湖北省武汉市2026-2027学年人教版八年级数学上册 第14章和第15章 期中专题——尺规作图

湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级第14章和第15章期中专题——尺规作图 1．如图，△ABC，按以下步骤操作： （1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC，AC于G，H点； （2）分别以G，H点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于F点； （3）作射线CF； （4）分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别在AB两侧交于点M，N； （5）直线MN交射线CF于D点； （6）过点D作BC的垂线交BC于点E． 若BC＝8，AC＝6，则CE的值为（　　） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 4．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．如图，用尺规作图作一个已知角的平分线，下列结论中错误的是（　　） A．说明∠AOC＝∠BOC的依据是SSS B．点M，N到OC的距离不相等 C．ON＝OM D．OC上任意一点到∠AOB两边的距离相等 6．如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．97° B．98° C．99° D．100° 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 8．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，交AC于点M，连接BM．若BC＝7，△BCM的周长为18，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．25 C．29 D．32 10．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，用圆规和直尺作图，画出CD把△ABC分成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，不符合题意的是（　　） A． B． C． D． 11．如图所示的是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　） A．三边 B．两边及夹角 C．两角及夹边 D．两边及一边对角 12．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 13．按如下步骤作∠MAN的角平分线：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（2）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部相交于点C；（3）画射线AC，则射线AC为∠MAN的角平分线，用到作图的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝7，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．14 D．28 二．填空题（共6小题） 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是_________ ． 16．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，用圆规以点C为圆心作弧，分别交AC、AB于D、E两点，连接CE，DE．若∠ECB＝83°，则∠AED＝_________ °． 17．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝___________________ ． 18．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图： 其中射线OP为∠AOB的平分线的编号为 _________ ． 19．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E两点，若△ABC的周长比△ABD的周长大4cm，则边AC的长为 _____ cm． 20．如图，在△ABC中，有如下操作：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N；（2）直线MN交AB，BC于点D，E；（3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB，AC于点G，H；（4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在∠BAC的内部交于点P；（5）射线AP交直线MN于点Q，交BC于点F．现有以下结论： ①若∠ACB＝70°，∠BAC＝80°，则∠ABC＝30°； ②点D为AB中点； ③若AB＝4，AC＝2，则△ABF的面积是△ACF的面积的2倍； ④若∠ACB＝90°，，则EF的长为1． 其中正确的结论序号是 ________ ． 湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级第14章和第15章期中专题——尺规作图 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 1．如图，△ABC，按以下步骤操作： （1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC，AC于G，H点； （2）分别以G，H点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于F点； （3）作射线CF； （4）分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别在AB两侧交于点M，N； （5）直线MN交射线CF于D点； （6）过点D作BC的垂线交BC于点E． 若BC＝8，AC＝6，则CE的值为（　　） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【分析】如图，连接BD、AD，过点D作DP⊥CP交CA的延长线于点P，设BE＝x，根据尺规作图知：DM垂直平分AB，CD平分∠ACB，得AD＝BD，∠DCP＝∠DCE，DP＝DE，证明Rt△DPA≌Rt△DEB（HL）得AP＝BE＝x，证明△DCP≌△DCE（AAS）得PC＝EC，即AP+AC＝BC﹣BE，求得BE＝1，可得答案． 【解答】解：如图，连接BD、AD，过点D作DP⊥CP交CA的延长线于点P，设BE＝x， 由作图知：DM垂直平分AB，CD平分∠ACB， ∴AD＝BD，∠DCP＝∠DCE， ∵DP⊥CP，DE⊥BC，BC＝8，AC＝6， ∴DP＝DE，∠DPA＝90°＝∠DEB＝∠DEC， 在Rt△DPA和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DPA≌Rt△DEB（HL）， ∴AP＝BE＝x， 在△DCP和△DCE中， ， ∴△DCP≌△DCE（AAS）， ∴PC＝EC，即AP+AC＝BC﹣BE， ∴x+6＝8﹣x， ∴x＝1， 即BE＝1， ∴CE＝BC﹣BE＝8﹣1＝7， 即CE的值为7． 故选：C． 【点评】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【分析】利用作法得到OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，于是可根据“SSS”判定△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′， 则可根据“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′， 所以∠A′O′B′＝∠AOB． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【分析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可． 【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G， 由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线， ∴AG＝BG，EF⊥AB， ∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BC＝4，△ABC面积为10， ∴10， 解得AD＝5． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题是解答本题的关键． 4．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】利用SAS证明△EOD≌△FOC即可． 【解答】解：由作图步骤可知，OC＝OD，OE＝OF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△EOD≌△FOC（SAS）， 故选：B． 【点评】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 5．如图，用尺规作图作一个已知角的平分线，下列结论中错误的是（　　） A．说明∠AOC＝∠BOC的依据是SSS B．点M，N到OC的距离不相等 C．ON＝OM D．OC上任意一点到∠AOB两边的距离相等 【分析】根据作图可得ON＝OM，CN＝CM，证明△OCN≌△OCM（SSS）即可判断A；过点N作NP⊥OC于点P，过点M作MQ⊥OC于点Q，证明△OPN≌△OQM（AAS），即可判断B；根据作图即可判断C；点E为OC上任意一点，过点E作GE⊥OA于点G，EH⊥OB于点H，证明△OGE≌△OHE（AAS）即可判断D． 【解答】解：A、由作图可知：ON＝OM，CN＝CM， ∵ON＝OM，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC， ∴△OCN≌△OCM（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故A正确，不符合题意； B、过点N作NP⊥OC于点P，过点M作MQ⊥OC于点Q， ∵NP⊥OC，MQ⊥OC， ∴∠OPN＝∠OQM＝90°， ∵∠AOC＝∠BOC，∠OPN＝∠OQM＝90°，ON＝OM， ∴△OPN≌△OQM（AAS）， ∴PN＝QM， 故B错误，符合题意； C、由作图可得：ON＝OM，故C正确，不符合题意； D、点E为OC上任意一点，过点E作GE⊥OA于点G，EH⊥OB于点H， ∵GE⊥OA，EH⊥OB， ∴∠OGE＝∠OHE＝90°， ∵∠OGE＝∠OHE，∠AOC＝∠BOC，OE＝OE， ∴△OGE≌△OHE（AAS）， ∴EG＝EH， ∴OC上任意一点到∠AOB两边的距离相等， 故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 6．如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．97° B．98° C．99° D．100° 【分析】连接AB，BC，由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB，可得OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形，则51°，30°，进而可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝99°． 【解答】解：连接AB，BC， 由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形， ∴51°，，∠ACB＝60°， ∴∠ACO＝30°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝99°． 故选：C． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A、由作法知AD＝AC，可判断A；B、由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断B；C、由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断C；D由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断D． 【解答】解：A、由作法知AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意； B、由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°， 由作法知AD是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∴不能判定△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、由作法知所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． 8．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由SAS可判断△OAD≌△OBC，由全等三角形的性质得∠OAD＝∠OBC，由AAS可判定△APC≌△BPD，全等三角形的性质得AP＝BP，由SSS可判定△OAP≌△OBP，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质CP∥OB，由等腰三角形的性质得∠COP＝∠CPO，即可判断；第五个图由SSS可判定△OAE≌△OBE，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解： 由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线； 由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线， ∴OP⊥CD， ∴∠COP＝∠DOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB， 在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC， ∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD， ∴△APC≌△BPD（AAS）， ∴AP＝BP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP， ∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO， ∴∠CPO＝∠BOP， ∴∠COP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线， ∴OE＝AE＝BE， ∴△OAE≌△OBE（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，交AC于点M，连接BM．若BC＝7，△BCM的周长为18，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．25 C．29 D．32 【分析】由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，可得AM＝BM，则BC+BM+CM＝7+AM+CM＝7+AC＝18，则AC＝AB＝11，进而可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线， ∴AM＝BM． ∵BC＝7，△BCM的周长为18， ∴BC+BM+CM＝7+AM+CM＝7+AC＝18， ∴AC＝11． ∴AB＝11， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝11+11+7＝29． 故选：C． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，用圆规和直尺作图，画出CD把△ABC分成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，不符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由A选项的作图痕迹可知，AC＝AD，可知△ACD为等腰三角形；由B选项的作图痕迹可知，射线CD为∠ACB的平分线，可得40°，则∠ACD＝∠A，即△ACD为等腰三角形；由C选项的作图痕迹可知，所作为线段AC的垂直平分线，可得AD＝CD，则△ACD为等腰三角形；由D选项的作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线，不能得出△ACD或△BCD为等腰三角形，即可得出答案． 【解答】解：由A选项的作图痕迹可知，AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形， 故A选项不符合题意； 由B选项的作图痕迹可知，射线CD为∠ACB的平分线， ∴． ∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝40°， ∴∠ACD＝∠A， ∴△ACD为等腰三角形， 故B选项不符合题意； 由C选项的作图痕迹可知，所作为线段AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴△ACD为等腰三角形， 故C选项不符合题意； 由D选项的作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线， 不能得出△ACD或△BCD为等腰三角形， 故D选项不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．如图所示的是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　） A．三边 B．两边及夹角 C．两角及夹边 D．两边及一边对角 【分析】由作图可知，线段AB已知，α，β已知，由此即可判断． 【解答】解：由作图可知，线段AB已知，α，β已知， 故已知两角夹边， 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理． 13．按如下步骤作∠MAN的角平分线：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（2）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部相交于点C；（3）画射线AC，则射线AC为∠MAN的角平分线，用到作图的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【分析】由作图过程可知，AB＝AD，BC＝CD，结合全等三角形的判定可知，用到作图的依据是SSS． 【解答】解：由作图过程可知，AB＝AD，BC＝CD， ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴用到作图的依据是SSS． 故选：B． 【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝7，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．14 D．28 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，结合角平分线的性质可得DE＝CD＝4，再根据△ABD的面积为可得答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， 由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝CD＝4． ∴△ABD的面积是14． 故选：C． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题） 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是　112°　 ． 【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°， ∴∠A＝56°， 由题意知，DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A＝56°， ∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°， ∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°， 故答案为：112°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，用圆规以点C为圆心作弧，分别交AC、AB于D、E两点，连接CE，DE．若∠ECB＝83°，则∠AED＝　41.5　 °． 【分析】先根据等腰三角形的性质证明∠A＝∠B，在根据三角形外角的性质把∠2和∠3表示出来，从而列出关于∠1的方程，解方程即可． 【解答】解：如图所示： ， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A， 由题意可知：CD＝CE， ∴∠2＝∠3， ∵∠2＝∠A+∠1， ∴∠3＝∠A+∠1， ∵∠1+∠3＝∠B+∠ECB，∠ECB＝83°， ∴∠1+∠A+∠1＝∠B+83°， 2∠1+∠A＝∠A+83°， 2∠1＝83° ∠1＝41.5°，即∠AED＝41.5°， 故答案为：41.5． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握灵活运用三角形外角的性质． 17．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝　　 ． 【分析】利用三角形面积的不变性计算即可． 【解答】解：利用三角形面积的不变性计算可得， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂线的基本作图、与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形面积不变是解题的关键． 18．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图： 其中射线OP为∠AOB的平分线的编号为 　①②③④　 ． 【分析】根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：①：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线； ②：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴△ADO≌△BCO（SAS）， 同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， 射线OP为∠AOB的平分线； ③：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB， 可得∠CPO＝∠POB， 又由图可知CO＝CP， ∴∠COP＝∠CPO， ∴∠POB＝∠COP， 射线OP为∠AOB的平分线； ④：由作图痕迹可知，CO＝OD，△OCD是等腰三角形， ∴射线OP是CD的垂直平分线， 也是∠AOB的平分线． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E两点，若△ABC的周长比△ABD的周长大4cm，则边AC的长为 　4　 cm． 【分析】由题意可得：直线MN垂直平分AC，得到AD＝CD，再根据三角形的周长公式并结合题意即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E两点， ∴直线MN垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC，△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC， ∵△ABC的周长比△ABD的周长大4cm， ∴AC＝4cm， 故答案为：4． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 20．如图，在△ABC中，有如下操作：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N；（2）直线MN交AB，BC于点D，E；（3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB，AC于点G，H；（4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在∠BAC的内部交于点P；（5）射线AP交直线MN于点Q，交BC于点F．现有以下结论： ①若∠ACB＝70°，∠BAC＝80°，则∠ABC＝30°； ②点D为AB中点； ③若AB＝4，AC＝2，则△ABF的面积是△ACF的面积的2倍； ④若∠ACB＝90°，，则EF的长为1． 其中正确的结论序号是 　①③④　 ． 【分析】①正确．利用三角形内角和定理求解即可； ②错误．利用反证法判断即可； ③正确．过点F作FK⊥AC于点K，FJ⊥AB于点J，证明FJ＝FK，再利用三角形面积公式可得结论； ④正确．求出CE＝3，CF＝2，可得结论． 【解答】解：①∵∠ACB＝70°，∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣70°﹣80°＝30°，故①正确； ②假设D是AB的中点，∵MN垂直平分线段BC， ∴BE＝EC， ∴DE∥AC，显然与题目条件不符合，故假设错误．②错误； ③过点F作FK⊥AC于点K，FJ⊥AB于点J， ∵AF平分∠BAC， ∴FJ＝FK， ∴， ∴S△ABF＝2S△ACF，故③正确； ④∵DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BED＝90°， ∴DE∥AC， ∵BE＝EC， ∴BD＝AD， ∴AC＝2DE＝2， ∵∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， ∴BE＝EC3， ∵∠CAB＝90°﹣30°＝60°，AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝30°， ∴AF＝2CF， ∵AF2＝CF2+AC2， ∴4CF2＝CF2+12， ∴CF＝2（负根已经舍去）， ∴EF＝CE＝CF＝3﹣2＝1．故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/28 13:52:32；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $