专题4.6 数列的求和（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.6 数列的求和（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 1 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 2 【题型3 错位相减法求和】 4 【题型4 裂项相消法求和】 4 【题型5 倒序相加法求和】 5 【题型6 分组（并项）法求和】 6 【题型7 放缩裂项求和】 7 【题型8 数列新定义中的求和问题】 8 知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式 1．等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：=. 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 【例1】（25-26高二上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【变式1-1】（24-25高二上·河南漯河·期末）已知数列为等差数列，且，则（   ） A．24 B．26 C．27 D．28 【变式1-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 【变式1-3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 【例2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【变式2-1】（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【变式2-2】（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式2-3】（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 知识点2 数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【题型3 错位相减法求和】 【例3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知是数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式3-3】（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【题型4 裂项相消法求和】 【例4】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·全国·单元测试）等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（    ） A．200 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型5 倒序相加法求和】 【例5】（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【题型6 分组（并项）法求和】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足，前项和为 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 【题型7 放缩裂项求和】 【例7】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【变式7-3】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【题型8 数列新定义中的求和问题】 【例8】（24-25高二下·安徽亳州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·上海宝山·二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【变式8-3】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 数列的求和（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 1 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 3 【题型3 错位相减法求和】 6 【题型4 裂项相消法求和】 9 【题型5 倒序相加法求和】 11 【题型6 分组（并项）法求和】 14 【题型7 放缩裂项求和】 16 【题型8 数列新定义中的求和问题】 21 知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式 1．等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：=. 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 【例1】（25-26高二上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【解题思路】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·河南漯河·期末）已知数列为等差数列，且，则（   ） A．24 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的项的性质，再结合等差数列的求和公式计算. 【解答过程】因为数列为等差数列，且， 所以，所以， 则. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）应用等差数列的前n项和公式求的通项公式，即可证结论； （2）根据已知求得数列的公差，再求即可. 【解答过程】（1）若的公差为，则， 所以，则， 故， 即是首项为，公差为的等差数列，得证； （2）由题设，则数列的公差， 所以，则. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设，根据可求出的值，由已知条件得出，可求出的值，即可得出数列的通项公式，结合等差数列的求和公式可求出； （2）利用等差数列的定义求出的表达式，结合等差数列的定义推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值. 【解答过程】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 【例2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 【变式2-1】（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【答案】A 【解题思路】首先根据已知条件求出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求出. 【解答过程】根据题意，已知，且各项均为整数， 得到， 解得．则． 故． 故选：A． 【变式2-2】（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去），   所以． （2）由于，则． 【变式2-3】（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【解题思路】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 知识点2 数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【题型3 错位相减法求和】 【例3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解答过程】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用错位相减法求和作答. 【解答过程】令数列的前n项和为，因为， 则， 则有 两式相减得：， 因此，有， 所以数列的前100项之和为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知是数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知等式成变形后，利用和的关系结合等差数列的性质可得； （2）由错位相减法求和可得. 【解答过程】（1）因为，所以，① 当时，，② ①－②得： 所以， 所以， 所以. 因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 两式相减得 ， 所以. 【变式3-3】（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求； （2）由错位相减法求和. 【解答过程】（1）对于数列，当时，，解得； 当时，，与原式作差可得（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以； 对于数列，当时，，解得， 时，， 与原式作差可得，因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）可知， 所以， 所以， 两式作差可得， 所以． 【题型4 裂项相消法求和】 【例4】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·全国·单元测试）等比数列的各项均为正数，且，．设为数列的前项和，则（    ） A．200 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知可得、，进而写出数列通项公式，则数列是首项、公差为1的等差数列，应用等差数列前n项和求，最后用裂项相消法求. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，则 ， 所以，所以． 因为，所以，所以， 所以 ，所以，， 即数列是首项、公差均为1的等差数列， 所以 ， 所以， 因此 ， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由结合平方差公式化简可得，再根据等差数列的定义和通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【解答过程】（1）由可得， 所以， 因为是正项数列，，所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得. 【解答过程】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故， 即， 整理得：，又，故可得； 又，即，故，， 解得，，； 故，. （2）由（1）可知，，故， 故 . 故数列的前项和 . 【题型5 倒序相加法求和】 【例5】（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用倒序相加法，可得答案. 【解答过程】 ，， 故选：B. 【变式5-2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解； （2）利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【题型6 分组（并项）法求和】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足，前项和为 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知递推式得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求． 【解答过程】由，，得，所以 ，则有， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 . 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【解答过程】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 【变式6-2】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【解题思路】（1）将条件变形为，结合等比数列的定义即可证明，求出数列的首项，利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由于，利用分组求和即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以. 由可知，，则， 所以数列是等比数列，其公比为4，首项为， 则， 所以的通项公式为. （2）由于， 所以， 则， 即的前项和. 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比，可得其通项公式； （2）代入得到的通项公式，利用分组求和计算可得结果. 【解答过程】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列， 所以. 设数列的公比为，则， 解得，或（舍）， 所以. （2）由（1）知， 因为，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 即数列的前项和. 【题型7 放缩裂项求和】 【例7】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和. 【解答过程】（1），① 当时，，② ①-②，得， 两边同时除以，得. 当时，. ， ，解得， 此时，也满足， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）证明：当时，， 当时，， ， 【变式7-1】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证. 【解答过程】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，， 则，， 因此， 所以. （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解答过程】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 【变式7-3】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式． （2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式． （3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围． 【解答过程】（1）因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. （2）证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. （3）由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 【题型8 数列新定义中的求和问题】 【例8】（24-25高二下·安徽亳州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【解答过程】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 【变式8-1】（2025·上海宝山·二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时，的通项公式，进而求出数列前2023项和. 【解答过程】当时，由于，此时， 当时，由于，此时， 所以数列的前2023项的和为 . 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 【变式8-3】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. （3）由（1）得到对恒成立，构造数列，确定其最大项即可求解； 【解答过程】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. （3）由（1）， 可化成： 即对恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以中最大项为， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $