专题4.1 数列的概念（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题4.1 数列的概念 教学目标 1. 能够准确理解数列、项、首项、有穷数列、无穷数列的定义，掌握数列{an}、通项an、项数n的符号含义；能根据数列前几项归纳简单数列的通项公式，会利用通项公式求数列指定项。 2. 通过生活实例、数学实例抽象出数列概念的过程，体会数列是一类特殊的函数（定义域为正整数集或它的有限子集），培养数学抽象、逻辑推理的核心素养；借助列表、图像、通项公式三种表示方法，提升学生类比迁移、规范表达数学语言的能力。 3. 体会数列有序的特点，感受数列和函数之间的内在联系，感受有序变量的数学价值；通过生活化情境例题，激发自主探究兴趣，养成从函数视角研究数列的思维习惯。 4. 能够运用数列基本概念解决辨析题、判断题，能独立判断数列是有穷还是无穷数列，初步学会用通项公式描述规律型数列，能利用数列模型处理简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 数列与项的基本概念，数列的有序性；数列的三种表示方法（通项公式、列表、图象）；数列的函数本质；已知通项求指定项、由简单前几项归纳通项公式。 2.难点 理解数列的有序性，区分数列和数集；从函数的角度理解数列，明白自变量是项数n；由有限几项归纳通项时，理解通项不唯一；区分an与{an}的含义。 知识点01 数列的概念 1. 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 2. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 【即学即练】 1．（多选）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 2．有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 知识点02 数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是 数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是 数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【即学即练】 1．已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，，，…，，…；③1，，，…，，…；④1，0，，…，，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥，，，.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________（填序号）. 2．下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①；②；③；④． 知识点03 数列的通项公式与前n项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 2. 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时 ； 当时， 故 【即学即练】 1．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 2．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 知识点04 数列的表示方法 1. 通项公式法（解析式法） 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 2. 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 3. 图象法 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 4. 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练】 1．一点从起点出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走过的路线和点共有种走法，如，数列相邻三项的递推关系式为____________．    2．分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 题型01 根据数列递推公式写出数列的项 【典例1】若数列满足，，则该数列的前20项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【变式1】（多选）已知数列满足：，其中．已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若为常数列，则的值唯一 C．满足方程的所有在内的值之和为 D．方程在区间内恰好有个解 【变式2】已知数列满足，则________________________． 题型02 前项和公式与通项的关系 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． 【典例1】高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以高斯命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，如．已知为正项数列的前n项和，且，则_______． 【变式1】已知数列的前项和，则__________． 【变式2】已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 题型03 递推公式的应用 处理递推公式问题，先看清递推关系式与初始项，没有首项无法确定整个数列。基础题型可依次代入，逐项写出数列前几项，观察规律猜想通项。若要推导通项，先识别递推类型，区分累加、累乘、构造等模型。注意下标范围，使用an=Sn−Sn−1时要求n≥2。递推式变形后，求出通项务必带回原式检验，验证首项是否符合表达式。审题注意项之间的间隔，分清相邻项或隔项递推，避免下标写错，不要盲目套用固定模型，防止生搬硬套出现错误。 【典例1】九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 【变式1】某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【变式2】在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型04 数列单调性的判断 判断数列单调性优先用作差法，计算an+1−an，根据结果正负判定增减；也可作商法，适用于各项恒正或恒负的数列。注意数列自变量 n 是正整数，不能直接套用函数导数判断单调性，函数极值点不一定对应数列项。递增数列满足an+1>an，递减数列满足an+1<an，摆动数列项正负交替。求数列最值时，可利用(an≥an−1​an≥an+1)求解。最后检验 n 取值范围，防止忽略 n 为正整数，出现增根失分。 【典例1】已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是______． 【变式1】（多选）下列数列中，为递增数列的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 题型05 求数列的最大项与最小项 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． 【典例1】已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【变式1】（多选）已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 【变式2】若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型06 周期数列 求解周期数列问题，先根据递推式推导an+T=an，找到最小正周期 T。算出周期后，用项数 n 除以周期 T，依靠余数确定该项对应周期内位置，余数为 0 时取周期最后一项。做题多写出前几项观察规律，快速判断周期。注意区分周期数列与周期函数，数列 n 只取正整数。遇到分段递推，仔细验证相邻项，防止周期判断出错。最后看清所求项的下标，准确计算余数，避免项数错位，这是填空高频丢分点。 【典例1】已知数列满足，则__________. 【变式1】已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 题型07 求数列通项 【典例1】已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【变式1】在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【变式2】已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 题型08 根据数列的单调性求参数 【典例1】设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【变式2】设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1．已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 2．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 3．已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（     ） A．201 B．202 C． D．102 4．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，则________． 6．已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 7．记数列的前n项和为，若，则______． 8．已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 9．（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 10．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 1．已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 3．若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列满足，则数列的通项公式为________. 6．已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 7．若数列中，，则________． 8．数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 9．已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 10．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列的概念 教学目标 1. 能够准确理解数列、项、首项、有穷数列、无穷数列的定义，掌握数列{an}、通项an、项数n的符号含义；能根据数列前几项归纳简单数列的通项公式，会利用通项公式求数列指定项。 2. 通过生活实例、数学实例抽象出数列概念的过程，体会数列是一类特殊的函数（定义域为正整数集或它的有限子集），培养数学抽象、逻辑推理的核心素养；借助列表、图像、通项公式三种表示方法，提升学生类比迁移、规范表达数学语言的能力。 3. 体会数列有序的特点，感受数列和函数之间的内在联系，感受有序变量的数学价值；通过生活化情境例题，激发自主探究兴趣，养成从函数视角研究数列的思维习惯。 4. 能够运用数列基本概念解决辨析题、判断题，能独立判断数列是有穷还是无穷数列，初步学会用通项公式描述规律型数列，能利用数列模型处理简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 数列与项的基本概念，数列的有序性；数列的三种表示方法（通项公式、列表、图象）；数列的函数本质；已知通项求指定项、由简单前几项归纳通项公式。 2.难点 理解数列的有序性，区分数列和数集；从函数的角度理解数列，明白自变量是项数n；由有限几项归纳通项时，理解通项不唯一；区分an与{an}的含义。 知识点01 数列的概念 1. 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 2. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 【即学即练】 1．（多选）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 2．有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 知识点02 数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【即学即练】 1．已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，，，…，，…；③1，，，…，，…；④1，0，，…，，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥，，，.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________（填序号）. 【答案】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 【详解】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷数列、摆动数列； ④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列； ⑥为有穷数列，也是常数列. 2．下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①；②；③；④． 【答案】①是集合，不是数列；②③④是数列；②④是有穷数列，③是无穷数列 【详解】对于①，将元素用花括号括起来，表示的是集合； 对于②，③，④均具备数列的特征，所以都是数列； 从项数角度，②，④的项数有限，为有穷数列，而③的项数无限，故是无穷数列. 知识点03 数列的通项公式与前n项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 2. 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故 【即学即练】 1．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【详解】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 2．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【答案】D 【详解】. 知识点04 数列的表示方法 1. 通项公式法（解析式法） 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 2. 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 3. 图象法 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 4. 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练】 1．一点从起点出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走过的路线和点共有种走法，如，数列相邻三项的递推关系式为____________．    【答案】 【详解】解：，，， ，， 故， 即， 故答案为： 2．分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由，，， 故可得，递推公式为，，． （2）由，，， 所以，，． 题型01 根据数列递推公式写出数列的项 【典例1】若数列满足，，则该数列的前20项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为，所以，则， 所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列， 因为，所以，，， 所以，所以 【变式1】（多选）已知数列满足：，其中．已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若为常数列，则的值唯一 C．满足方程的所有在内的值之和为 D．方程在区间内恰好有个解 【答案】BC 【详解】对于A选项，将代入递推式，，， 依次类推可得：当时，，所以，故A错误； 对于B选项，设，由可得，解得或， 又因为，所以唯一，故B正确 对于C选项，设，， 则，， 当时，， 假设时成立，即， 则， 故， 因为， 又因为，所以对应的k值可以取； 则满足的所有的值之和为，故C正确； 对于D选项，由C选项： 分两种情况： ①若，其中， ②若，其中， 由于在两组解中都存在，必须剔除， 故解的个数为：两方程分别有和个解， 验证重复解，，， 即，化简为， 令，等式成立将代回①中， ，因为，故，故有31个公共解， 则扣除31个公共解，实有个解，故D错误． 【变式2】已知数列满足，则________________________． 【答案】 【详解】因为，所以，， ，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 题型02 前项和公式与通项的关系 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． 【典例1】高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以高斯命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，如．已知为正项数列的前n项和，且，则_______． 【答案】90 【详解】当时，，且，则． 因为为正项数列，所以当时，， 所以，即． 将上式左右两边同时乘以，整理可得． 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 所以，又，则， 则，所以． 因为，所以，所以． 【变式1】已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【详解】当时，； 当时，， 又时，， 所以. 【变式2】已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）由数列的前n项和为，得， ，． （2）当时，， 而不满足上式，所以的通项公式为． 题型03 递推公式的应用 处理递推公式问题，先看清递推关系式与初始项，没有首项无法确定整个数列。基础题型可依次代入，逐项写出数列前几项，观察规律猜想通项。若要推导通项，先识别递推类型，区分累加、累乘、构造等模型。注意下标范围，使用an=Sn−Sn−1时要求n≥2。递推式变形后，求出通项务必带回原式检验，验证首项是否符合表达式。审题注意项之间的间隔，分清相邻项或隔项递推，避免下标写错，不要盲目套用固定模型，防止生搬硬套出现错误。 【典例1】九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 【答案】D 【详解】由题意，，即解下5个圆环需移动的最少次数为21. 【变式1】某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【答案】 【详解】依题意，，消去，得． 【变式2】在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 题型04 数列单调性的判断 判断数列单调性优先用作差法，计算an+1−an，根据结果正负判定增减；也可作商法，适用于各项恒正或恒负的数列。注意数列自变量 n 是正整数，不能直接套用函数导数判断单调性，函数极值点不一定对应数列项。递增数列满足an+1>an，递减数列满足an+1<an，摆动数列项正负交替。求数列最值时，可利用(an≥an−1​an≥an+1)求解。最后检验 n 取值范围，防止忽略 n 为正整数，出现增根失分。 【典例1】已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】，因为时单调递增， 若是递增数列，所以， ， 故，解得. 【变式1】（多选）下列数列中，为递增数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A， , 所以为递增数列，A正确. 对于B，，所以，所以不是递增数列，B错误. 对于C，，所以，所以不是递增数列，C错误. 对于D，当时，，所以当时为递增数列， 当时，，所以当时为递增数列， 又因为，所以是递增数列，D正确. 【变式2】若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 题型05 求数列的最大项与最小项 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． 【典例1】已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【答案】 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，分母，数列递减， 所以在处最大，最大项为. 【变式1】（多选）已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，即，故A正确； 由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确； ，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误； 令，解得，即当时，为负数，， 当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确． 【变式2】若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 题型06 周期数列 求解周期数列问题，先根据递推式推导an+T=an，找到最小正周期 T。算出周期后，用项数 n 除以周期 T，依靠余数确定该项对应周期内位置，余数为 0 时取周期最后一项。做题多写出前几项观察规律，快速判断周期。注意区分周期数列与周期函数，数列 n 只取正整数。遇到分段递推，仔细验证相邻项，防止周期判断出错。最后看清所求项的下标，准确计算余数，避免项数错位，这是填空高频丢分点。 【典例1】已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】由题可知， 可得数列是周期为的周期数列， 又因为， 所以. 【变式1】已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，， 故是周期为的周期数列，且， 记数列的前项积为，所以. 【变式2】已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 题型07 求数列通项 【典例1】已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 【变式1】在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【变式2】已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 题型08 根据数列的单调性求参数 【典例1】设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 【变式1】已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 【变式2】设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 1．已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】根据数列前的几项可得，， 所以. 2．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由， 则，， 所以数列的周期为4， 又， ，，， 故． 3．已知函数的图象关于点对称，数列的前项和，则（     ） A．201 B．202 C． D．102 【答案】A 【详解】由函数的图象关于点对称，可得； 当时，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，即，，，， = . 4．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 5．已知数列的前项和为，则________． 【答案】25 【详解】. 6．已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 【答案】 【详解】由题意，当时，， 而满足上式，因此， 则， 则， 所以． 7．记数列的前n项和为，若，则______． 【答案】 【详解】对于数列，其前项和为，则当且时，. 因此. 8．已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 【答案】26 【详解】， 当 ： 当 ： ： 数列周期为：，奇数项为，偶数项为 所以. 9．（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，， 则，，，…，， 以上各项相加得，所以. 因为也适合上式，所以. （2）由，得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 10．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 1．已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：D. 2．已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 3．若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 4．已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 5．已知数列满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【详解】由可得， 则数列为常数列，则， 故数列的通项公式为. 6．已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 7．若数列中，，则________． 【答案】 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 8．数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，，所以，解得， 当时，由，得， 两式相减得， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以是以3为常数的常数数列， 所以，所以. 9．已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，由，得，则． 因此，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， ， 由，得，又， 所以满足条件的最大整数. 10．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $