式求解； （3）根据错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）令的公比为，则，令的公差为， 由，整理，解得，或（舍去）， 故， 又由可得， 即，解得， 故； （2） ∴ ； （3）由（1）可得， 则① ② ①-②，得， 所以. 题型8 数列不等式恒（能）成立问题 36．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【解答过程】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 37．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用，分的奇偶讨论，求出通项公式，再利用通项的函数单调性求出最值进行求解． 【解答过程】因为，得. 当时， ①. 当为偶数时，①式为，即， 所以（为正奇数）. 当为奇数时，①式为， 即， 所以（为正偶数）. 函数（为正奇数）为减函数，最大值为， 函数（为正偶数）为增函数，最小值为， 若实数满足恒成立，则，即. 故选：A. 38．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】先代入转化不等式，针对分奇偶讨论符号，然后分别求奇偶项对应数列的最值，确定的上下限，最后取两种情况的交集，得到的最终取值范围. 【解答过程】首先，将代入不等式右边，得，原不等式化为 对任意正整数均成立，分奇偶讨论： 当为奇数时，，不等式变为，需小于等于所有奇数项的最小值， 通过计算（对所有），知严格递增， 故奇数项最小值为，即， 当为偶数时，，不等式变为，即， 需大于等于所有偶数项的最大值，因严格递增， 偶数项最小值为，故最大值为，即， 综上，需同时满足上述两个条件，故取值范围为两者的交集，即. 故答案为：. 39．（25-26高二上·四川德阳·期末）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前项和公式、通项公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可； （ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ， 所以数列的通项公式. （2）（ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. ， ， 两式相减，得 ； （ⅱ）， 因为 所以，所以数列是单调递增数列， 所以数列的最小项为， 要想对恒成立， 只需， 所以参数的取值范围为. 40．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【解答过程】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 题型9 数列不等式的证明 41．（25-26高二上·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）直接计算等差数列的基本量，从而可得通项公式； （2）直接用裂项求和法可得前n项和，进而可证不等式. 【解答过程】（1）因为等差数列中，，，所以，解得：   所以. （2）证明：由（1）知，.   所以 ，   化简得：，由于，所以. 故可得. 42．（2026高二·全国·专题练习）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）证明：由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 43．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据已知条件得出相应的方程解出与，然后利用等差数列通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和为，然后根据结果分析即可得证. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，① ，② 联立①②解得：， 所以的通项公式. （2）证明：因为， 所以， ， 因为，所以， 即证得. 44．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）已知数列中，.设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和，并证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析 【解题思路】（1）由题意化简，由等比数列的定义得出结论； （2）由（1）得到，然后得到并整理，通过裂项相消求得其前项和.由表达式可直接得到其最大值，然后通过得到数列单调性得到其最小值，即可得证. 【解答过程】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2），证明如下： 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵， ∴是递增数列. 综上得证. 45．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，所以． （3）证明：由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以. 题型10 数列与其他知识交汇 46．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 【答案】A 【解题思路】首先求数列的通项公式，再结合题意，可知是满足的正整数的个数，再利用列举的方法，即可求解，再求和. 【解答过程】设数列的首项为，， 由可知，，，所以， 所以， 由，得，且，所以是满足的正整数的个数， 当时，不存在，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 所以数列的前100项的和为. 故选：A. 47．（25-26高三上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 【答案】C 【解题思路】根据题意，由与相外切，得到，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解. 【解答过程】因为与相外切，所以， 即， 所以， 因为每个点均在函数的图像上，可得， 所以，即，所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 所以，则， 此时数列不是等比数列. 故选：C. 48．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知正项等比数列的前项和为，若是函数的对称中心，则数列的前项和________. 【答案】 【解题思路】先求的对称中心，进而求得，最后利用等差数列前项求和公式即可求解. 【解答过程】由，所以的对称中心为， 即，所以，所以公比为， 所以，令，所以数列是等差数列， 所以， 故答案为：. 49．（25-26高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，从而求得，即，从而求解. （2）由（1）得，求出，从而求解. 【解答过程】（1）证明：因为在函数上， 所以：，又， 所以：，即：， 且，可知， 两边取以为底的对数，， 又，， 所以：是首项为，公比为的等比数列． 所以：， 所以：. （2）证明：因为，， 所以：， 则：，得：， 又因为：， ， 即证：. 50．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． (1)写出的前6项； (2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得，令，结合正弦函数的图象性质可得或，取其中的正数构成递增数列可得结果； （2）由错位相减法求和可得结果. 【解答过程】（1）由题意 ． 由，得． 所以或． 即或，取其中的正数构成递增数列． 知的前6项为． （2）由（1）知，所以． 所以．① ．② ①－②，得 ． 所以. 题型11 数列新定义 51．（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 52．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（    ） A．3015 B．3025 C．3022 D．3122 【答案】A 【解题思路】先根据题意得递推公式，再由递推公式结合累加法和等差数列前n项和公式求出数列的通项公式即可求解. 【解答过程】因为二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35， 所以， 所以 ， 则该数列的第45项为. 故选：A. 53．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为______________． 【答案】63 【解题思路】设得到是严格递增的正整数数列以及满足条件的差分数列序列为：，再根据 结合等差数列求和公式即可求解． 【解答过程】设，则， 根据“快速增长数列”定义，可得， 则是严格递增的正整数数列． 为使最大，需让数列增长最慢，则满足条件的差分数列序列应为， 即差分数列为公差为1，首项为2的等差数列， 所以当 ， 所以，则， 当时， ， 当时， ∴正整数k的最大值为63． 故答案为：63． 54．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，如子列. 【解题思路】（1）根据题意，设数列构成等差数列，且公差为，根据等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得的值； （2）设等比数列的首项，公比为，由性质，得到成等差数列，结合等比数列的求和公式，求得数列需为等差数列，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解. （3）根据题意，求得和，由3和4互质，得到可以表示为二次函数，得出，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【解答过程】（1）解：由数列具有性质，所以构成等差数列， 设该等差数列为，且公差为，其中，首项， 因为，， 所以数列的前的和， 解得，所以，所以. （2）解：设等比数列的首项，公比为， 由性质知：数列成等差数列， 因为，， 所以数列需为等差数列， 因为等差数列相邻两项的差相等，即， 若，则，可得，此时所有项均为，构成等差数列； 若，因为，由， 则，解得或， 但时，，与前提矛盾，故舍去，所以， 此时数列为常数列，构成等差数列， 综上可得，数列的公比或. （3）解：由数列具有性质和，即连续3项和与连续4项和分别成等差数列， 设连续3项和为，则，其中为的公差， 同理可得： 连续4项和为，则，其中为的公差， 因为3和4互质，可以表示为两种二次函数的形式， 所以必为关于的二次函数， 此时通项，满足（其中为常数） 所以数列为等差数列，即等差数列的任意无穷子列仍为等差数列， 所以存在无穷子列成等差数列. 55．（25-26高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 【答案】(1) (2)不存在符合要求的实数，理由见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用“超1数列”的定义得，且，即可求得结果. （2）先假设存在实数，使得对恒成立， 等价于对恒成立.推出矛盾即可证明. （3）由正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况讨论，利用“超1数列”的定义证明数列是“超1数列” 【解答过程】（1）由题知，，且， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）不存在符合要求的实数，理由如下： 由题知，对恒成立， 所以数列是等差数列，且，公差为， 所以. 假设存在实数，使得对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立. 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立，故不存在符合要求的实数. （3）证明：由题意，设数列的公比为且，则. 因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项. 因为为“超1数列”， 所以只需，即， 又，所以. 又不是“超1数列”，且为最小项， 所以，即. 又，所以， 又，所以或4. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 综上所述，数列是“超1数列”. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列全章十一大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 数列的最大（小）项 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 5．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项，. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项. 题型2 等差数列的判定与证明 6．（2026·辽宁·模拟预测）“数列满足”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 8．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：成等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 10．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 题型3 等差数列的前n项和及其最值 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 12．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知等差数列，其前项和为，若，则__________. 14．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 15．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)求数列的前项和． 题型4 等比数列的判定与证明 16．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（   ） A． B． C． D． 17．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26高二下·广东江门·期中）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和为. 20．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 题型5 等比数列的前n项和及其最值 21．（25-26高三上·江苏南通·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 23．（2026·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 24．（25-26高三上·山东·阶段检测）设等比数列的前项和为，公比，若，则___________． 25．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前 项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 题型6 等差、等比数列的综合应用 26．（26-27高三上·河北邯郸·阶段检测）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知递增的等比数列的前项和为，若是与的等差中项，则（    ） A．21 B．21或57 C．21或75 D．57 28．（2026高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于__________. 29．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 30．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 题型7 数列求和 31．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 33．（2026·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则___________. 34．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 35．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 题型8 数列不等式恒（能）成立问题 36．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 37．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是___________. 39．（25-26高二上·四川德阳·期末）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 40．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 题型9 数列不等式的证明 41．（25-26高二上·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 42．（2026高二·全国·专题练习）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 43．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 44．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）已知数列中，.设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和，并证明：. 45．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 题型10 数列与其他知识交汇 46．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 47．（25-26高三上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 48．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知正项等比数列的前项和为，若是函数的对称中心，则数列的前项和________. 49．（25-26高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明：． 50．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． (1)写出的前6项； (2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 题型11 数列新定义 51．（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 52．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（    ） A．3015 B．3025 C．3022 D．3122 53．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为______________． 54．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 55．（25-26高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $