4.1 数列的概念（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念 课标要点 1.理解数列的顺序性，能区分数列、项与序号，并从函数观点认识数列。 2.能用表格、图象、通项与递推表示数列，求指定项，判断某数是否为数列的项。 3.能比较相邻项判断基本单调性，理解前项和与通项的关系，并正确处理首项。 学习重难点 重点： 1.数列的概念、表示方法与函数观点。 2.通项、递推与前项和之间的基本联系。 难点： 1.序号的正整数限制，以及有限数列的项数限制。 2.由前项和求通项时，首项单独计算与合并检验。 知识点一 数列的概念 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示。其中第1项也叫做首项。 数列的一般形式是，简记为。 进一步理解： ①顺序性：数列中的数按确定的顺序排列，顺序不同就是不同的数列，如与是不同的数列； ②可重复性：同一个数可以在数列中重复出现，如； ③表示数列这个整体，表示数列的第项，二者含义不同。 （1）数列与函数 数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为。 对比项 函数 数列 定义域 使解析式有意义的实数集（或指定数集） 或它的有限子集 图象 一般是连续的曲线（或其一部分） 一群孤立的点 表示方法 解析法、列表法、图象法 通项公式、列表法、图象法、递推公式 特别提醒 数列中的项可以重复出现，但各项的位置不能任意交换；有穷数列讨论项的序号时，还要注意序号不能超过项数。 即学即练 1．（25-26高二上·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【答案】D 【详解】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 知识点二 数列的表示与通项公式 （1）通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 说明：①不是所有的数列都有通项公式，如的不足近似值构成的数列； ②同一个数列的通项公式可以不唯一，如数列的通项公式可以写成，也可以写成：当为奇数时，当为偶数时； ③由数列的前几项写出的通项公式，只是其中一个可能的通项公式。 （2）通项公式的应用 ①求项：把序号的值代入通项公式，即可求出相应的项； ②判断某数是否为数列的项：令等于这个数，解关于的方程，若有正整数解（有穷数列还要不超过项数），则这个数是数列的项，否则不是。 （3）数列的图象 以序号为横坐标、相应的项为纵坐标描点，得到的数列图象是一群孤立的点。 （4）观察法写通项公式的常用方法 数列特征 处理方法 各项正负相间 用或调节各项的符号 各项是分式 分别观察分子、分母与序号的关系 与、等接近 与、等熟悉的数列对照，再作加减调整 奇数项与偶数项规律不同 分为奇数、为偶数两种情况表示 易错提醒 解出的必须是正整数，才能说明这个数是数列的项；画数列的图象只描出孤立的点，不能连成连续的曲线。 即学即练 2．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【答案】A 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 知识点三 数列的分类与单调性 （1）数列的分类 分类标准 名称 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，即 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 常数列 各项都相等，即 （2）判断数列单调性的方法 ①作差法：判断的符号。若对一切恒成立，则数列递增；若恒小于0，则数列递减；若恒等于0，则为常数列。 ②作商法：当数列的各项均为正数时，若恒成立，则数列递增；若恒成立，则数列递减。 ③函数法：借助相应函数的单调性判断，但要注意自变量只取正整数。 （3）求数列的最大（小）项 若是数列的最大项，则当时满足且（首项为最大项时只需）；最小项同理。也可以先判断数列的单调性，再确定最大（小）项。 易错提醒 函数在上递增时，数列一定递增，反之不一定。如为递增数列的充要条件是对一切成立，即，而不是。 即学即练 3．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 知识点四 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项。 （1）通项公式与递推公式的比较 对比项 通项公式 递推公式 反映的关系 项与序号之间的关系 相邻两项（或多项）之间的关系 求某一项 把的值直接代入 从已知的项出发逐项计算 确定数列 可以确定一个数列 需同时给出首项（或前几项） （2）由递推公式求项 ①逐项代入：从已知的首项（或前几项）出发，依次代入递推公式求出后面的项，注意递推公式成立时的取值范围； ②周期性：若数列满足（为正整数）对一切成立，求时，可先求出前项，再用除以：余数为（）时，余数为0时。 特别提醒 只有递推公式不能确定一个数列，必须同时给出首项（或前几项）；逐项计算时还要保证分母不为0等条件成立。 即学即练 4．（25-26高二下·四川南充·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，， 所以，. 知识点五 数列的前n项和 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即。 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式。 （1）与的关系 显然，而，于是 当时，；当时，。 （2）由求的步骤 ①求首项：； ②当时，求； ③检验：把代入②中的式子，若结果等于，则两段可以合并为一个通项公式；否则写成分段的形式。 易错提醒 公式只在时成立，必须单独求并检验。如时，，，二者不能合并。 即学即练 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 题型01 数列概念与表示辨析 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 【变式1-2】已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 题型02 由通项求指定项 典｜例｜精｜析 【例2】在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 【变式2-2】已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】根据数列前的几项可得，， 所以. 题型03 判断某数是否为数列的项 典｜例｜精｜析 【例3】已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 【答案】B 【详解】归纳可得数列的通项为， 令，即，故为偶数且， 解得． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为偶数，则，故B不符合题意，D符合题意； 若为奇数，则，故AC均不符合题意. 【变式3-2】已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 题型04 观察规律写一个通项 典｜例｜精｜析 【例4】数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误， 对于D，，符合，故正确. 【变式4-2】（多选）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由于该数列的奇数项为负，偶数项为正， 故数列，…各项的符号可以用或表示，不能用， 又各项分母分别为，，，，…，故该数列各项的分母为， 故排除B选项，AC正确； 又该数列的奇数项为负，偶数项为正，也可用分段函数的形式表示，即，D正确. 题型05 递推公式求项 典｜例｜精｜析 【例5】已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 【变式5-2】已知数列满足，，则________． 【答案】 【详解】由得， 因为， 所以 所以数列的周期为4， 故 题型06 根据前n项和求通项 典｜例｜精｜析 【例6】已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，，所以，解得， 当时，由，得， 两式相减得， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以是以3为常数的常数数列， 所以，所以. 【变式6-2】已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 题型07 单调性与简单取值 典｜例｜精｜析 【例7】设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】（多选）下列数列中，为递增数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A， , 所以为递增数列，A正确. 对于B，，所以，所以不是递增数列，B错误. 对于C，，所以，所以不是递增数列，C错误. 对于D，当时，，所以当时为递增数列， 当时，，所以当时为递增数列， 又因为，所以是递增数列，D正确. 【变式7-2】若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 题型08 图表情境与数列模型 典｜例｜精｜析 【例8】观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 【答案】B 【详解】条直线相交，交点最多的个数设为， 则，，故，， 即，，，， 故7条直线相交，交点的个数最多是21个. 故选：B 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【答案】A 【详解】依题意，不妨取该灯塔的顶层灯数为， 因从顶层向下数，第二层起每层灯数是上一层的平方加1， 故从第二层起各层灯数构成的数列满足， 则第二层灯数为；第三层灯数为； 第四层灯数为. 故整座塔共悬挂的灯有（盏）. 【变式8-2】某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【答案】 【详解】依题意，，消去，得． 基础通关 一、单选题 1．是数列的（    ） A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 【答案】C 【详解】由，解得． 2．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【答案】D 【详解】. 二、填空题 3．数列满足，且，，则________． 【答案】 【详解】由已知，， 当时，，代入，，得， 当时，，代入，，得． 4．已知数列的前项和为，则________． 【答案】25 【详解】. 5．记数列的前n项和为，若，则______． 【答案】 【详解】对于数列，其前项和为，则当且时，. 因此. 6．已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 【答案】26 【详解】， 当 ： 当 ： ： 数列周期为：，奇数项为，偶数项为 所以. 7．已知数列中，，，，且，则________. 【答案】4051 【详解】因为，，， 所以当时，得，即，所以； 当时，得，即，所以； 当时，得，即，所以. 所以数列是周期为的循环数列，且. 所以. 8．若数列中，，则________． 【答案】 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 三、解答题 9．已知数列的前项和为，且，，求的值. 【答案】 【详解】令，则，得，， 由得，， 当时，也满足. 所以数列的通项公式为，则. 10．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 11．已知数列的通项公式为． (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 【答案】(1)， (2)20是该数列的第10项 【详解】（1）由，得，. （2）令，而，解得，所以20是该数列的第10项. 12．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【详解】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 素养提升 1．在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3377 【详解】由题可知，即，， 可知，可得， 所以， ， ， 所以. 2．（多选）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，， 所以，，，，故A错误，B正确； 由，依次代入推导： ， ， 所以，对任意，都有，故数列是周期为的周期数列. 于是，故C正确； ，故D错误. 3．（多选）已知，其中表示不超过x的最大整数，记的前n项和为，则（    ） A． B．， C． D．是递增数列 【答案】ACD 【详解】，所以A正确； ， 即存在，，所以B不正确； 当时，. 因为，且恒成立， 所以， 所以. 故C正确； 由题意知，. 当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以，即. 所以是递增数列. 故D正确. 4．已知数列的通项公式为 ，求数列的最大项． 【答案】最大项为． 【详解】法一：． 当时，；当时，． 因此， 所以数列的最大项为． 法二：设数列的最大项为，则，即，解得， 因为，所以，故数列的最大项为． 5．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 迁移创新 1．已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【详解】对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 对于①，，则当时，，数列有最小值，①错误； 对于②，，则当时，，数列有最小值，②正确； 对于③，取，数列是递增数列，， 令，函数在上单调递减，因此数列是递减数列，③错误； 对于④，由，得，且，则， 而，因此，④正确. 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2． 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），． (1)当时，试确定使得需要多少步雹程？ (2)记数列的前项和为．当时，求； (3)若，求所有可能的取值集合． 【答案】(1)19步雹程 (2) (3) 【详解】（1）根据递推关系式，当时，，，， 结合题干中信息，当时还需要16个步骤使得， 故使得需要3+16=19步雹程. （2）由题意得，， 从第21项开始，数列进入4→2→1循环节，周期，一个循环节之和为4+2+1=7 从第21项到第2026项共有2026-20=2006项，包含668个完整周期剩余2项 因此 所以 （3）因为， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或；   ①当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或；    ②当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以；             综上：或或 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.1 数列的概念 课标要点 1.理解数列的顺序性，能区分数列、项与序号，并从函数观点认识数列。 2.能用表格、图象、通项与递推表示数列，求指定项，判断某数是否为数列的项。 3.能比较相邻项判断基本单调性，理解前项和与通项的关系，并正确处理首项。 学习重难点 重点： 1.数列的概念、表示方法与函数观点。 2.通项、递推与前项和之间的基本联系。 难点： 1.序号的正整数限制，以及有限数列的项数限制。 2.由前项和求通项时，首项单独计算与合并检验。 知识点一 数列的概念 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示。其中第1项也叫做首项。 数列的一般形式是，简记为。 进一步理解： ①顺序性：数列中的数按确定的顺序排列，顺序不同就是不同的数列，如与是不同的数列； ②可重复性：同一个数可以在数列中重复出现，如； ③表示数列这个整体，表示数列的第项，二者含义不同。 （1）数列与函数 数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为。 对比项 函数 数列 定义域 使解析式有意义的实数集（或指定数集） 或它的有限子集 图象 一般是连续的曲线（或其一部分） 一群孤立的点 表示方法 解析法、列表法、图象法 通项公式、列表法、图象法、递推公式 特别提醒 数列中的项可以重复出现，但各项的位置不能任意交换；有穷数列讨论项的序号时，还要注意序号不能超过项数。 即学即练 1．（25-26高二上·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 知识点二 数列的表示与通项公式 （1）通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 说明：①不是所有的数列都有通项公式，如的不足近似值构成的数列； ②同一个数列的通项公式可以不唯一，如数列的通项公式可以写成，也可以写成：当为奇数时，当为偶数时； ③由数列的前几项写出的通项公式，只是其中一个可能的通项公式。 （2）通项公式的应用 ①求项：把序号的值代入通项公式，即可求出相应的项； ②判断某数是否为数列的项：令等于这个数，解关于的方程，若有正整数解（有穷数列还要不超过项数），则这个数是数列的项，否则不是。 （3）数列的图象 以序号为横坐标、相应的项为纵坐标描点，得到的数列图象是一群孤立的点。 （4）观察法写通项公式的常用方法 数列特征 处理方法 各项正负相间 用或调节各项的符号 各项是分式 分别观察分子、分母与序号的关系 与、等接近 与、等熟悉的数列对照，再作加减调整 奇数项与偶数项规律不同 分为奇数、为偶数两种情况表示 易错提醒 解出的必须是正整数，才能说明这个数是数列的项；画数列的图象只描出孤立的点，不能连成连续的曲线。 即学即练 2．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 知识点三 数列的分类与单调性 （1）数列的分类 分类标准 名称 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，即 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 常数列 各项都相等，即 （2）判断数列单调性的方法 ①作差法：判断的符号。若对一切恒成立，则数列递增；若恒小于0，则数列递减；若恒等于0，则为常数列。 ②作商法：当数列的各项均为正数时，若恒成立，则数列递增；若恒成立，则数列递减。 ③函数法：借助相应函数的单调性判断，但要注意自变量只取正整数。 （3）求数列的最大（小）项 若是数列的最大项，则当时满足且（首项为最大项时只需）；最小项同理。也可以先判断数列的单调性，再确定最大（小）项。 易错提醒 函数在上递增时，数列一定递增，反之不一定。如为递增数列的充要条件是对一切成立，即，而不是。 即学即练 3．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 知识点四 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项。 （1）通项公式与递推公式的比较 对比项 通项公式 递推公式 反映的关系 项与序号之间的关系 相邻两项（或多项）之间的关系 求某一项 把的值直接代入 从已知的项出发逐项计算 确定数列 可以确定一个数列 需同时给出首项（或前几项） （2）由递推公式求项 ①逐项代入：从已知的首项（或前几项）出发，依次代入递推公式求出后面的项，注意递推公式成立时的取值范围； ②周期性：若数列满足（为正整数）对一切成立，求时，可先求出前项，再用除以：余数为（）时，余数为0时。 特别提醒 只有递推公式不能确定一个数列，必须同时给出首项（或前几项）；逐项计算时还要保证分母不为0等条件成立。 即学即练 4．（25-26高二下·四川南充·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 知识点五 数列的前n项和 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即。 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式。 （1）与的关系 显然，而，于是 当时，；当时，。 （2）由求的步骤 ①求首项：； ②当时，求； ③检验：把代入②中的式子，若结果等于，则两段可以合并为一个通项公式；否则写成分段的形式。 易错提醒 公式只在时成立，必须单独求并检验。如时，，，二者不能合并。 即学即练 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D． 题型01 数列概念与表示辨析 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【变式1-2】已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 题型02 由通项求指定项 典｜例｜精｜析 【例2】在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 题型03 判断某数是否为数列的项 典｜例｜精｜析 【例3】已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 题型04 观察规律写一个通项 典｜例｜精｜析 【例4】数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 题型05 递推公式求项 典｜例｜精｜析 【例5】已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知数列满足，，则________． 题型06 根据前n项和求通项 典｜例｜精｜析 【例6】已知为数列的前项和，若，则__________． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【变式6-2】已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 题型07 单调性与简单取值 典｜例｜精｜析 【例7】设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】（多选）下列数列中，为递增数列的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型08 图表情境与数列模型 典｜例｜精｜析 【例8】观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【变式8-2】某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 基础通关 一、单选题 1．是数列的（    ） A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 2．已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 二、填空题 3．数列满足，且，，则________． 4．已知数列的前项和为，则________． 5．记数列的前n项和为，若，则______． 6．已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 7．已知数列中，，，，且，则________. 8．若数列中，，则________． 三、解答题 9．已知数列的前项和为，且，，求的值. 10．已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 11．已知数列的通项公式为． (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 12．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 素养提升 1．在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 2．（多选）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，其中表示不超过x的最大整数，记的前n项和为，则（    ） A． B．， C． D．是递增数列 4．已知数列的通项公式为 ，求数列的最大项． 5．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 迁移创新 1．已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2． 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），． (1)当时，试确定使得需要多少步雹程？ (2)记数列的前项和为．当时，求； (3)若，求所有可能的取值集合． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $