专题4.3 等比数列（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题4.3 等比数列 教学目标 1. 能够准确理解等比数列、公比的定义，熟记等比数列的符号表示，掌握等比数列通项公式；能利用定义判断一个数列是否为等比数列，会用通项公式求等比数列的项、项数、公比，明确等比数列各项及公比均不能为0。 2. 通过生活实例、数学实例抽象出等比数列概念的过程，培养数学抽象、归纳概括的核心素养；借助通项公式的推导（累乘法），提升逻辑推理与规范书写数学过程的能力，体会递推、化归的数学思想。 3. 感受等比数列 “后项与前项的比值为定值” 的倍增（衰减）变化特点，体会等比数列模型在增长率、复利等实际问题中的应用价值；通过情境例题，激发自主探究数列规律的兴趣，养成严谨的推理习惯。 4. 能够运用等比数列的定义、通项公式解决基础辨析题、计算题；初步学会建立等比数列模型，解决简单的实际问题。 教学重难点 1. 重点 等比数列的概念、公比的含义；等比数列的通项公式 an=a1qn−1；利用定义判定等比数列；通项公式的直接应用（知三求一）。 2. 难点 等比数列定义中 “从第二项起，每一项与它前一项的比是同一个常数” 的准确理解；通项公式的推导（累乘法）；公比q的取值辨析（q≠0，q＜0、0＜q＜1、q＞1对应的数列变化特点）；灵活利用通项公式处理含参数的等比数列问题，规避 “项为 0” 的易错陷阱。 知识点01 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 【即学即练】 1．已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 知识点02 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵，∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练】 1．在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 【答案】(1)，，得； ，； 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，则； ，即的通项公式为. 知识点03 等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练】 1．在等比数列中，若，则（    ） A．18 B．36 C．54 D．60 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，因为， 所以. 故选：C. 知识点04 等比数列的前项和公式及性质 等比数列的前项和公式 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练】 1．已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 得 ， 设公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ． （2）由 (1) 得 ， 而 的前 项和为 ， 所以 ． 题型01 等比数列的通项公式及其应用 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【典例1】已知正项数列满足，，且对任意，都有，数列满足：对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1）由得为等比数列，设其公比为， 由于为正项数列，故， 则由可得，故． （2）由，可得对于任意有： ，③ 则，④ 则，⑤ 由③-⑤得， 对③取得也适合上式， 因此，； （3）由（1）（2）可知， 则， 所以当时，，即， 当时，，即在且上单调递减， 故， 假设存在三项成等差数列，其中， 由于，可不妨设，则（*）， 即， 因为且，则且， 由数列的单调性可知，，即， 因为，所以， 即，化简得， 又且，所以或， 当时，，即，由时，此时不构成等差数列，不合题意， 当时，由题意或，即，又，代入（*）式得， 因为数列在且上单调递减，且，，所以， 综上所述，数列中存在三项或构成等差数列． 【变式1】已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为，则， 因为，所以， 故的通项公式为，所以. 由，得，即；由，得. 设，则为等比数列， 所以，， 设的公比为，则，故． 则，即. 所以． 故的通项公式为． （2）由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和，且， 因为对任意 ，都有恒成立，所以． 【变式2】已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 【详解】（1）当时，，解得 当 时，，则，整理得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； （2）由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； （3）略 题型02 等比中项及应用 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【典例1】在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，，， 所以，即， 因为，且，所以； 同理，所以， 所以. 【变式1】各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 【变式2】已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为（），由得， 由成等比数列，得，即， 展开整理得，因，故， 联立，解得，， 因此. （2）由等差数列前项和公式，得. （3）由， 设数列的前项和为， 则. 题型03 等比数列性质的应用 运用等比数列性质解题，优先观察下标之间的数量关系，下标和相等则对应项乘积相等，下标成等差数列则对应项成等比数列，以此简化计算，减少联立方程。遇到连续片段和，可利用等比数列分段和性质快速求解。解题时先判断公比正负，留意项的符号，开方不要直接只取正值。分清等差、等比结论，不要混用。求出答案后代入原题检验，舍去不符合条件的增根，遇到多解情况，结合题干条件取舍。 【典例1】设若是单调递增的等比数列，则常数（     ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【详解】设，， ，因为是等比数列，所以， 即，两边同时除以， ， 整理得， 因为是一个变量，所以也是一个变量， 是一个常量，要使该等式对任意都成立， 则有：①， ②. 可解得，或，， 若，， 则是公比为3的单调递减数列，不符合题意，舍去. 若，可得，是公比为5的单调递增数列，符合题意. 【变式1】在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 【变式2】（多选）在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，， 根据等比数列的性质得， 又在上单调递增，， ，故A正确. ，，则， 则，故B正确. ，又且，，故C错误. 由，得等比数列为递增数列，则， ，当时，，，故D正确. 故选：ABD. 题型04 等比数列前项和的有关计算 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【典例1】已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即. 【变式1】已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】/ 【详解】等比数列的前项和，所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以. 【变式2】已知为等比数列的前项和，若，则_____. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 即 因，可化简得：，即 又，所以. 则， 于是， 题型05 等比数列前项和的性质 使用等比数列前 n 项和性质解题，首先记住连续等长片段和仍成等比数列，但要注意片段和不能为零。处理奇偶项求和，单独分析项的符号与公比正负。遇到含参数求和，务必优先讨论公比等于 1 的特殊情况，这是高频易错点。优先选用性质简化运算，减少复杂列式。利用前 n 项和与通项的关系求值时，记得验证首项。得到结果后结合题干条件检验，舍去不符合题意的解，警惕多解问题中出现的增根。 【典例1】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AB 【详解】由可得，， 由，可得，故A错误； 又因为，且，所以数列为各项均为正数的等比数列，所以，故D正确； 当时，因，数列为递增数列，则， 此时，与矛盾，所以不成立； 当时，数列为递减数列，根据， 有，则是数列中的最大值，故C正确； 而，则，故B错误. 故选：AB 【变式1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 【变式2】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 题型06 等比数列片段和的性质 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【典例1】设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 【变式1】设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】设数列的公比为． 由，得． 又由题意分析知，所以成等比数列，公比为， 所以． 又为各项均为正数的等比数列，所以，所以． 【变式2】已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． 题型07 等比数列的奇数项与偶数项和 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【典例1】等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 【变式1】已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 【答案】(1)，或. (2) 【详解】（1）∵，，成等差数列， ∴， 又为等比数列，设公比为， ∴， 解得，或， 当时，； 当时，； 综上所述，，或. （2）由题意，可知， ∴ ∴ ， ， . 【变式2】已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最大值． 【答案】（1）；（2），最大值为. 【详解】（1）设等比数列的公比为, 因为, , 成等差数列，所以， 即, 所以，即, 可得, 又因为, 所以等比数列的通项公式为． 故数列的通项公式为． （2）由（1）得, 所以， 所以 ,令，因为，所以， 则，且在单调递减 当，即时，, 所以的最大值为. 1．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记此等比数列为，设其公比为，由，得， 依题意，，相除得，所以， 所以这个数列的公比等于2. 2．等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， . 3．已知等比数列中，，则（    ） A．8 B．16 C． D．32 【答案】C 【详解】数列为等比数列，，， ， 则. 4．已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 5．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 【答案】 8 【详解】由题知数列为等比数列，公比且，由，得， 解得，故． 6．若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 【答案】3 【详解】由题意得， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时也满足， 即，解得. 7．已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）设的公比为，正项等比数列满足，由，得，， 由，得，即，解得或，舍， 故，所以. （2）由数列为正项等比数列，，，得. 8．等比数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和及． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 所以，且. 9．已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 10．已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 【答案】(1)证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略. （2）由(1)得：， 所以， 所以. 1．已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 【答案】D 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1， 又，故同号且，结合，可得， 所以数列单调递减，因此. 对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，由等比数列性质可得，又，所以，故B错误； 对于C，因为，数列单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以，， 因此数列的最大项是，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以使得的的最小值为，故D正确. 2．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设数列，在数列中，若对于任意的正整数，都有，则满足条件的正整数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对任意，若，则； 若，则，故。 因为数列的通项公式为，则数列是公差为的递减等差数列； ，，，， 因为数列的通项为，则数列是公比为的递增等比数列， ，，，，. 要使对任意成立，只需满足且， 由：， 当，即时，，，恒成立； 当，即时，，则，，解得，所以. 故. 由：， 当时，，故，即，所以； 当时，，显然成立，故. 综上，，又，所以，因此共4个符合条件的正整数. 3．已知函数，且等比数列满足，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．1013 【答案】A 【详解】， 则， 因为为等比数列，所以， 所以． 4．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 【答案】C 【详解】因数列的前10项依次成等差数列，设公差为，则，， 又因，且数列从第9项起依次成等比数列，则，即，解得或， 因数列各项均为整数，故，则， 则数列从第9项起的公比为，故，则. 5．在严格递增的等差数列中，与的等差中项为6，是和的等比中项，则数列前项和___________． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 根据题意可得：，， 因为数列是严格递增的等差数列， 所以，解得，， 则，即，则， 所以. 6．已知数列的前项和为，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和______. 【答案】1460 【详解】当时， 又符合上式，所以，则， 与之间插入个，与之间插入个，与之间插入个， 与之间插入个，与之间插入个， 故数列的前37项和 7．已知数列中． (1)求的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数n． (3)已知数列的前n项和为，若一直线的斜率为，方向向量为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，， 所以. （2）， ， 因为，则，， 故，， 所以满足条件的最大整数. （3）因为直线的方向向量为，所以直线斜率， 由（1）得， ， ， 设， 则， ， 两式相减得， ， 所以， 则， 所以. 8．已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)​ (2)​ 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，． （2）由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，． 9．已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)由，去分母化简得，又， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列； ，解得， 所以数列的通项公式为. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由（1），所以， . （3）因为， 令，，数列的前项和为，数列的前项和为， 所以， ， ， 两式相减得，即， 所以； 又； 所以. 10．已知各项为正数的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)当为奇数时,,当为偶数时,. 【详解】（1）设等比数列公比为,首项为.由各项均为正数得,且. 代入条件得.分别取和,得,. 两式相除得,结合得.再代入,得. 因此. （2）由(1)得.当时,. 当时,,即. 于是. 又,其中,,所以. 当为奇数时,设,则. 当为偶数时,设,则. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 等比数列 教学目标 1. 能够准确理解等比数列、公比的定义，熟记等比数列的符号表示，掌握等比数列通项公式；能利用定义判断一个数列是否为等比数列，会用通项公式求等比数列的项、项数、公比，明确等比数列各项及公比均不能为0。 2. 通过生活实例、数学实例抽象出等比数列概念的过程，培养数学抽象、归纳概括的核心素养；借助通项公式的推导（累乘法），提升逻辑推理与规范书写数学过程的能力，体会递推、化归的数学思想。 3. 感受等比数列 “后项与前项的比值为定值” 的倍增（衰减）变化特点，体会等比数列模型在增长率、复利等实际问题中的应用价值；通过情境例题，激发自主探究数列规律的兴趣，养成严谨的推理习惯。 4. 能够运用等比数列的定义、通项公式解决基础辨析题、计算题；初步学会建立等比数列模型，解决简单的实际问题。 教学重难点 1. 重点 等比数列的概念、公比的含义；等比数列的通项公式 an=a1qn−1；利用定义判定等比数列；通项公式的直接应用（知三求一）。 2. 难点 等比数列定义中 “从第二项起，每一项与它前一项的比是同一个常数” 的准确理解；通项公式的推导（累乘法）；公比q的取值辨析（q≠0，q＜0、0＜q＜1、q＞1对应的数列变化特点）；灵活利用通项公式处理含参数的等比数列问题，规避 “项为 0” 的易错陷阱。 知识点01 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中 ． 【即学即练】 1．已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵，∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练】 1．在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 知识点03 等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则 ，特别地，当时 ． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为 ． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练】 1．在等比数列中，若，则（    ） A．18 B．36 C．54 D．60 知识点04 等比数列的前项和公式及性质 等比数列的前项和公式 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练】 1．已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 题型01 等比数列的通项公式及其应用 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【典例1】已知正项数列满足，，且对任意，都有，数列满足：对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【变式2】已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 题型02 等比中项及应用 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【典例1】在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【变式1】各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求数列的前n项和． 题型03 等比数列性质的应用 运用等比数列性质解题，优先观察下标之间的数量关系，下标和相等则对应项乘积相等，下标成等差数列则对应项成等比数列，以此简化计算，减少联立方程。遇到连续片段和，可利用等比数列分段和性质快速求解。解题时先判断公比正负，留意项的符号，开方不要直接只取正值。分清等差、等比结论，不要混用。求出答案后代入原题检验，舍去不符合条件的增根，遇到多解情况，结合题干条件取舍。 【典例1】设若是单调递增的等比数列，则常数（     ） A．2 B．3 C．5 D．10 【变式1】在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【变式2】（多选）在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则（    ） A． B． C． D． 题型04 等比数列前项和的有关计算 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【典例1】已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【变式2】已知为等比数列的前项和，若，则_____. 题型05 等比数列前项和的性质 使用等比数列前 n 项和性质解题，首先记住连续等长片段和仍成等比数列，但要注意片段和不能为零。处理奇偶项求和，单独分析项的符号与公比正负。遇到含参数求和，务必优先讨论公比等于 1 的特殊情况，这是高频易错点。优先选用性质简化运算，减少复杂列式。利用前 n 项和与通项的关系求值时，记得验证首项。得到结果后结合题干条件检验，舍去不符合题意的解，警惕多解问题中出现的增根。 【典例1】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【变式1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【变式2】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 题型06 等比数列片段和的性质 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【典例1】设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【变式1】设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为，且，则数列的通项公式为______． 【变式2】已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 题型07 等比数列的奇数项与偶数项和 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【典例1】等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【变式1】已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 【变式2】已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最大值． 1．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 2．等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 3．已知等比数列中，，则（    ） A．8 B．16 C． D．32 4．已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 6．若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 7．已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 8．等比数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和及． 9．已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 1．已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 2．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设数列，在数列中，若对于任意的正整数，都有，则满足条件的正整数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数，且等比数列满足，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．1013 4．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 5．在严格递增的等差数列中，与的等差中项为6，是和的等比中项，则数列前项和___________． 6．已知数列的前项和为，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和______. 7．已知数列中． (1)求的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数n． (3)已知数列的前n项和为，若一直线的斜率为，方向向量为，求． 8．已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 9．已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 10．已知各项为正数的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $