专题5.2 函数的基本性质（高效培优讲义，3知识7重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

专题5.2 函数的基本性质 教学目标 1.理解偶函数、奇函数的概念与图像特征，会用定义判断并证明函数的奇偶性，能利用奇偶性求函数值、求解析式； 2.理解增函数、减函数（严格单调）的概念与单调区间的含义，能根据图像说出函数的单调区间，会用定义证明简单函数的单调性； 3.理解函数最大值、最小值的概念，能利用单调性或图像求简单函数的最值，掌握二次函数在闭区间上最值的求法。 教学重难点 教学重点 1. 函数奇偶性、单调性（严格单调）的概念及其符号语言刻画； 2. 用定义判断函数的奇偶性、证明函数的单调性； 3. 函数最值的概念，以及二次函数在闭区间上的最值求法。 教学难点 1. 从图像直观（形）到符号语言（数）的抽象概括过程，即函数奇偶性、单调性概念的形成； 2. 用定义证明函数单调性中的作差、变形与定号； 3. 含参函数的单调性与最值问题的分类讨论。 知识点01 函数的奇偶性 1. 偶函数：对于函数 y=f(x)，如果对于其定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么就称函数 y=f(x) 为偶函数。偶函数的图像关于 y 轴成轴对称。 2. 奇函数：对于函数 y=f(x)，如果对于其定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么就称函数 y=f(x) 为奇函数。奇函数的图像关于原点成中心对称。 3. 理解要点： （1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件：若定义域不关于原点对称，则该函数一定是非奇非偶函数； （2）判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称，再看 f(-x) 与 f(x)、-f(x) 的关系； （3）既奇又偶的函数必为常值函数 f(x)=0（在其定义域上）。 4. 判定方法： （1）图像法：图像关于 y 轴对称的为偶函数，关于原点对称的为奇函数，否则为非奇非偶函数； （2）定义法：①判断定义域是否关于原点对称；②计算 f(-x)，比较 f(-x) 与 f(x)、-f(x) 的关系；③下结论。 5. 重要性质： （1）若奇函数在 x=0 处有定义，则 f(0)=0； （2）奇偶性的四则运算规律如下表： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不确定 不确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 （3）复合函数 f(g(x)) 的奇偶性：内层函数为偶函数或外层函数为偶函数时，复合函数为偶函数；内、外层均为奇函数时，复合函数为奇函数。简记“遇偶则偶、双奇才奇”。 6. 拓展：函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a+x)=f(a-x)（对定义域内任意 x 成立）。 【即学即练】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】 【详解】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 知识点02 函数的单调性 1. 定义：设函数 y=f(x) 在区间 D 上有定义。如果对于区间 D 上的任意两个值 x₁、x₂，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)<f(x₂)，那么称函数 y=f(x) 在区间 D 上是严格增函数（简称增函数）；如果当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)>f(x₂)，那么称函数 y=f(x) 在区间 D 上是严格减函数（简称减函数）。“严格增”“严格减”“增”“减”统称为函数的单调性，区间 D 称为函数 y=f(x) 的单调区间。 2. 理解要点： （1）函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的局部性质，离开区间谈单调性没有意义； （2）定义中的 x₁、x₂ 具有三个特征：任意性、有大小（x₁<x₂）、同属一个单调区间，三者缺一不可； （3）一个函数在多个区间上单调时，各区间之间用“和”连接，不能用“∪”； （4）求单调区间必须先求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间。 3. 用定义证明单调性的步骤（五步法）： （1）取值：任取 x₁、x₂∈D，且 x₁<x₂； （2）作差：计算 f(x₁)-f(x₂)； （3）变形：对差式进行因式分解、通分、配方、有理化等恒等变形，使其易于判断符号； （4）定号：确定 f(x₁)-f(x₂) 的符号； （5）结论：根据定义作出判断。 4. 运算性质（设函数在相应区间上具有单调性）： （1）f(x) 与 f(x)+c（c 为常数）的单调性相同； （2）当 a>0 时，f(x) 与 a·f(x) 的单调性相同；当 a<0 时，f(x) 与 a·f(x) 的单调性相反； （3）当 f(x) 恒正或恒负时，f(x) 与 1/f(x) 的单调性相反； （4）当 f(x)、g(x) 同为增函数（或同为减函数）时，f(x)+g(x) 也是增函数（或减函数）； （5）复合函数 y=f(g(x)) 的单调性遵循“同增异减”法则：内、外层函数单调性相同则复合函数为增函数，相异则为减函数。 5. 常见函数的单调区间： 函数 严格增区间 严格减区间 y=kx+b（k>0） R 无 y=kx+b（k<0） 无 R y=（k>0） 无 (-∞,0) 和 (0,+∞) y=（k<0） (-∞,0) 和 (0,+∞) 无 y=x² [0,+∞) (-∞,0] y=x³ R 无 y= [0,+∞) 无 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________. 【答案】， 【详解】因为当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又函数是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得的单调减区间为， 故答案为：， 知识点03 函数的最值 1. 最大值：设函数 y=f(x) 的定义域为 I。如果存在实数 M 满足：（1）对任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；（2）存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=M，那么称 M 是函数 y=f(x) 的最大值。 2. 最小值：设函数 y=f(x) 的定义域为 I。如果存在实数 m 满足：（1）对任意的 x∈I，都有 f(x)≥m；（2）存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=m，那么称 m 是函数 y=f(x) 的最小值。 3. 理解要点： （1）最值定义包含两个条件：一是“恒成立”（f(x)≤M 或 f(x)≥m 对定义域内一切 x 成立），二是“能取到”（存在 x₀ 使等号成立），两者缺一不可； （2）若函数的最值存在，则必唯一；最大值对应图像的最高点，最小值对应图像的最低点。 4. 求函数最值的常用方法： （1）图像法：作出函数图像，观察最高点与最低点（数形结合）； （2）单调性法：若函数在区间上单调，则最值在区间端点处取得； （3）配方法：适用于二次函数或可化为二次函数的函数； （4）换元法、不等式法等（后续学习中继续掌握）。 5. 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）在闭区间 [m,n] 上的最值： （1）轴定区间定：直接判断对称轴与区间的位置关系，结合端点函数值确定最值； （2）轴动区间定（或轴定区间动）：按对称轴在区间左侧、区间内部、区间右侧三种情况分类讨论，结合图像确定最值。 三种性质对比小结 性质 研究对象 代数刻画 图像特征 主要判定与应用 奇偶性 定义域内的对称关系 f(-x)=-f(x) 或 f(-x)=f(x) 关于原点或 y 轴对称 定义法、图像法；求值、求解析式 单调性 区间内函数值随自变量的变化 x₁<x₂ 时 f(x₁)<f(x₂)（严格增） 图像上升或下降 定义法、图像法、复合“同增异减”；比较大小、解不等式 最值 函数值中的最大与最小 恒成立且等号能取到 图像的最高点、最低点 图像法、单调性法、配方法；二次函数闭区间最值 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 【答案】 【详解】因为两个非负实数、满足， 所以，， 所以， 令，对称轴为， 由二次函数单调性可知当时，取得最小值. 题型01 函数奇偶性的判断与证明 【例1】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）证明：函数是奇函数． 【详解】由题意得，即， 解得， 则的定义域为，且关于原点对称， ， ， 所以函数是奇函数． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，满足，．判断的奇偶性并证明你的结论． 【详解】奇函数，证明： 因为，，且 ，， 所以，   解得，，   故，． 又因为函数的定义域为 ，关于原点对称， 所以成立． 所以是奇函数． 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数 （且） (1)若，求函数的值域； (2)若，是否存在正数b，使得函数是偶函数，请说明理由． 【详解】（1）若，则， 令，则，所以， 因为，所以，， 所以，则，即函数的值域为. (2)存在，使得函数是偶函数，理由如下： 若，则，记， （必要性证明） 若函数为偶函数，定义域为R，关于原点对称， 则，， 由偶函数性质可得，得或， 因为，所以，必要性成立. （充分性证明） 当时，，定义域为R，关于原点对称， 对于任意的，都有成立， 所以，故为偶函数，充分性成立. 综上：当时为偶函数． 【变式1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，. (1)时，求函数的值域. (2)讨论函数的奇偶性. 【详解】（1）时，， 当时，； 当，， 又因为是增函数，所以此时； 当时，； 综上时，求函数的值域为； （2）根据题意，函数定义域为， ，函数不可能为奇函数； 若函数为偶函数，则 又， ，则，解得， 综上，时，函数为偶函数， 时，函数为非奇非偶函数． 题型02 利用奇偶性求值与求解析式 【例2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为________. 【答案】8 【详解】因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，即，得， 且知，代入得. 故答案为：8. 【变式2-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【答案】 【详解】当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知函数是奇函数，当时，；则当时，______________. 【答案】 【详解】当时，则，， 又，所以. 故答案为：. 题型03 用定义证明函数的单调性 【例3】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，且是定义在上的偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【详解】（1）因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 即对任意恒成立， 解得. (2)函数在上单调递增；证明如下： 由（1）可得， 任取，且， 则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【变式3-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）（1）已知函数，判断奇偶性，并证明； （2）判断并证明函数在区间上单调性. 【详解】（1）奇函数，证明如下： 定义域， 对任意的，都有，所以是奇函数. （2）严格递减，证明如下： 在上任取， ， 当时，，∴， 所以在上严格递减. 【变式3-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中． (1)当时，请用函数奇偶性的定义证明：函数是偶函数； (2)当时，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【详解】(1)当时，， 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数. (2)当时，，在上为增函数，证明如下： 设，则 因为在上为增函数，且，所以，所以， 又，，所以， 所以，即，可得. 所以函数在上为增函数. 题型04 求函数的单调区间 【例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________． 【答案】和 【详解】当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时，在上单调递减，单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，在单调递减，在单调递增， 综上，函数在上的单调增区间为和． 故答案为：和． 【变式4-1】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的单调减区间为__________. 【答案】 【详解】由，， 而，则函数为偶函数， 而函数在上单调递增， 则函数的单调减区间为. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·上海宝山·期中）已知函数在区间上是严格减函数且函数值不恒为负，则由整数构成的集合为__________. 【答案】 【详解】函数， 由函数在区间上是严格减函数，得，解得， 由函数值不恒为负，得，解得，因此，而， 所以整数构成的集合为. 故答案为： 题型05 利用单调性比较大小、解不等式 【例5】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，又，试写出的大小关系______. 【答案】 【详解】由，，当且仅当时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 又在单调递减，所以， 所以， 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知定义在上的奇函数，且． (1)求、的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式． 【详解】（1）因为为奇函数，所以，即， 整理得，解得， 又因为，解得，综上所述，，； 单调递增，证明如下： 由（1）可得， 对于任意、，且， ， 因为，所以，即， 所以，故在上严格单调递增，得证. （2）由是奇函数，则不等式可整理成， 因为是定义在的奇函数，且在上单调递增， 故该函数在上为增函数， 又因为该函数在上连续，故函数在上是增函数， 所以，解得，所以的取值范围是． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求关于的不等式的解集. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，， 当时，， 是定义在上的奇函数，， 当时，，， ，， ； （2）当时，单调递增，又因为当从右侧趋近于时，，所以在上单调递增，结合是定义在上的奇函数，所以是定义在上的单调递增函数， 因为，所以也就是，即， 所以，解得， 不等式的解集为区间. 题型06 奇偶性与单调性的综合应用 【例6】（25-26高一下·上海杨浦·期中）设为常数，且函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）函数为奇函数，则满足， 所以，解得，则. 因为，所以当时，为奇函数，满足题意. （2）函数在上严格递增.证明如下： 当时，， 则， 又因为，所以，，， 所以，即， 故函数在上严格递增． （3）若，则， 令，则， 要使它小于0，需，即， 所以，故.结合，得 若，则， 由奇函数性质知， 于是 由于严格递增，恒成立，所以. 综上，. 【变式6-1】（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知定义域为的函数 (1)判断函数的奇偶性，并用奇偶性的定义证明； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】(1)函数为奇函数，证明： 因为，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数； (2)函数为减函数，证明： ，函数的定义域为. 任取，，令， 则 ， 因为函数为增函数，，所以，即， 又，，所以，即， 即， 所以函数为减函数. （3）因为函数为奇函数， 所以不等式等价于，即， 又函数是减函数，所以， 所以对恒成立，所以， 故实数的取值范围是． 【变式6-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知偶函数满足，奇函数满足． (1)请直接写出的解析式（无需求解过程）； (2)求关于m的不等式的解集； (3)存在满足，求的取值范围． 【详解】（1）因为偶函数满足，奇函数满足． 所以，所以，所以. ，即，所以，所以. ． （2）由（1）知，其定义域为． 令，在上，单调递减， 所以单调递减．又因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知在上单调递减． 因为在上单调递减，所以． 解：即恒成立，， 即，解得，解，即， 解：即，因式分解得， 解得或．综合以上三个不等式的解，取交集得 因此，不等式的解集为． （3）， 所以的值域为． 因为存在满足， 所以． 即，令，则， 即，因式分解得，解得或（舍去）． 所以，解得．又因为，所以． 因此，的取值范围是． 【变式6-3】（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）已知函数为奇函数，，其中m，． (1)若函数的图象过点，求实数和的值； (2)若，试判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设函数，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数为奇函数，可得， 即，可得， 又的图象过点，得，可得，解得， 所以，. （2）当时，，，在上单调递增， 证明如下：设， 则 ， 由，可得，，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （3）当时，， 当时，， 当时，对任意，， 而对任意，不满足条件，舍去； 当时，，， 对，，， 由题意，，可得，即， 所以， 当时，，， 对，，， 所以，得， 令，易得在上严格递减，， 所以，即， 综上，实数的取值范围为. 题型07 奇偶性与值域、最值的综合 【例7】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知为给定实数，求的表达式； (3)把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 【详解】(1)当 时，， 因为 ，所以 为奇函数， 当 时，，， 所以 ，， 所以 不是奇函数也不是偶函数， 综上，当时，函数为奇函数， 当时，函数即不是奇函数也不是偶函数； （2）因为方程 的两个实根为 、， 即方程 的两个实根为 、； ，所以 ，， ， ， ， (3)（i）函数 在 上是单调递增函数； 证明：任取 ， 则， 因为 ，所以 ，， 两式相加得 ， 又因为 ， 所以 ， 所以， 又因为，所以，所以， 所以函数 在 上是单调递增函数. （ii）由（i）知函数 在 上单调递增函数， 则 ， 因为 恒成立，即 恒成立， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以，即 故 的取值范围是 . 【变式7-1】（24-25高一上·上海·期末）已知定义在上的函数是偶函数 (1)求的值； (2)解不等式； (3)设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）依题意，由可得： 即，即， 即得，因不恒为0，故得；，解得. （2）由可得， 即，整理得：，设，则有， 解得或，即或， 故原不等式的解集是. （3）在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值是，只需在时的函数值大于等于3， 因，则， 由可得， 当时，不等式恒成立； 当时，，即，即， 因，当且仅当，即时等号成立， 故，即的取值范围是. 【变式7-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数，其中. (1)若，且，求x的值. (2)若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. (3)已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）时，， ，即，解得， 故x的值为. （2）因为函数为偶函数， 所以，即， 整理得，解得，即， 当时，令，，为对勾函数，所以， 所以， 在上有解，即在上有解， ，则，所以， 故实数m的取值范围为. （3）因为在区间上是奇函数，所以有，即， 整理得，解得，即，， 由（2）知，， 所以， ①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以； ②当，令，，为对勾函数，所以； 所以的值域为， 对于上的任意实数，，，不等式恒成立，则 （i）当时，， ，解得， （ii）当时，， ，解得， 综上，的取值范围是. 【变式7-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． (1)若，，求； (2)已知点，点在直线上，证明； (3)已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 【详解】（1），，∴由题知. （2）∵点在直线上，∴设. ，. 由绝对值不等式可知：， 当且仅当，即时等号成立. . （3）∵动点在函数，的图象上，∴设，. ，. 设，. 则的定义域关于原点对称，且， ∴函数，为偶函数， 故只需研究函数在的最大值即可. 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递增，； 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，； 当时，令得，， 由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为； 开口向上，对称轴为，故在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，此时，，； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，. 综上，. 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递增，. ∴函数的最小值为. 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若是偶函数，则函数的定义域关于原点对称， 若函数的定义域关于原点对称，但不一定成立， 比如的定义域为R，但不是偶函数， 所以“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的必要非充分条件. 故选：B 2．（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）以下三个代数式：（1）；（2）；（3）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义，那么代数式的最小值为2的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】（1）仅当同号时，，由基本不等式得； 若异号，，故，此时最小值不是2； （2）中，，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，故最小值为2； （3）令，则，函数化为，对勾函数在上单调递增， 最小值为，等号成立条件无法取到，故最小值不是2； 综上，最小值为2的代数式有1个． 3．（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，在R上既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，满足，为奇函数， 在均为单调递减函数，在定义域上不是单调递减函数，故错误； 对于B，令得，即函数的定义域为， 满足，为奇函数， 因为在单调递减，函数在上单调递增， 所以，根据复合函数单调性得在单调递减， 故在为奇函数，且单调递减，故错误； 对于C，定义域为R，为奇函数，且在R上单调递减，故正确； 对于D，，定义域为R，且在R上单调递减，不具有奇偶性，故错误. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）函数的严格减区间是________. 【答案】和 【详解】函数， 可作出函数的图像，如图， 由图可知，函数的严格减区间为：和. 故答案为：和 5．（25-26高一上·上海·期中）函数在区间上为严格减函数，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】，则函数在区间上为单调递减函数， 在区间上为单调递增函数， 要使函数在区间上为严格减函数，则. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 可得，而， 得到，解得. 7．（25-26高一上·上海奉贤·期末）定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数______． 【答案】0 【详解】由可知为偶函数， 所以， 即， 解得，此时为偶函数，符合题意. 8．（25-26高一上·上海·期末）函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________. 【答案】或 【详解】由，函数图象开口向上且对称轴为， 又函数在区间上单调，则或. 故答案为：或 9．（25-26高一上·上海杨浦·期末）不等式的解集是__________. 【答案】 【详解】因为在定义域内单调递减， 若，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，. 所以. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海·期末）已知，若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【详解】因为，所以，所以原函数的定义域为， 因为原函数为偶函数，所以， 所以，所以对任意 恒成立， 因为 不恒为0（如当 时，），故必有，解得. 12．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 【答案】 【详解】由条件可知，在单调递增，且在单调递减， 所以，或， 所以不等式，等价于或， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时，由函数与函数都是减函数，则函数为增函数，故不符合题意； 当时，由函数为增函数且为减函数，则函数为减函数，符合题意. 由题意可得，解得， 综上可得：. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 【答案】 【详解】因为时，，函数为增函数， 所以， 又是定义域为的偶函数， 所以图象关于轴对称，故当时，， 即的值域. 故答案为： 15．（25-26高一上·上海松江·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ， 当时，， 又， 或， 解得或或， 则不等式的解为． 16．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 17．（25-26高一上·上海·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均增长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等问题，v的值为0（千克/年）． (1)当时，求出函数的表达式： (2)当养殖密度x多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，是关于的一次函数，假设， 则，解得， 所以． （2）当时，，则，易得， 当时，，则， 当时，取得最大值． 因为，所以当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米． 1．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 【答案】A 【详解】命题①：根据题意，则， ，， 故，一定有，即， 所以“晨晖函数”一定是奇函数，故命题①正确； 命题②，由可知，点在函数图象上， 根据“晨晖函数”定义，点也必在函数图象上， 由于这四个点的横坐标各不相同，不违背函数的定义， 故可以构造出满足条件的“晨晖函数”，因此存在这样的函数，命题②正确. 2．（25-26高一上·上海·期末）定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题： ①为偶函数； ②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1； ③当时，的最小值为9； ④“”是“”成立的充要条件. 正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】函数等价于，这是一个偶函数，故①正确. 对于②，不等式等价于，即, 由于，故，故②正确. 对于③，当时，，, 两式相加得,， 而，，以此类推，可得,等号成立时,,故③正确. 对于④，，，即，这对任意的都成立，故不是它的充要条件.故④错误. 故选:C 3．（25-26高一上·上海闵行·期末）定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（   ） ①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值； ③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①，构造函数， 当时，，则； 当时，， 则； 当时，，则； 综上可知，任意，，故是偶函数； 如图，作函数的图象， 结合图象可知，当，任意，有； 当时，都存在，使得. 故存在是偶函数，满足题意，即①正确； 对于②，构造函数， 如图，作函数的图象， 如图可知，在处取到最小值为， 且， 故存在函数在处取到最小值，满足题意，即②正确； 对于③若在上是减函数，则对任意， ，， 故，这与矛盾， 故不存在上的减函数满足题意，③错误； 对于④，构造函数， 如图，作函数的图象， 如图可知，当取得最大值， 且， 故存在函数在处取到最大值，满足题意，④正确； 综上所述，①②④正确. 故选：D 4．（25-26高一上·上海·期末）偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______ 【答案】 【详解】令， 在区间上是严格减函数，，在区间上是严格增函数， 在区间上是严格减函数， 又 也是上的偶函数， 由得，又， 即， ，解得 故答案为： 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意； 当时，第一段函数为常函数；第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，即， ，即 所以，时，函数的值域范围为，不存在最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以函数的值域为，无最小值； 当时，第一段函数在为减函数， 函数值的范围为，且， 第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数， 所以，函数的值域为，无最小值. 综上，函数有最小值，实数的取值范围是. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期末）在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸→目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸→原始尺寸），则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为函数与均为单调函数， 所以三个尺寸对，，中， ，来自同一个变换函数，来自另一个变换函数. 若，来自正向变换函数，来自逆向变换函数， 则， 由和两式相减得，即， 所以， 化简得，解得，则，，所以. 若，来自逆向变换函数，来自正向变换函数， 则， 由和两式相减得，即， 因为，故，即，所以，即， 由，得， 所以，化简得，即， 所以，又，解得， 所以， ， 所以. 综上，的最小值为. 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数． (1)求的定义域并证明是奇函数； (2)解不等式． 【详解】（1）由于恒成立，恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 所以是奇函数， （2）， 因为为奇函数，故， 所以， 又当时，单调递增， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在R上单调递增， 所以，即， 故，所以，解得， 所以不等式解集为. 8．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数的表达式为． (1)若，解关于的不等式； (2)若是上的奇函数，求的值； (3)若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 【详解】（1）当时，， 则不等式可化为. 因为恒成立， 得到. 即. 因式分解得， 不等式的解集为. （2）因为是上的奇函数，所以 将代入，解得， 当时，，其定义域为关于原点对称， 且， 满足奇函数的定义，因此. （3）当时，， 设，且. 展开分子： 因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 因此，函数在上是严格减函数. 9．（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 【详解】(1)是，理由如下： 对任意、、，，， ，则，则， 因此，函数是函数的一个具有三角形性质的关联函数. （2）由题意可知，对任意的、、，有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 由题意可得对任意的恒成立，所以，， 令，则， 因为函数在上为增函数，则，且，故. （3）因为，， 则，所以，，所以，，分以下三种情况讨论： 当时，则，显然对任意的、、，成立； 当时，则， 对任意的、、，成立， 只需，解得，此时，； 当时，则， 只需，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 10．（24-25高一上·上海宝山·期末）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. (1)给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； (2)给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； (3)给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【详解】(1)函数是“一致变化函数”，理由： 取，， 所以函数是“一致变化函数”. （2）定义域为， 因为是“一致变化函数”，其中， 对一切成立，故有. 因为， 所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而， 所以，令，故且， 所以，当且仅当， 即，时等号同时取到.所以的最小值为4. （3）取，， ， 所以函数是“一致变化函数”. ，， 因为为偶函数且在上为减函数， 所以①当时，有，设， 即， ， ②当时，有，， ， ③当时，； 综上，等价于研究对恒成立时的取值范围， 对恒成立， 恒成立，恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令，对恒成立， 又，所以在上为严格增函数， 只需即可，解得. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 函数的基本性质 教学目标 1.理解偶函数、奇函数的概念与图像特征，会用定义判断并证明函数的奇偶性，能利用奇偶性求函数值、求解析式； 2.理解增函数、减函数（严格单调）的概念与单调区间的含义，能根据图像说出函数的单调区间，会用定义证明简单函数的单调性； 3.理解函数最大值、最小值的概念，能利用单调性或图像求简单函数的最值，掌握二次函数在闭区间上最值的求法。 教学重难点 教学重点 1. 函数奇偶性、单调性（严格单调）的概念及其符号语言刻画； 2. 用定义判断函数的奇偶性、证明函数的单调性； 3. 函数最值的概念，以及二次函数在闭区间上的最值求法。 教学难点 1. 从图像直观（形）到符号语言（数）的抽象概括过程，即函数奇偶性、单调性概念的形成； 2. 用定义证明函数单调性中的作差、变形与定号； 3. 含参函数的单调性与最值问题的分类讨论。 知识点01 函数的奇偶性 1. 偶函数：对于函数 y=f(x)，如果对于其定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么就称函数 y=f(x) 为偶函数。偶函数的图像关于 y 轴成轴对称。 2. 奇函数：对于函数 y=f(x)，如果对于其定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么就称函数 y=f(x) 为奇函数。奇函数的图像关于原点成中心对称。 3. 理解要点： （1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件：若定义域不关于原点对称，则该函数一定是非奇非偶函数； （2）判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称，再看 f(-x) 与 f(x)、-f(x) 的关系； （3）既奇又偶的函数必为常值函数 f(x)=0（在其定义域上）。 4. 判定方法： （1）图像法：图像关于 y 轴对称的为偶函数，关于原点对称的为奇函数，否则为非奇非偶函数； （2）定义法：①判断定义域是否关于原点对称；②计算 f(-x)，比较 f(-x) 与 f(x)、-f(x) 的关系；③下结论。 5. 重要性质： （1）若奇函数在 x=0 处有定义，则 f(0)=0； （2）奇偶性的四则运算规律如下表： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不确定 不确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 （3）复合函数 f(g(x)) 的奇偶性：内层函数为偶函数或外层函数为偶函数时，复合函数为偶函数；内、外层均为奇函数时，复合函数为奇函数。简记“遇偶则偶、双奇才奇”。 6. 拓展：函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a+x)=f(a-x)（对定义域内任意 x 成立）。 【即学即练】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 知识点02 函数的单调性 1. 定义：设函数 y=f(x) 在区间 D 上有定义。如果对于区间 D 上的任意两个值 x₁、x₂，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)<f(x₂)，那么称函数 y=f(x) 在区间 D 上是严格增函数（简称增函数）；如果当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)>f(x₂)，那么称函数 y=f(x) 在区间 D 上是严格减函数（简称减函数）。“严格增”“严格减”“增”“减”统称为函数的单调性，区间 D 称为函数 y=f(x) 的单调区间。 2. 理解要点： （1）函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的局部性质，离开区间谈单调性没有意义； （2）定义中的 x₁、x₂ 具有三个特征：任意性、有大小（x₁<x₂）、同属一个单调区间，三者缺一不可； （3）一个函数在多个区间上单调时，各区间之间用“和”连接，不能用“∪”； （4）求单调区间必须先求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间。 3. 用定义证明单调性的步骤（五步法）： （1）取值：任取 x₁、x₂∈D，且 x₁<x₂； （2）作差：计算 f(x₁)-f(x₂)； （3）变形：对差式进行因式分解、通分、配方、有理化等恒等变形，使其易于判断符号； （4）定号：确定 f(x₁)-f(x₂) 的符号； （5）结论：根据定义作出判断。 4. 运算性质（设函数在相应区间上具有单调性）： （1）f(x) 与 f(x)+c（c 为常数）的单调性相同； （2）当 a>0 时，f(x) 与 a·f(x) 的单调性相同；当 a<0 时，f(x) 与 a·f(x) 的单调性相反； （3）当 f(x) 恒正或恒负时，f(x) 与 1/f(x) 的单调性相反； （4）当 f(x)、g(x) 同为增函数（或同为减函数）时，f(x)+g(x) 也是增函数（或减函数）； （5）复合函数 y=f(g(x)) 的单调性遵循“同增异减”法则：内、外层函数单调性相同则复合函数为增函数，相异则为减函数。 5. 常见函数的单调区间： 函数 严格增区间 严格减区间 y=kx+b（k>0） R 无 y=kx+b（k<0） 无 R y=（k>0） 无 (-∞,0) 和 (0,+∞) y=（k<0） (-∞,0) 和 (0,+∞) 无 y=x² [0,+∞) (-∞,0] y=x³ R 无 y= [0,+∞) 无 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________. 知识点03 函数的最值 1. 最大值：设函数 y=f(x) 的定义域为 I。如果存在实数 M 满足：（1）对任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；（2）存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=M，那么称 M 是函数 y=f(x) 的最大值。 2. 最小值：设函数 y=f(x) 的定义域为 I。如果存在实数 m 满足：（1）对任意的 x∈I，都有 f(x)≥m；（2）存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=m，那么称 m 是函数 y=f(x) 的最小值。 3. 理解要点： （1）最值定义包含两个条件：一是“恒成立”（f(x)≤M 或 f(x)≥m 对定义域内一切 x 成立），二是“能取到”（存在 x₀ 使等号成立），两者缺一不可； （2）若函数的最值存在，则必唯一；最大值对应图像的最高点，最小值对应图像的最低点。 4. 求函数最值的常用方法： （1）图像法：作出函数图像，观察最高点与最低点（数形结合）； （2）单调性法：若函数在区间上单调，则最值在区间端点处取得； （3）配方法：适用于二次函数或可化为二次函数的函数； （4）换元法、不等式法等（后续学习中继续掌握）。 5. 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）在闭区间 [m,n] 上的最值： （1）轴定区间定：直接判断对称轴与区间的位置关系，结合端点函数值确定最值； （2）轴动区间定（或轴定区间动）：按对称轴在区间左侧、区间内部、区间右侧三种情况分类讨论，结合图像确定最值。 三种性质对比小结 性质 研究对象 代数刻画 图像特征 主要判定与应用 奇偶性 定义域内的对称关系 f(-x)=-f(x) 或 f(-x)=f(x) 关于原点或 y 轴对称 定义法、图像法；求值、求解析式 单调性 区间内函数值随自变量的变化 x₁<x₂ 时 f(x₁)<f(x₂)（严格增） 图像上升或下降 定义法、图像法、复合“同增异减”；比较大小、解不等式 最值 函数值中的最大与最小 恒成立且等号能取到 图像的最高点、最低点 图像法、单调性法、配方法；二次函数闭区间最值 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 题型01 函数奇偶性的判断与证明 【例1】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）证明：函数是奇函数． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，满足，．判断的奇偶性并证明你的结论． 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数 （且） (1)若，求函数的值域； (2)若，是否存在正数b，使得函数是偶函数，请说明理由． 【变式1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，. (1)时，求函数的值域. (2)讨论函数的奇偶性. 题型02 利用奇偶性求值与求解析式 【例2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为________. 【变式2-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【变式2-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【变式2-3】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知函数是奇函数，当时，；则当时，______________. 题型03 用定义证明函数的单调性 【例3】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，且是定义在上的偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【变式3-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）（1）已知函数，判断奇偶性，并证明； （2）判断并证明函数在区间上单调性. 【变式3-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中． (1)当时，请用函数奇偶性的定义证明：函数是偶函数； (2)当时，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 题型04 求函数的单调区间 【例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________． 【变式4-1】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的单调减区间为__________. 【变式4-2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【变式4-3】（25-26高一上·上海宝山·期中）已知函数在区间上是严格减函数且函数值不恒为负，则由整数构成的集合为__________. 题型05 利用单调性比较大小、解不等式 【例5】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，又，试写出的大小关系______. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知定义在上的奇函数，且． (1)求、的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求关于的不等式的解集. 题型06 奇偶性与单调性的综合应用 【例6】（25-26高一下·上海杨浦·期中）设为常数，且函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若，求的取值范围． 【变式6-1】（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知定义域为的函数 (1)判断函数的奇偶性，并用奇偶性的定义证明； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知偶函数满足，奇函数满足． (1)请直接写出的解析式（无需求解过程）； (2)求关于m的不等式的解集； (3)存在满足，求的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）已知函数为奇函数，，其中m，． (1)若函数的图象过点，求实数和的值； (2)若，试判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设函数，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 题型07 奇偶性与值域、最值的综合 【例7】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)已知为给定实数，求的表达式； (3)把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·期末）已知定义在上的函数是偶函数 (1)求的值； (2)解不等式； (3)设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【变式7-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数，其中. (1)若，且，求x的值. (2)若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. (3)已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【变式7-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． (1)若，，求； (2)已知点，点在直线上，证明； (3)已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）以下三个代数式：（1）；（2）；（3）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义，那么代数式的最小值为2的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，在R上既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）函数的严格减区间是________. 5．（25-26高一上·上海·期中）函数在区间上为严格减函数，则的取值范围为______. 6．（25-26高一上·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______． 7．（25-26高一上·上海奉贤·期末）定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数______． 8．（25-26高一上·上海·期末）函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________. 9．（25-26高一上·上海杨浦·期末）不等式的解集是__________. 10．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 11．（25-26高一上·上海·期末）已知，若函数是偶函数，则实数______． 12．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 13．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 15．（25-26高一上·上海松江·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解为______． 16．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·上海·期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均增长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等问题，v的值为0（千克/年）． (1)当时，求出函数的表达式： (2)当养殖密度x多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 1．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 2．（25-26高一上·上海·期末）定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题： ①为偶函数； ②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1； ③当时，的最小值为9； ④“”是“”成立的充要条件. 正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·上海闵行·期末）定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（   ） ①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值； ③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26高一上·上海·期末）偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______ 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 6．（25-26高一上·上海·期末）在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸→目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸→原始尺寸），则的最小值为______． 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数． (1)求的定义域并证明是奇函数； (2)解不等式． 8．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数的表达式为． (1)若，解关于的不等式； (2)若是上的奇函数，求的值； (3)若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 9．（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 10．（24-25高一上·上海宝山·期末）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. (1)给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； (2)给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； (3)给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $