4.2.2 指数函数的图象与性质课件（第2课时）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图象与性质（第2课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 指数 指数函数 指数函数的概念 指数函数的图象与性质 对数 对数的概念 函数的应用（二） 本章知识框图 n次方根与分数指数幂 无理指数幂及其运算性质 对数的运算 对数函数 对数函数的概念 对数函数的图象与性质 不同函数增长的差异 函数的零点与方程的解 用二分法求解方程的近似解 函数模型的应用 课标要求 通过对有理数指数幂实数指数幂 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 能够利用指数函数单调性比较函数值的大小，掌握复合函数的单调性、奇偶性问题，能求解简单的复合函数的单调区间. 掌握指数函数的图象变换，能够进行简单的函数图象变换问题处理. 课时教学目标 掌握指数（型）函数的定义域与值域的求解方法. 环节一 新课导入 问题1：上一节，我们学习了指数函数的图象与性质，你能具体说说吗？ 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 单调递减函数 单调递增函数 非奇非偶函数 底大图高 ： 时， 越大，函数值越大（图象越高） 时 ， 越大，函数值越小（图象越低） 对称性： 与 的图象关于轴对称 环节二 新课探究——指数函数图象变换 例1 轴右侧图象关于轴对称 环节二 新课探究——指数函数图象变换 例1 平移1个单位 环节二 新课探究——指数函数图象变换 例1 平移1个单位 x轴下方翻到上方， 轴上方不变 环节二 新课探究——指数函数图象变换 指数函数图象变换规律 环节二 新课探究——指数函数图象变换 指数函数图象变换规律 环节二 新课探究——指数函数图象变换 指数函数图象变换规律 环节二 变式训练 【答案】B 新课探究——指数函数图象变换 环节二 新课探究——比较大小问题 例2 【答案】A 环节二 新课探究——比较大小问题 例2 【答案】B 环节二 新课探究——比较大小问题 比较大小 环节二 新课探究——比较大小问题 变式训练 【答案】B 环节二 新课探究——比较大小问题 变式训练 【答案】C 环节二 新课探究——指数不等式的解法 例3 环节二 新课探究——指数不等式的解法 (1)形如的不等式,借助于函数的单调性求解,如果a的取值不确定,需分与两种情况进行讨论. (2)形如的不等式,注意将转化为以为底数的指数幂的形式,再借助于函数的单调性求解. (3)形如的不等式,利用函数图象求解. (4)形如的不等式,可利用换元法转化为一元二次不等式求解. 指数不等式的求解方法 环节二 变式训练 新课探究——指数不等式的解法 环节二 新课探究——指数（型）函数的定义域与值域 例4 环节二 例4 新课探究——指数（型）函数的定义域与值域 环节二 例4 新课探究——指数（型）函数的定义域与值域 环节二 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是型还是型,前者的定义域是R,后者的定义域与的定义域一致.的定义域由的值域在的定义域内决定,因此求型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是.一般地,对于型函数,要先换元,令,求出的定义域再求出的值域A,然后画出的草图或利用函数的单调性,求出原函数的值域. 与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法 新课探究——指数（型）函数的定义域与值域 环节二 新课探究 新课探究——指数（型）函数的定义域与值域 变式训练 【答案】D 环节二 新课探究 新课探究——指数（型）函数的定义域与值域 变式训练 环节二 新课探究——指数（型）函数的单调性问题 例5 环节二 新课探究——指数（型）函数的单调性问题 例5 环节二 新课探究 新课探究——指数（型）函数的单调性问题 指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如和．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系． 形如的函数的单调性的判断，利用复合函数的单调性：当时，函数与函数的单调性相同；当时，函数与函数的单调性相反． 形如 的函数的单调性的判断，利用复合函数的单调性：当时，函数与函数的单调性相同；当时，函数与函数的单调性相反 指数（型）复合函数的单调性判断方法 环节二 新课探究——指数（型）函数的单调性问题 变式训练 环节二 新课探究——指数（型）函数的单调性问题 变式训练 环节二 新课探究——指数函数的综合问题 例6 环节二 新课探究——指数函数的综合问题 例6 环节二 变式训练 新课探究——指数函数的综合问题 【答案】D 环节二 变式训练 新课探究——指数函数的综合问题 环节二 变式训练 新课探究——指数函数的综合问题 环节三 归纳小结 环节四 作业布置 巩固作业： 教科书第119页习题4.2第1,9,10题 优化设计相关习题 感谢聆听 1．作出下列函数的图象 (1) ； (2) ； (3) ； 解：(1) ，定义域为,关于原点对称， ， 所以 为偶函数. 1．作出下列函数的图象 (1) ； (2)； (3) ； 1．作出下列函数的图象 (1) ； (2)； (3) ； 1．函数 的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【详解】先做出函数 的图象，保留轴右边的图象不变，并将 轴右边的图象对称到 轴左边，可得 的图象，再将 的图象向左平移1个单位，可得 的图象，如下图： 1．已知 ，， ，则（   ） A． B． C． D． 【详解】比较a和b：由 ，则是减函数，又 ，故 ，即 ； 比较a和c：由 ，则 是增函数，又 ，故 ，即 ．综上， ． 2．已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，在 上单调递减， 所以 ， 同理，函数 在 上单调递增，所以 . 综上，可得 ． 1．已知 ，， ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由于 在R上单调递减，故，即 ， 由于 在 上单调递增，故 ，即 ， 综上， 2．将 ，， ， 从小到大排序正确的是（        ） A． B． C． D． 【详解】指数函数 在上单调递减， 由于 ，所以 . 指数函数 在 上单调递减， 由于 ，所以 . 幂函数 在 上单调递增，由于 ，所以 . 又 ， ， 幂函数 在 上单调递增， 且 ，所以 ，即 . 综上， . 1.(1)不等式 的解集为_________； (2)已知 ，且 ，求 的取值范围. 【解析】（1）因为 ，所以原不等式可化为 ， 因为函数 在 上是减函数，所以 ，所以 ，故原不等式的解集是 . (2)当 时，因为 ，所以 ，解得 ； 当 时，因为 ，所以 ，解得 . 综上所述，当 时， ；当 时， . 1．已知 ，且 ，求 的取值范围. 【详解】：①当 时，函数 在 上单调递增， , 即 ，解得 . ②当 时，函数 在 上单调递减， ， 即 解得 或 . 综上所述：当 时， 的取值范围是 ； 当 时， 的取值范围是 . 1．求下列函数的定义域和值域： (1) ； (2)； (3) ； (4) 【详解】（1） 应满足， ， 定义域为 . ， ， 的值域为 . （2）定义域为 .， ， 此函数的值域为 . （3） ，， ， 定义域为 . ， . 又 ， . ， ， 此函数的值域为 . 1．求下列函数的定义域和值域： (1) ； (2)； (3) ； (4) （4）函数 有意义的条件是，即 ， 当 时， 是R上减函数，于是 ，即 ； 当 时， 是R上增函数，于是 ，即 . 综上所述，当 时，函数 的定义域为 ； 当 时，函数 的定义域为 . 所以，当 时有, 故 ， ； 当 时有 , 故 ， ； 综上，函数 的值域为 . 1．求下列函数的定义域和值域： (1) ； (2)； (3) ； (4) 1．函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数 的定义域满足，解得 且 ． 则函数定义域为 ， 2．已知函数 ，则的值域为_______． 【详解】因为 ，所以，又因为 ， 所以 ，所以 的值域为 . 3．已知函数 在区间上的最大值与最小值之差为 ． (1)求 的值; (2)解不等式 ； 【详解】（1）当 时，在 上单调递增， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ， 则 ，解得 或 .因为 ，所以 ，当 时， 在 上单调递减， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 ，方程无解. 综上， ； (2)因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，解得 ， 故不等式的解集为 . 1．已知函数 ， (1)求函数 的单调区间；(2)求函数 的值域． 【详解】（1） ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 又因为 在 上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则： 的减区间为 ，增区间为 . （2）令 ，则， 则 ，即 的值域为 . 2．求函数 的单调区间． 【详解】函数 的定义域为，令 ， 时， ． ， ， 函数 为增函数，当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 由复合函数法可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 1．函数 的递增区间是________________． 【详解】因为 是减函数，在 上单调递减，在 上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数 的递增区间是 . 2．若函数 的单调递增区间是，则 ______. 【详解】设 ，因为函数的对称轴为 ，其单调递增区间为 ， 且函数 为 上增函数，则依题意可得 ，解得 . 3．若函数 在上单调递减，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数 在上单调递减，令 ， 又因为 单调递减，则 在 上单调递增， 则 ，所以实数 的取值范围是 . 1．已知函数 ． (1)当 时，求 在 上的最大值； (2)若 恒成立，求实数 的取值范围． 【详解】（1）当 时，. 令 ，由 得 ，则 ， ， 为开口向上的二次函数，对称轴 ， ， ， 由 ，得 ，所以 在 上 的最大值为 . 1．已知函数 ． (1)当 时，求 在 上的最大值； (2)若 恒成立，求实数 的取值范围． （2）不等式 可化为，令 ，则： ，即 ， 因 ，两边同除以 ，得 ，原不等式恒成立等价于 因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等， 所以 ，所以 可得 . 因此实数 的取值范围为 . 【详解】因为分段函数 在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当 时，指数函数 且 单调递增，所以底数需满足 ； ②当 时，一次函数 单调递增：所以一次项系数需满足 ，解得 ； ③在分界点 处，左段的函数值不能超过右段在 处的起始值， 即当 时： ，化简得 ，解得 .联立三个条件 ，解得 ，即 . 因此实数 的取值范围为 . 1． 是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． (1)奇函数，理由： ，易知的定义域为R，关于原点对称， 又 ，∴ 是奇函数； 2．已知函数 ．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数 在R上的单调性，并用单调性定义证明. (2) 在R上单调递增，证明如下： 设 ， ，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 又 ，且 ，∴ ，即 ， ∴ 在R上单调递增. 2．已知函数 ．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数 在R上的单调性，并用单调性定义证明. $