第18讲函数的应用-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（简单，学生版+教师版）

函数的应用 知识讲解 一、常见的函数模型 1.一次函数模型：（、为常数，）； 2.反比例函数模型：（、为常数，）； 3.二次函数模型：（、、为常数，）； 4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）； 5.对数函数模型：（、、为常数，，）； 说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色． 6.幂函数模型：（、、为常数，，）； 7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 二、数学建模 含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程． 可用框图表示为 3、 三种函数增长性的比较 类型：指数函数，对数函数，幂函数 1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有． 2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有． 典型例题 一．选择题（共8小题） 1．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（　　） A．6E B．72 C．5F D．B0 【解答】解：由表，10×11=110， 110÷16商是6余数是14， 故A×B=6E 应选A． 　 2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是= 这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数） 由基本不等式，得 当且仅当时，f（x）取得最小值、 可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 故选：B． 　 3．某宾馆有n（n∈N*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表： 每间客房的定价 220元 200元 180元 160元 每天的住房率 50% 60% 70% 75% 对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（　　） A．220元 B．200元 C．180元 D．160元 【解答】解：A、当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为，则住房利润为（220﹣80）×﹣40×=50n； B、当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为0.6n，则住房利润为（200﹣80）×0.6n﹣40×0.4n=56n； C、当每间客房的定价为180元时，有客住的房间数为0.7n，则住房利润为（180﹣80）×0.7n﹣40×0.3n=58n； D、当每间客房的定价为160元时，有客住的房间数为0.75n，则住房利润为（160﹣80）×0.75n﹣40×0.25n=50n； 综上，当每间客房的定价为180元时，宾馆每天的住房利润最高． 故选：C． 　 4．函数f（x）=的单调增区间是（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1），（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞） 【解答】解：； ∴f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到； 而y=的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）； ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1），（1，+∞）． 故选：C．　 5．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（　　） A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1] B．（﹣∞，0]，[1，+∞） C．[0，+∞），（﹣∞，1] D．[0，+∞），[1，+∞） 【解答】解：f（x）=|x|=，∴函数f（x）的递增区间是[0，+∞）， g（x）=x（2﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1， 对称轴是x=1，a=﹣1＜0 ∴函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]． 故选：C． 　 6．已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递