专题3.2 对数（高效培优讲义，3知识6重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦对数核心知识点，以概念理解为基础，衔接指数式与对数式互化，构建积、商、幂的运算性质体系，通过换底公式实现不同底数对数的转化，形成递进式学习支架。 资料设计突出数学思维与应用意识，通过“即学即练”结合典例变式，如密码破解时间估算问题，培养运算推理与问题解决能力。课中助力教师系统授课，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

专题3.2 对数 教学目标 1. 理解对数的概念，能准确说出对数的底数、真数的含义及取值限制； 2. 熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数式求值的基本方法； 3. 掌握对数的运算性质（积、商、幂的对数），理解其推导过程； 4. 掌握对数换底公式，能将一般对数转化为常用对数或自然对数进行计算； 5. 了解常用对数（lg）与自然对数（ln）的意义及记法。 教学重难点 教学重点 ①对数的概念及指数式与对数式的互化； ②对数的运算性质及其应用； ③换底公式及其推论。 教学难点 ①对数概念的理解（底数与真数的取值限制）； ②对数运算性质的条件把握与灵活运用； ③换底公式的推导及在综合运算中的合理选择。 知识点01 对数的定义 1.对数的概念 定义：如果 （），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 2.指数式与对数式的互化： 3.对数的基本性质 设 ，则： 负数和零没有对数（N > 0） 1的对数是0： 底数的对数是1： 对数恒等式： 对数恒等式： 4.常用对数与自然对数 类型 底数 记法 说明 常用对数 10 log₁₀ N 的简写 自然对数 e loge N 的简写，e≈2.71828 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 知识点02 对数的运算性质 设 ，则： 性质1（积的对数）： 两个正数积的对数，等于同一底数下各因数对数的和。 性质2（商的对数）： 两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 性质3（幂的对数）： 正数的幂的对数，等于幂指数乘以幂底数的对数。 推广： 记忆口诀：积变加，商变减，幂提前。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 换底公式及其推论 换底公式： 将以 a 为底的对数换成以 c 为底的对数，新底 c 可任意选取（通常取10或 e）。 常用推论： 推论 公式 推论1 推论2 推论3 推论4 推论5 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若，则________．（用的代数式表示） 题型01 对数的概念判断与求值 【典例1-1】特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为________，通常记为________； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为________，通常记为________． 【典例1-2】对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ②________；③________ ④________；⑤________ 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为______． 【变式1-2】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______． 【变式1-3】若，则___________. 题型02 指数式与对数式互换 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【典例2-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 【典例2-3】（25-26高一上·上海·期中）设实数满足，则________ ． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则_______． 【变式2-3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则__________. 题型03 对数的运算 【典例3】（25-26高一上·上海·期末）已知，则可用表示为___________． 【变式3-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知且，则____________. 【变式3-2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）设，若，则_____ 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，用、表示为__________ 题型04 对数运算性质的应用 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期末）若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒 【典例4-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）若，则的最小值为___________． 【典例4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知是奇函数，则实数a的值为________． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，则________． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则取得最小值时，__________. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）对不同正数a、b，若，则的范围是__________． 题型05 运用换底公式计算 【典例5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【典例5-2】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【典例5-3】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，且，则 _____. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示___________． 【变式5-2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）记，则_______. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，，试用a，b表示、． 题型06 运用换底公式证明恒等式 【典例6-1】设均为正数，且均不为1.求证：. 【典例6-2】已知，求证：. 【变式6-1】已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【变式6-3】（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，用a，b表示______． 2．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则用a，b表示为______. 3.已知，且，则的值为______． 4．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足且，则______． 5．（25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、， 则___________． 6．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则用、表示________． 7．（25-26高一上·上海松江·期中）已知，且，则实数__________. 8.设，求证： 9.求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（25-26高一上·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ）（） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 2．（25-26高一上·上海·期中）对任意实数表示不超过的最大整数，例如．已知：，则为（　　） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26高一上·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为______. 5．（25-26高一上·上海松江·期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 6．（25-26高一上·上海浦东新·期末）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要的天数为________.（结果四舍五入取整，参考数据：） 7．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 8．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 9．（25-26高一上·上海松江·期中）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 对数 教学目标 1. 理解对数的概念，能准确说出对数的底数、真数的含义及取值限制； 2. 熟练进行指数式与对数式的互化，掌握对数式求值的基本方法； 3. 掌握对数的运算性质（积、商、幂的对数），理解其推导过程； 4. 掌握对数换底公式，能将一般对数转化为常用对数或自然对数进行计算； 5. 了解常用对数（lg）与自然对数（ln）的意义及记法。 教学重难点 教学重点 ①对数的概念及指数式与对数式的互化； ②对数的运算性质及其应用； ③换底公式及其推论。 教学难点 ①对数概念的理解（底数与真数的取值限制）； ②对数运算性质的条件把握与灵活运用； ③换底公式的推导及在综合运算中的合理选择。 知识点01 对数的定义 1.对数的概念 定义：如果 （），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 2.指数式与对数式的互化： 3.对数的基本性质 设 ，则： 负数和零没有对数（N > 0） 1的对数是0： 底数的对数是1： 对数恒等式： 对数恒等式： 4.常用对数与自然对数 类型 底数 记法 说明 常用对数 10 log₁₀ N 的简写 自然对数 e loge N 的简写，e≈2.71828 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 知识点02 对数的运算性质 设 ，则： 性质1（积的对数）： 两个正数积的对数，等于同一底数下各因数对数的和。 性质2（商的对数）： 两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 性质3（幂的对数）： 正数的幂的对数，等于幂指数乘以幂底数的对数。 推广： 记忆口诀：积变加，商变减，幂提前。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：无法直接分解为，故B错误； 选项C，D：，故C错误，D正确； 故选：D 知识点03 换底公式及其推论 换底公式： 将以 a 为底的对数换成以 c 为底的对数，新底 c 可任意选取（通常取10或 e）。 常用推论： 推论 公式 推论1 推论2 推论3 推论4 推论5 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若，则________．（用的代数式表示） 【答案】 【详解】由换底公式可得， 所以， 故答案为： 题型01 对数的概念判断与求值 【典例1-1】特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为________，通常记为________； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为________，通常记为________． 【答案】 常用对数 自然对数 【典例1-2】对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ②________；③________ ④________；⑤________ 【答案】 0 1 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为______． 【答案】 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 【变式1-2】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-3】若，则___________. 【答案】 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 题型02 指数式与对数式互换 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【详解】由，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 【典例2-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 【答案】 【详解】由题可知，. 故答案为：. 【典例2-3】（25-26高一上·上海·期中）设实数满足，则________ ． 【答案】 【详解】因为实数满足，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【详解】由得：， 故答案为： 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则_______． 【答案】15 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 【变式2-3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则__________. 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 题型03 对数的运算 【典例3】（25-26高一上·上海·期末）已知，则可用表示为___________． 【答案】 【详解】由， 因为，所以， 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知且，则____________. 【答案】6 【详解】因为， 所以 则 故答案为：6 【变式3-2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）设，若，则_____ 【答案】 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，用、表示为__________ 【答案】 【详解】因为，，故， 所以. 故答案为：. 题型04 对数运算性质的应用 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期末）若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒 【答案】B 【详解】由题意可知，在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为秒， 令，两边取对数得， 所以， 故选：B 【典例4-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）若，则的最小值为___________． 【答案】12 【详解】因为，所以， 所以. 因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为12. 故答案为：12. 【典例4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知是奇函数，则实数a的值为________． 【答案】1 【详解】不确定0是否在定义域内，故不能令， 由 得 ，即， 恒成立．故，解得． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，则________． 【答案】 【详解】时，， ， 时，， ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）若，则取得最小值时，__________. 【答案】 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）对不同正数a、b，若，则的范围是__________． 【答案】 【详解】对不同正数a、b，， 则，即， ， ，当且仅当时取等， 则的范围是． 故答案为：. 题型05 运用换底公式计算 【典例5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 【典例5-2】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 【典例5-3】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，且，则 _____. 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，不符合题意；故且， 所以，则. 故答案为： 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以用表示， 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）记，则_______. 【答案】1 【详解】由，得 . 故答案为：1 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，，试用a，b表示、． 【答案】； 【详解】因为，， 由对数的运算公式，可得， 题型06 运用换底公式证明恒等式 【典例6-1】设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】 由题意，根据换底公式，，命题得证. 【典例6-2】已知，求证：. 证明：令， 则，，， 所以. 【变式6-1】已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】 证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 【变式6-3】（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，用a，b表示______． 【答案】 【详解】由题意. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知，则用a，b表示为______. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 3.已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足且，则______． 【答案】 【详解】由，得，即，则， 因此，即，则，所以. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、， 则___________． 【答案】 【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得， 故. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则用、表示________． 【答案】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海松江·期中）已知，且，则实数__________. 【答案】 【详解】由，可得， 所以， 所以， 故答案为： 8.设，求证： 【详解】，故， 故，，，， ，故. 9.求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 1．（25-26高一上·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ）（） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】C 【详解】设，所以， 因为，所以，且 所以， 所以的位数是. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·期中）对任意实数表示不超过的最大整数，例如．已知：，则为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：D. 3．（25-26高一上·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【答案】 【详解】因为，得， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 5．（25-26高一上·上海松江·期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 【答案】12 【详解】原方程可变形为：可看作关于的一元二次方程， 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以这个方程两个真实根的和为. 故答案为：12. 6．（25-26高一上·上海浦东新·期末）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要的天数为________.（结果四舍五入取整，参考数据：） 【答案】22 【详解】由题意得：，解得， 所以，令， 则，即， 所以， 故答案为：22 7．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 【详解】（1）因为，，所以， . （2）对两边平方得，所以， 所以， 则. 8．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）因为满足，所以， 解得或. 因为，所以. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以，所以. 9．（25-26高一上·上海松江·期中）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 【详解】（1）， ， ， 所以； （2）， ， ， 所以. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $