第1章 平面直角坐标系中的直线全章高频重点题型突破（八大高频+四大重难题型，专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

第1章 平面直角坐标系中的直线全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率（高频） 题型2 斜率与倾斜角的取值范围（重） 题型3 直线方程的求法（含法向量）（高频） 题型4 含参直线过定点 题型5 截距问题（易错） 题型6 两条直线的平行与垂直（高频） 题型7 两条直线的夹角（重） 题型8 点到直线的距离与两平行线间的距离（高频） 核心提升：重难题型归纳 题型1 斜率的几何意义与最值（难） 题型2 直线与坐标轴围成三角形的面积最值（难） 题型3 对称问题与光线反射（重） 题型4 距离的最值（难） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 直线的倾斜角与斜率 题型归纳 直线的倾斜角与斜率 倾斜角的范围是；时斜率，时斜率不存在． 过两点、（）的直线斜率． 1．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当倾斜角时，斜率且斜率随着倾斜角增大而增大， 当倾斜角时，斜率且斜率随着倾斜角增大而增大， 已知直线的倾斜角分别为，则. 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的方程为，当时，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 故，又，解得； 当时，此时直线的方程为，倾斜角为. 综上，直线的倾斜角范围是. 3．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线的倾斜角为，将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角为______. 【答案】 【详解】已知直线的倾斜角为， 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线， 则直线的倾斜角为． ◆题型2 斜率与倾斜角的取值范围 题型归纳 斜率与倾斜角的取值范围 动直线过定点且与线段有公共点：先求、． 过的竖直线与线段相交时，斜率取“两边”（不大于较小者或不小于较大者），且倾斜角可以是；不相交时取两者之间． 4．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【详解】已知，，， ， ， 过点的直线与线段相交，观察图形： 故斜率的取值范围是. 5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，代表直线的斜率， 当和点重合时，， 当和点重合时，， 所以的取值范围为. 6．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置顺时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． ◆题型3 直线方程的求法（含法向量） 题型归纳 直线方程的求法（含法向量） 按条件选点斜式、斜截式、两点式、点法式，最后化为一般式． 一般式中，是它的一个法向量． 7．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______. 【答案】 或 【详解】①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距均为，满足截距之和为零. 此时直线斜率，直线方程为，即. ②当直线不经过原点时，设直线在轴上的截距为（），由截距之和为零，得轴上的截距为. 由截距式得直线方程为，整理得. 将点代入方程，得，解得，代入整理得直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 8．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）与向量垂直，且经过点的直线的一般式方程为________. 【答案】 【详解】因为所求直线与向量垂直， 所以所求直线的斜率为2， 又所求直线经过点， 所以所求直线的方程为，即. 9．（26-27高二上·吉林四平·期中）求满足下列条件的直线的方程. (1)经过两条直线和的交点，且垂直于直线； (2)平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 【详解】（1），交点. 的斜率为，所以直线的斜率. 从而直线的方程为，即. （2）设直线的方程为. 两平行线间距离为，所以，解得或. 所以直线的方程为或. ◆题型4 含参直线过定点 题型归纳 含参直线过定点 把方程整理成，解方程组、，所得点即为定点． 10．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】由，得，所以，解得， 即． 11．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 12．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线：． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)过坐标原点作直线的垂线，垂足为，当最大时，求直线方程． 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距相等，故不为0， 在中，令，则， 令，则， 故，解得或 （2）由于直线为，故直线过定点， 故当时，此时最大， 由于，故直线的斜率为， 因此直线，即. ◆题型5 截距问题 题型归纳 截距问题 截距是交直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可正、可负、可为，不是距离． 截距相等或互为相反数时，先考虑直线过原点（两截距都为）的情形，再设或． 13．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的条数为（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为零时，直线方程为，满足题意， 当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得，此时直线方程为， 综上，符合题意的直线有条. 14．（26-27高二上·广西·期中）直线在轴上的截距为______． 【答案】6 【详解】因为，令，解得. 15．（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为3，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为，即或． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点，，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得，解得，直线方程为； 综上所述，直线方程为或． ◆题型6 两条直线的平行与垂直 题型归纳 两条直线的平行与垂直 ：，：．且两直线不重合，求出参数后代回检验是否重合． ；两直线斜率都存在时也可用． 16．（26-27高二上·广西·阶段检测）设，已知直线：，：，若“”，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】若“”，则，解得或， 当时，直线：即，：即，此时直线与重合； 当时，直线：，：，此时. 17．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知直线：和直线：垂直，则________． 【答案】 【详解】对于直线的一般式与， 两直线垂直的充要条件为. 由题意，与垂直， 所以 ， 解得. 18．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知与是两条不重合的直线，为实数. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与相交，求的取值范围. 【详解】（1）由直线与平行， 得，解得， 所以的值是2. （2）由与垂直， 得，解得， 所以的值为或. （3）由与相交， 得，解得且， 所以的取值范围是. ◆题型7 两条直线的夹角 题型归纳 两条直线的夹角 两条相交直线的夹角满足，． 已知夹角求直线方程时，设出法向量或斜率列方程，斜率不存在的直线要单独检验． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，得该直线的斜率， 因为两直线的夹角为45°，所以直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率为或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：C 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知为常数，若直线与直线的夹角为，则______． 【答案】或 【详解】设两直线的夹角为，则，，； 由直线得其斜率； 当时，直线的斜率不存在，方程为：， 直线与轴交于，与直线交于点， 直线与轴交于， 则，满足题意； 当时，直线的斜率， 则，解得：（舍）或. 综上所述：或. 故答案为：或. 21．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. ◆题型8 点到直线的距离与两平行线间的距离 题型归纳 点到直线的距离与两平行线间的距离 点到直线的距离． 两平行线与的距离，用前先把、的系数化成相同． 22．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与的距离. 23．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【答案】 【详解】由已知直线，，且， 则，解得或， 当时，直线，，即， 此时两平行线间距离； 当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符， 综上所述，两平行线间距离. 24．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）已知直线：， (1)求点到直线的距离； (2)若直线与：互相平行，求与之间的距离． 【详解】（1），直线：， 点到直线的距离为. （2）因为直线：，直线与：互相平行， 所以，解得， 直线：转化为， 直线：， 则与之间的距离为. ◆题型1 斜率的几何意义与最值 题型归纳 斜率的几何意义与最值 表示点与定点连线的斜率，画出动点所在的线段或区域，看端点处的斜率． 1．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知实数，满足，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】的几何意义：点与定点连线的斜率，     因为，即且， 当，，端点， 当，，端点， 所以动点是线段上的点， ，， 因为直线单调递增，从增大到， 点从移动到，连线的斜率逐渐减小. 所以斜率最小值为. 2．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，. 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以，即. 可以表示动点与定点连线的斜率. 当，，即，解得，此时. 当，，即，解得，此时. 当，，即，解得，此时. 当，，即，解得，此时. 所以动点的轨迹是矩形的四条边，且四个顶点为，，，. 动点的轨迹如图： 结合图象可知， 当动点与点重合时，取得最小值，此时. 当动点与点重合时，取得最大值，此时. 故最大值与最小值之和为. ◆题型2 直线与坐标轴围成三角形的面积最值 题型归纳 直线与坐标轴围成三角形的面积最值 用截距（或斜率）表示三角形面积，结合直线过定点的条件，用基本不等式求最值，并检验等号能否取到． 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 【答案】3 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 4．（26-27高二上·全国·课后作业）如图，已知直线，直线过点，交于点，交轴于点，求面积的最小值． 【详解】设，,由图可知 由题意知，、、三点共线. 所以，解得． ， 令，则， ∴ 当且仅当，即时取等号. 故面积的最小值为． ◆题型3 对称问题与光线反射 题型归纳 对称问题与光线反射 点关于直线对称：两点的中点在直线上，两点连线与直线垂直． 直线关于直线对称：在直线上取两点分别求对称点；光线反射问题转化为点关于反射面所在直线的对称． 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：，直线：，则直线关于直线的对称直线方程是______. 【答案】 【详解】在直线上取两点， 设关于直线的对称点为， 则，所以，. 同理设关于直线的对称点， 则，所以，， 直线关于直线的对称直线过，， 由点斜式可得方程为，得， 化为一般式可得所求直线方程为. 6．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线：，求： (1)直线关于点对称的直线的方程． (2)直线关于直线对称的直线的方程； 【详解】（1）设所求对称直线上任意一点，记点关于的对称点为， 由线段中点公式得，即， 因为在直线上，则， 即，整理得， 故直线关于点对称的直线的方程为. （2）联立，解得，，得到交点， 在直线上取点， 设关于的对称点为， 因直线斜率，则由，可得，整理得①， 又的中点在直线上，得，整理得②， 联立①②，解得，，得对称点 依题意得所求直线过点与，则其斜率为， 故其方程为，即， 即直线关于直线对称的直线的方程为. ◆题型4 距离的最值 题型归纳 距离的最值 动直线过定点时，点到它的距离最大为，此时直线与垂直． 两条分别过定点的平行线之间的距离，最大为两定点间的距离． 7．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）若直线，互相平行，其中，则与之间距离的最大值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由直线与直线相互平行， 得，则， 因此直线与之间的距离 ，当且仅当时取等号， 所以与之间距离的最大值为. 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【详解】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 一、选择题 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即两直线交点坐标为， 代入得：，解得. 2．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如果且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意可得， 因为，所以，因为，所以，即， 所以方程不经过第一象限. 3．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 4．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，， 所以，解得，因此. 5．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据光线反射的性质，入射点关于反射直线的对称点在反射光线所在直线上. 设点关于直线的对称点为， 两点连线与直线垂直，直线斜率为，故两点连线斜率为，即； 两点中点在直线上，故. 联立解得，即反射光线过点. 已知反射光线还过点，计算得反射光线斜率， 由点斜式得反射光线方程为. 验证各选项： 当时，，A、B均不符合； 当时，，C不符合，D符合. 6．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，两点的中点为，则，即， 且直线与直线垂直，则直线的斜率为，即， 则，联立，解得，， 故关于直线的对称点为. 二、填空题 7．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，且经过第一象限的点和，则的最小值为________． 【答案】3 【详解】直线的斜率为，且经过点，所以直线的方程为，即． 因为点在直线上且位于第一象限，所以，，， 由基本不等式得． 当且仅当，即时等号成立，结合得，，满足题意，所以所求最小值为3． 8．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 【答案】 【详解】设直线方程为：， 所以， 因为，所以， 解得， 所以，即. 9．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 【答案】 【详解】设点关于直线l的对称点坐标，则中点坐标为，直线斜率， 点与点 关于直线对称，即， 整理得化简得解得即点坐标， 因为直线平分角，所以点在直线上，可得， 结合有直线的方程为：， 化简得. 10．（26-27高二上·广东·阶段检测）平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为______． 【答案】9 【详解】联立，得， 联立，得， 点和两点间的距离为， 又平行线和间的距离为， 所以该平行四边形的面积. 11．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______． 【答案】或. 【详解】设的倾斜角为，易知的斜率为，与的夹角正切值为， 所以或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 三、解答题 12．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，． (1)求边AB上的高所在直线方程； (2)求平行四边形的顶点的坐标以及四边形的面积． 【详解】（1）依题意，直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 于是有：， 即．所以边上的高所在直线的方程为． （2）平行四边形的顶点，，，则对角线中点为， 于是得对角线BD的中点是， 设，因此有，，解得：， 所以平行四边形的顶点． 因为，，即有直线斜率， 所以直线的方程：，即， 因此，点到直线的距离为， 而， 从而得，所以四边形的面积为24． 13．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）（1）已知两直线：，：．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线l的方程为．直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当的面积最小时，求直线l方程的一般式和的周长． 【详解】（1）由题可知，联立方程得，解得，则直线与的交点坐标为， 又直线与垂直，设直线方程为，代入点得， 则，所以过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程为； （2）由可得， 令，解得，所以直线l过定点， 设直线的截距式为，又经过定点，则，所以， 因为，两边同时平方，化简整理得，当且仅当，即时取等号， 此时取最小值24，所以，则直线l方程为，即， 设，，则斜边，所以的周长为. 14．（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）已知直线l过点． (1)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程； (2)已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，， 将代入得，，解得， 故直线的方程为，即； 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （2）因为，高所在的直线方程为， 所以设直线的方程为， 将代入，得，解得， 故直线的方程为， 联立，解得，故， 设，则， 在直线上，故①， 又在上，故②， 联立①②得，，故， 所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. 15．（25-26高二上·福建漳州·期中）已知直线：，：． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若直线，与轴的交点分别为，，与轴的交点分别为，，若，求的值． 【详解】（1），故， 解得或， 当时，：，：，，不重合， 当时，：，：，，不重合， 所以或. （2）因为，所以，解得. （3）直线，与轴的交点分别为，，所以当时，，， 解得，，所以， 令，得，，解得， 所以，又，所以， 即， 当时，，无解， 当或时，，解得或， 当时，，无解， 综上所述，或． 16．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）设直线：与：． (1)若，求，之间的距离； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 【详解】（1）若，则，，得（舍）或， 当时，，即，，，满足， 与之间的距离； （2）：， 当时，，当时，，其中且， 由条件可知，且，得， 由条件可知，， 当时，取得最大值， 此时直线的方程为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面直角坐标系中的直线全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率（高频） 题型2 斜率与倾斜角的取值范围（重） 题型3 直线方程的求法（含法向量）（高频） 题型4 含参直线过定点 题型5 截距问题（易错） 题型6 两条直线的平行与垂直（高频） 题型7 两条直线的夹角（重） 题型8 点到直线的距离与两平行线间的距离（高频） 核心提升：重难题型归纳 题型1 斜率的几何意义与最值（难） 题型2 直线与坐标轴围成三角形的面积最值（难） 题型3 对称问题与光线反射（重） 题型4 距离的最值（难） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 直线的倾斜角与斜率 题型归纳 直线的倾斜角与斜率 倾斜角的范围是；时斜率，时斜率不存在． 过两点、（）的直线斜率． 1．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线的倾斜角为，将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角为______. ◆题型2 斜率与倾斜角的取值范围 题型归纳 斜率与倾斜角的取值范围 动直线过定点且与线段有公共点：先求、． 过的竖直线与线段相交时，斜率取“两边”（不大于较小者或不小于较大者），且倾斜角可以是；不相交时取两者之间． 4．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． ◆题型3 直线方程的求法（含法向量） 题型归纳 直线方程的求法（含法向量） 按条件选点斜式、斜截式、两点式、点法式，最后化为一般式． 一般式中，是它的一个法向量． 7．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______. 8．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）与向量垂直，且经过点的直线的一般式方程为________. 9．（26-27高二上·吉林四平·期中）求满足下列条件的直线的方程. (1)经过两条直线和的交点，且垂直于直线； (2)平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. ◆题型4 含参直线过定点 题型归纳 含参直线过定点 把方程整理成，解方程组、，所得点即为定点． 10．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）直线过定点，则点的坐标为__________． 11．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线：． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)过坐标原点作直线的垂线，垂足为，当最大时，求直线方程． ◆题型5 截距问题 题型归纳 截距问题 截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可正、可负、可为，不是距离． 截距相等或互为相反数时，先考虑直线过原点（两截距都为）的情形，再设或． 13．（26-27高二上·重庆大足·阶段检测）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的条数为（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 14．（26-27高二上·广西·期中）直线在轴上的截距为______． 15．（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为3，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． ◆题型6 两条直线的平行与垂直 题型归纳 两条直线的平行与垂直 ：，：．且两直线不重合，求出参数后代回检验是否重合． ；两直线斜率都存在时也可用． 16．（26-27高二上·广西·阶段检测）设，已知直线：，：，若“”，则（     ） A． B． C．或 D． 17．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知直线：和直线：垂直，则________． 18．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）已知与是两条不重合的直线，为实数. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与相交，求的取值范围. ◆题型7 两条直线的夹角 题型归纳 两条直线的夹角 两条相交直线的夹角满足，． 已知夹角求直线方程时，设出法向量或斜率列方程，斜率不存在的直线要单独检验． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知为常数，若直线与直线的夹角为，则______． 21．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； ◆题型8 点到直线的距离与两平行线间的距离 题型归纳 点到直线的距离与两平行线间的距离 点到直线的距离． 两平行线与的距离，用前先把、的系数化成相同． 22．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 23．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 24．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）已知直线：， (1)求点到直线的距离； (2)若直线与：互相平行，求与之间的距离． ◆题型1 斜率的几何意义与最值 题型归纳 斜率的几何意义与最值 表示点与定点连线的斜率，画出动点所在的线段或区域，看端点处的斜率． 1．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）已知实数，满足，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 2．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 直线与坐标轴围成三角形的面积最值 题型归纳 直线与坐标轴围成三角形的面积最值 用截距（或斜率）表示三角形面积，结合直线过定点的条件，用基本不等式求最值，并检验等号能否取到． 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 4．（26-27高二上·全国·课后作业）如图，已知直线，直线过点，交于点，交轴于点，求面积的最小值． ◆题型3 对称问题与光线反射 题型归纳 对称问题与光线反射 点关于直线对称：两点的中点在直线上，两点连线与直线垂直． 直线关于直线对称：在直线上取两点分别求对称点；光线反射问题转化为点关于反射面所在直线的对称． 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：，直线：，则直线关于直线的对称直线方程是______. 6．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线：，求： (1)直线关于点对称的直线的方程． (2)直线关于直线对称的直线的方程； ◆题型4 距离的最值 题型归纳 距离的最值 动直线过定点时，点到它的距离最大为，此时直线与垂直． 两条分别过定点的平行线之间的距离，最大为两定点间的距离． 7．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）若直线，互相平行，其中，则与之间距离的最大值为（　　） A． B． C．3 D． 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 一、选择题 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如果且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 4．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，且经过第一象限的点和，则的最小值为________． 8．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 9．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 10．（26-27高二上·广东·阶段检测）平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为______． 11．（25-26高二上·上海长宁·期末）已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______． 三、解答题 12．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，． (1)求边AB上的高所在直线方程； (2)求平行四边形的顶点的坐标以及四边形的面积． 13．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）（1）已知两直线：，：．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线l的方程为．直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当的面积最小时，求直线l方程的一般式和的周长． 14．（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）已知直线l过点． (1)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程； (2)已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． 15．（25-26高二上·福建漳州·期中）已知直线：，：． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若直线，与轴的交点分别为，，与轴的交点分别为，，若，求的值． 16．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）设直线：与：． (1)若，求，之间的距离； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面直角坐标系中的直线全章高频重点题型突破 ◆题型1 直线的倾斜角与斜率 1．【答案】B 【详解】当倾斜角时，斜率且斜率随着倾斜角增大而增大， 当倾斜角时，斜率且斜率随着倾斜角增大而增大， 已知直线的倾斜角分别为，则. 2．【答案】B 【详解】直线的方程为，当时，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 故，又，解得； 当时，此时直线的方程为，倾斜角为. 综上，直线的倾斜角范围是. 3．【答案】 【详解】已知直线的倾斜角为， 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线， 则直线的倾斜角为． ◆题型2 斜率与倾斜角的取值范围 4．【答案】 【详解】已知，，， ， ， 过点的直线与线段相交，观察图形： 故斜率的取值范围是. 5．【答案】A 【详解】 如图所示，代表直线的斜率， 当和点重合时，， 当和点重合时，， 所以的取值范围为. 6．【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置顺时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． ◆题型3 直线方程的求法（含法向量） 7．【答案】 或 【详解】①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距均为，满足截距之和为零. 此时直线斜率，直线方程为，即. ②当直线不经过原点时，设直线在轴上的截距为（），由截距之和为零，得轴上的截距为. 由截距式得直线方程为，整理得. 将点代入方程，得，解得，代入整理得直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 8．【答案】 【详解】因为所求直线与向量垂直， 所以所求直线的斜率为2， 又所求直线经过点， 所以所求直线的方程为，即. 9．【详解】（1），交点. 的斜率为，所以直线的斜率. 从而直线的方程为，即. （2）设直线的方程为. 两平行线间距离为，所以，解得或. 所以直线的方程为或. ◆题型4 含参直线过定点 10．【答案】 【详解】由，得，所以，解得， 即． 11．【答案】D 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 12．【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距相等，故不为0， 在中，令，则， 令，则， 故，解得或 （2）由于直线为，故直线过定点， 故当时，此时最大， 由于，故直线的斜率为， 因此直线，即. ◆题型5 截距问题 13．【答案】C 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为零时，直线方程为，满足题意， 当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得，此时直线方程为， 综上，符合题意的直线有条. 14．【答案】6 【详解】因为，令，解得. 15．【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为，即或． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点，，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得，解得，直线方程为； 综上所述，直线方程为或． ◆题型6 两条直线的平行与垂直 16．【答案】A 【详解】若“”，则，解得或， 当时，直线：即，：即，此时直线与重合； 当时，直线：，：，此时. 17．【答案】 【详解】对于直线的一般式与， 两直线垂直的充要条件为. 由题意，与垂直， 所以 ， 解得. 18．【详解】（1）由直线与平行， 得，解得， 所以的值是2. （2）由与垂直， 得，解得， 所以的值为或. （3）由与相交， 得，解得且， 所以的取值范围是. ◆题型7 两条直线的夹角 19．【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，得该直线的斜率， 因为两直线的夹角为45°，所以直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率为或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：C 20．【答案】或 【详解】设两直线的夹角为，则，，； 由直线得其斜率； 当时，直线的斜率不存在，方程为：， 直线与轴交于，与直线交于点， 直线与轴交于， 则，满足题意； 当时，直线的斜率， 则，解得：（舍）或. 综上所述：或. 故答案为：或. 21．【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. ◆题型8 点到直线的距离与两平行线间的距离 22．【答案】A 【详解】直线与的距离. 23．【答案】 【详解】由已知直线，，且， 则，解得或， 当时，直线，，即， 此时两平行线间距离； 当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符， 综上所述，两平行线间距离. 24．【详解】（1），直线：， 点到直线的距离为. （2）因为直线：，直线与：互相平行， 所以，解得， 直线：转化为， 直线：， 则与之间的距离为. ◆题型1 斜率的几何意义与最值 1．【答案】A 【详解】的几何意义：点与定点连线的斜率，     因为，即且， 当，，端点， 当，，端点， 所以动点是线段上的点， ，， 因为直线单调递增，从增大到， 点从移动到，连线的斜率逐渐减小. 所以斜率最小值为. 2．【答案】C 【详解】，. 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以，即. 可以表示动点与定点连线的斜率. 当，，即，解得，此时. 当，，即，解得，此时. 当，，即，解得，此时. 当，，即，解得，此时. 所以动点的轨迹是矩形的四条边，且四个顶点为，，，. 动点的轨迹如图： 结合图象可知， 当动点与点重合时，取得最小值，此时. 当动点与点重合时，取得最大值，此时. 故最大值与最小值之和为. ◆题型2 直线与坐标轴围成三角形的面积最值 3．【答案】3 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 4．【详解】设，,由图可知 由题意知，、、三点共线. 所以，解得． ， 令，则， ∴ 当且仅当，即时取等号. 故面积的最小值为． ◆题型3 对称问题与光线反射 5．【答案】 【详解】在直线上取两点， 设关于直线的对称点为， 则，所以，. 同理设关于直线的对称点， 则，所以，， 直线关于直线的对称直线过，， 由点斜式可得方程为，得， 化为一般式可得所求直线方程为. 6．【详解】（1）设所求对称直线上任意一点，记点关于的对称点为， 由线段中点公式得，即， 因为在直线上，则， 即，整理得， 故直线关于点对称的直线的方程为. （2）联立，解得，，得到交点， 在直线上取点， 设关于的对称点为， 因直线斜率，则由，可得，整理得①， 又的中点在直线上，得，整理得②， 联立①②，解得，，得对称点 依题意得所求直线过点与，则其斜率为， 故其方程为，即， 即直线关于直线对称的直线的方程为. ◆题型4 距离的最值 7．【答案】A 【详解】由直线与直线相互平行， 得，则， 因此直线与之间的距离 ，当且仅当时取等号， 所以与之间距离的最大值为. 8．【详解】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 一、选择题 1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．D 二、填空题 7．【答案】3 【详解】直线的斜率为，且经过点，所以直线的方程为，即． 因为点在直线上且位于第一象限，所以，，， 由基本不等式得． 当且仅当，即时等号成立，结合得，，满足题意，所以所求最小值为3． 8．【答案】 【详解】设直线方程为：， 所以， 因为，所以， 解得， 所以，即. 9．【答案】 【详解】设点关于直线l的对称点坐标，则中点坐标为，直线斜率， 点与点 关于直线对称，即， 整理得化简得解得即点坐标， 因为直线平分角，所以点在直线上，可得， 结合有直线的方程为：， 化简得. 10．【答案】9 【详解】联立，得， 联立，得， 点和两点间的距离为， 又平行线和间的距离为， 所以该平行四边形的面积. 11．【答案】或. 【详解】设的倾斜角为，易知的斜率为，与的夹角正切值为， 所以或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 三、解答题 12．【详解】（1）依题意，直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 于是有：， 即．所以边上的高所在直线的方程为． （2）平行四边形的顶点，，，则对角线中点为， 于是得对角线BD的中点是， 设，因此有，，解得：， 所以平行四边形的顶点． 因为，，即有直线斜率， 所以直线的方程：，即， 因此，点到直线的距离为， 而， 从而得，所以四边形的面积为24． 13．【详解】（1）由题可知，联立方程得，解得，则直线与的交点坐标为， 又直线与垂直，设直线方程为，代入点得， 则，所以过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程为； （2）由可得， 令，解得，所以直线l过定点， 设直线的截距式为，又经过定点，则，所以， 因为，两边同时平方，化简整理得，当且仅当，即时取等号， 此时取最小值24，所以，则直线l方程为，即， 设，，则斜边，所以的周长为. 14．【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，， 将代入得，，解得， 故直线的方程为，即； 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （2）因为，高所在的直线方程为， 所以设直线的方程为， 将代入，得，解得， 故直线的方程为， 联立，解得，故， 设，则， 在直线上，故①， 又在上，故②， 联立①②得，，故， 所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. 15．【详解】（1），故， 解得或， 当时，：，：，，不重合， 当时，：，：，，不重合， 所以或. （2）因为，所以，解得. （3）直线，与轴的交点分别为，，所以当时，，， 解得，，所以， 令，得，，解得， 所以，又，所以， 即， 当时，，无解， 当或时，，解得或， 当时，，无解， 综上所述，或． 16．【详解】（1）若，则，，得（舍）或， 当时，，即，，，满足， 与之间的距离； （2）：， 当时，，当时，，其中且， 由条件可知，且，得， 由条件可知，， 当时，取得最大值， 此时直线的方程为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $