4.4 数学归纳法（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.4 数学归纳法 课标要点 1.理解数学归纳法的原理与两个步骤，能根据命题确定起始值，正确书写归纳假设与待证目标。 2.掌握由到的递推变形方法，能证明简单的恒等式、不等式与整除问题。 3.经历观察、猜想、归纳证明的过程，能辨析数学归纳法证明中的常见错误。 学习重难点 重点： 1.数学归纳法的两步结构：归纳奠基与归纳递推，以及起始值的确定。 2.利用归纳假设完成由到的目标变形。 难点： 1.从到时和式、连乘积增减项的准确分析。 2.证明中必须使用归纳假设，避免形式化套用与不完全归纳。 知识点一 数学归纳法的定义与两步结构 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列两个步骤进行： （1）归纳奠基：证明当（，常取）时命题成立； （2）归纳递推：假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立。 完成这两个步骤后，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 （1）两个步骤缺一不可 归纳奠基是递推的起点：若不验证，递推就没有出发的基础；归纳递推是命题延续的保证：若只验证有限多个起始值而不作递推，得到的知识只是不完全归纳的结果，不能作为证明。 （2）起始值不必为 由命题的意义确定。例如证明对的一切正整数成立时，应取：，而时，不满足命题。 步骤 内容 作用 归纳奠基 验证时命题成立 递推的起点 归纳递推 假设（）成立，证成立 使命题逐个延续 结论 两步完成，命题对一切成立 无穷递推的依据 特别提醒 数学归纳法通过"奠基+递推"实现从有限到无穷的跨越。起始值不一定是，由命题对的约束确定；两步缺一不可，否则不能对全部正整数下结论。 即学即练 1．（高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 知识点二 归纳假设与从$k$到$k+1$的目标变形 归纳递推的核心是"用假设、证目标"：先把归纳假设时的命题具体写出，再把时的待证命题具体写出，然后通过变形，把时的式子化归为归纳假设的形式加（乘）上新增加的部分。 （1）增项与项数的变化 由到，和式要补上新增加的项：对，左边增加两项；对，分母从变到，增加项；对平方和，增加两项。 （2）连乘积的因子变化 对，由到时，左边增加因子，同时去掉开头的因子，两边要同步核对，不能只加不减。 命题类型 由到的变化 变形要点 等式（和式） 增加一项或若干项 补项后与假设式相加 不等式 两端同时增项 结合放缩利用假设 连乘积 增、减因子并存 两边同步核对 整除 拆出含假设的部分 把式子拆成"假设的倍数+新常数" 易错提醒 归纳假设必须使用：只把代入后重新推导而不用"时成立"这一条件，就不是数学归纳法。增项要写清首末项与项数，避免漏项、重项或下标错位。 即学即练 2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________． 【答案】 【详解】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了 ， 故答案为：． 知识点三 证明完整性与常见错误辨析 数学归纳法的证明必须两步齐全、递推有效。常见错误有以下几类： ①只验证奠基不作递推：即使验证了很多个起始值成立，也只是不完全归纳，不能得出一般结论； ②只作递推不验奠基：递推关系没有起点，对的结论失去依据； ③形式上写"由假设"而实质未用：推导中没有用到归纳假设的结论，递推链条断裂； ④由到时目标式写错：增减项、下标、符号或项数弄错，导致"证明"的不是待证命题。 （1）递推方向与命题的适用范围 若命题只对正奇数（或正偶数）有意义，则由递推到：归纳假设为"当（为奇数）时命题成立"，目标是证明"时命题成立"。此时不在命题范围内，不能按递推。 （2）奠基与递推的衔接 递推中"""为正奇数"等条件必须与奠基一致；结论要写明"对从开始的所有正整数成立"。 错误类型 表现 纠正 缺奠基 只从推 补验 缺递推 只验证若干有限项 补作归纳递推 未用假设 直接对推导 变形中显式使用"时成立" 目标式错 增减项、下标、符号错误 先写清的待证式再变形 特别提醒 数学归纳法的第二步是条件命题"若时成立，则时成立"：归纳假设是推理的前提，必须真正参与变形；命题只对奇数、偶数等有意义时，按相应的步长递推。 即学即练 3．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证________时命题也为真． 【答案】/ 【详解】为正奇数，第二步假设第项成立， 第三步证明相邻正奇数第项成立. 故答案为：. 题型01 归纳奠基与起始值 典｜例｜精｜析 【例1】用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 【答案】 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 题型02 归纳假设与增项项数 典｜例｜精｜析 【例2】用数学归纳法证明“对任意的， ”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】用数学归纳法证明“对任意的， ”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 【变式2-2】利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 【答案】 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 题型03 概念辨析与常见错误 典｜例｜精｜析 【例3】下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子中，当时，式子的值为1 B．式子中，当时，式子的值为 C．式子中，当时，式子的值为 D．设，则 【答案】C 【详解】A中，时，式子，故A错误； B中，时，式子，故B错误； C中，时，式子，故C正确； D中，，故D错误． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出均成立， 即对所有正偶数都成立. 【变式3-2】已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【详解】对于①，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故①正确； 对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确； 对于③，，，，， ，故③错误； 对于④，，所以， 累加得，所以，， 所以，又，故成立，④正确． 故答案为：①②④. 题型04 等差等比公式与求和恒等式 典｜例｜精｜析 【例4】用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式． 【答案】 证明：先证明公差为的等差数列的前项和公式， 当时，，结论成立， 假设当时，结论成立，即， 则当时，， 这说明当时，结论也成立， 由归纳原理可知，公差为的等差数列的前项和公式. 接下来证明：公比为的等比数列的前项和公式. 因为，当时，，结论成立， 假设当时，结论成立，即， 则当时， ， 这说明当时，结论也成立， 由归纳原理可知，公比为的等比数列的前项和公式. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】 当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式4-2】求证：． 【答案】 当时，左边，右边，等式成立； 假设时，等式成立， 即； 当时， ， 所以时，等式也成立． 综上所述，等式对任何都成立． 题型05 观察、猜想通项并证明 典｜例｜精｜析 【例5】已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 【答案】 当时，，解得； ，解得，同理得，，， 猜想，以下用数学归纳法加以证明． （i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，成立， 当时，， 即， 去分母并整理得，解得． 故（负值舍去），则时等式成立． 由（i）（ii）知对任意，成立． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】数列满足（为数列的前n项和），先计算数列的前4项，再猜想，并证明． 【答案】，，，，，证明如下： 下面用数学归纳法证明猜想正确： ①当时，左边，右边，左边=右边，猜想成立． ②假设当时猜想成立，则有， 当时，， ， 所以，当时，等式也成立． 由①和②可知，对任意正整数n都成立． 【详解】由，得； 由，得； 由，得； 由，得． 猜想． 【变式5-2】已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 【答案】 计算得，，，，…，猜测数列的通项公式为，用数学归纳法证明： 证明：（i）当时，符合上述公式； （ii）假设当（为正整数）时，有， 则当时，，符合上述公式. 由（i）（ii）可知，（为正整数）. 题型06 简单不等式证明 典｜例｜精｜析 【例6】用数学归纳法证明：，． 【答案】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】数学归纳法证明：． 【答案】证明： （ⅰ）当时，左边=，右边=，左边<右边，即不等式成立； （ⅱ）假设 时，不等式成立，即， 则当时，左边=， 问题可通过证明来实现. 要证， 只需证，只需证 只需证，只需证， 只需证，∵显然成立，∴， 即当是不等式也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的，不等式恒成立. 【变式6-2】用数学归纳法证明： 【答案】证明： ①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 题型07 基础整除 典｜例｜精｜析 【例7】求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】 ①当时，能被整除，所以当时结论成立. ②假设当时，能被整除， 那么当时， ， 由假设可知能被整除，即能被整除， 所以当时结论也成立. 综上，能被整除. 【变式7-2】用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明: （1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 题型08 综合与探究 典｜例｜精｜析 【例8】平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”． (1)某学生发现以下特征：由此可归纳出一个结论？能否给出证明？ (2)证明： 【答案】(1)， ①当时，显然成立； ②假设当时，即成立， 则当时， 故当时等式也成立． 根据①和②，可知等式对任意正整数都成立; (2) ③当时，左右显然成立． ④假设当时，即 则当时， 故当时等式成立． 根据③和④，可知等式对任意正整数都成立 【变式8-2】已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 基础通关 一、单选题 1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 二、填空题 2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 3．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________ 【答案】 【详解】由题意知时，左边式子为， 时，左边式子为， 故增加的项数为 ， 故答案为： 三、解答题 4．设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 【答案】(1)，； (2) 证明：用数学归纳法证明如下： ①当时，，成立； ②假设当时，成立，即， 则当时， ，成立， 由①②，得：． 【详解】（1）因为数列满足，，， 所以当时，，      当时，．         由此猜想数列的通项公式为． 5．已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1) (2) 猜想数列的通项公式为. 当时，左边，右边，成立. （2）假设当时，成立. 则当时，有， 即当时，也成立. 所以对任何都成立. 【详解】（1）由可知， 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； 6．用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】 当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 7．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． (2)①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即．则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 素养提升 1．已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【详解】对于①，当时，，故①错误； 对于②，当时，有，这意味着只要就有，而，从而由数学归纳法即可证明，故②正确； 对于③，当时，下面用数学归纳法证明，当时，由知结论成立；假设当时结论成立，即， 则由可知，所以， 展开即，即， 同时，由可得， 即时，结论成立，所以对于任意正整数，都有，故③正确； 对于④，当时，， 所以是递减数列，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④. 故选：B 2．已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】/0.125 【详解】当时，数列显然有上界，故只讨论的情况， 由于， 则当时，数列单调递增，无上界； 当时，下证时，， 时，结论成立； 假设时结论成立，即 时，， 则时结论也成立． 由归纳法原理，对任意时，． 所以实数的最大值为． 故答案为：. 3．（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 【答案】ABC 【详解】由题意得，，则，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以， 若，则，则，则， 故取得最大值时的值为3，故D错误； 因为， ， ，，均满足； 假设当时成立，即， 则当时， 综上，成立，故C正确. 4．（多选）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 5．已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【答案】(1)； (2)证明： . 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 【详解】（1）由题，； ；. 则推测； 6．已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2) 用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 【详解】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. 7．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明: 由，得． 在数列中，， 故数列中的任何一项都小于1． (2)，证明如下： 当，且时猜想正确． ①当时已证； ②假设当（，且）时，有成立， 那么 所以当时，猜想正确． 综上所述，对于一切，都有． （2）由（1）知，，那么， 由此猜想． 8．首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． (2) 证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． (3)或 （3）解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． 9．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． (1)求，，的值，猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性． 【答案】（1），，，，； （2）证明:利用数学归纳法证明： ①当时，，，猜想正确； ②假设时，猜想正确，即， 那么当时， 可得， 即时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数，都成立． 【详解】（1）当时，，∴， 当时，，∴， ∴，， 猜想，； 迁移创新 1．设数列的前项和为，已知则____________． 【答案】 【详解】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若，则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 故答案为：. 2．已知数列的各项均为正数，满足，其中常数. 给出下列四个判断： ①若，，则； ②若，则； ③若，，则； ④，不存在实数，使得. 其中所有正确判断的序号是_________． 【答案】② ③ 【详解】对于①，若，，则，当时，，故①错误； 对于②当时，，解得， 又，则， 由可得，即， 因，则，故得， 故当时， 故得，即②正确； 对于③，若，，， 假设，则，这与矛盾，故有，即③正确； 对于④，当时，不妨取，则，此时， 若成立，因函数在上单调递增， 则有， 即在的前提下，必成立， 即存在实数，使得，即④错误. 故答案为：② ③. 3．已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 【答案】(1)， (2) 已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. (3) 由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 【详解】（1）已知对任意，恒成立. 令，得，移项得； 令，得，已知，代入得，解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.4 数学归纳法 课标要点 1.理解数学归纳法的原理与两个步骤，能根据命题确定起始值，正确书写归纳假设与待证目标。 2.掌握由到的递推变形方法，能证明简单的恒等式、不等式与整除问题。 3.经历观察、猜想、归纳证明的过程，能辨析数学归纳法证明中的常见错误。 学习重难点 重点： 1.数学归纳法的两步结构：归纳奠基与归纳递推，以及起始值的确定。 2.利用归纳假设完成由到的目标变形。 难点： 1.从到时和式、连乘积增减项的准确分析。 2.证明中必须使用归纳假设，避免形式化套用与不完全归纳。 知识点一 数学归纳法的定义与两步结构 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列两个步骤进行： （1）归纳奠基：证明当（，常取）时命题成立； （2）归纳递推：假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立。 完成这两个步骤后，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 （1）两个步骤缺一不可 归纳奠基是递推的起点：若不验证，递推就没有出发的基础；归纳递推是命题延续的保证：若只验证有限多个起始值而不作递推，得到的知识只是不完全归纳的结果，不能作为证明。 （2）起始值不必为 由命题的意义确定。例如证明对的一切正整数成立时，应取：，而时，不满足命题。 步骤 内容 作用 归纳奠基 验证时命题成立 递推的起点 归纳递推 假设（）成立，证成立 使命题逐个延续 结论 两步完成，命题对一切成立 无穷递推的依据 特别提醒 数学归纳法通过"奠基+递推"实现从有限到无穷的跨越。起始值不一定是，由命题对的约束确定；两步缺一不可，否则不能对全部正整数下结论。 即学即练 1．（高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 知识点二 归纳假设与从$k$到$k+1$的目标变形 归纳递推的核心是"用假设、证目标"：先把归纳假设时的命题具体写出，再把时的待证命题具体写出，然后通过变形，把时的式子化归为归纳假设的形式加（乘）上新增加的部分。 （1）增项与项数的变化 由到，和式要补上新增加的项：对，左边增加两项；对，分母从变到，增加项；对平方和，增加两项。 （2）连乘积的因子变化 对，由到时，左边增加因子，同时去掉开头的因子，两边要同步核对，不能只加不减。 命题类型 由到的变化 变形要点 等式（和式） 增加一项或若干项 补项后与假设式相加 不等式 两端同时增项 结合放缩利用假设 连乘积 增、减因子并存 两边同步核对 整除 拆出含假设的部分 把式子拆成"假设的倍数+新常数" 易错提醒 归纳假设必须使用：只把代入后重新推导而不用"时成立"这一条件，就不是数学归纳法。增项要写清首末项与项数，避免漏项、重项或下标错位。 即学即练 2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________． 知识点三 证明完整性与常见错误辨析 数学归纳法的证明必须两步齐全、递推有效。常见错误有以下几类： ①只验证奠基不作递推：即使验证了很多个起始值成立，也只是不完全归纳，不能得出一般结论； ②只作递推不验奠基：递推关系没有起点，对的结论失去依据； ③形式上写"由假设"而实质未用：推导中没有用到归纳假设的结论，递推链条断裂； ④由到时目标式写错：增减项、下标、符号或项数弄错，导致"证明"的不是待证命题。 （1）递推方向与命题的适用范围 若命题只对正奇数（或正偶数）有意义，则由递推到：归纳假设为"当（为奇数）时命题成立"，目标是证明"时命题成立"。此时不在命题范围内，不能按递推。 （2）奠基与递推的衔接 递推中"""为正奇数"等条件必须与奠基一致；结论要写明"对从开始的所有正整数成立"。 错误类型 表现 纠正 缺奠基 只从推 补验 缺递推 只验证若干有限项 补作归纳递推 未用假设 直接对推导 变形中显式使用"时成立" 目标式错 增减项、下标、符号错误 先写清的待证式再变形 特别提醒 数学归纳法的第二步是条件命题"若时成立，则时成立"：归纳假设是推理的前提，必须真正参与变形；命题只对奇数、偶数等有意义时，按相应的步长递推。 即学即练 3．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证________时命题也为真． 题型01 归纳奠基与起始值 典｜例｜精｜析 【例1】用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为__________． 题型02 归纳假设与增项项数 典｜例｜精｜析 【例2】用数学归纳法证明“对任意的， ”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】用数学归纳法证明“对任意的， ”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 题型03 概念辨析与常见错误 典｜例｜精｜析 【例3】下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子中，当时，式子的值为1 B．式子中，当时，式子的值为 C．式子中，当时，式子的值为 D．设，则 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【变式3-2】已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 题型04 等差等比公式与求和恒等式 典｜例｜精｜析 【例4】用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式4-2】求证：． 题型05 观察、猜想通项并证明 典｜例｜精｜析 【例5】已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】数列满足（为数列的前n项和），先计算数列的前4项，再猜想，并证明． 【变式5-2】已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 题型06 简单不等式证明 典｜例｜精｜析 【例6】用数学归纳法证明：，． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】数学归纳法证明：． 【变式6-2】用数学归纳法证明： 题型07 基础整除 典｜例｜精｜析 【例7】求证：对任何正整数n，数都能被8整除 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】用数学归纳法证明：能被整除. 【变式7-2】用数学归纳法证明：能被整除． 题型08 综合与探究 典｜例｜精｜析 【例8】平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”． (1)某学生发现以下特征：由此可归纳出一个结论？能否给出证明？ (2)证明： 【变式8-2】已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 基础通关 一、单选题 1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 二、填空题 2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 3．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________ 三、解答题 4．设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 5．已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 6．用数学归纳法证明：能被整除（） 7．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 素养提升 1．已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ 2．已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 3．（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 4．（多选）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 6．已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 7．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 8．首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 9．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． (1)求，，的值，猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性． 迁移创新 1．设数列的前项和为，已知则____________． 2．已知数列的各项均为正数，满足，其中常数. 给出下列四个判断： ①若，，则； ②若，则； ③若，，则； ④，不存在实数，使得. 其中所有正确判断的序号是_________． 3．已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $