专题03 直线中的对称问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 直线中的对称问题（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点的对称问题 1．【答案】 1 2．【答案】 3．【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得点为，的中点，由中点坐标公式求解即可； （2）设所求直线方程为，代入点，求解即可. 【详解】（1）设， 则点为，的中点， 所以，解得， 所以； （2）设所求直线方程为， 代入点， 则有， 解得， 所以所求直线方程为：. 4．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，应用中点坐标公式求中点坐标即可； （2）令，结合（1）有，再由点在圆上，代入坐标求中点的轨迹方程. 【详解】（1）由且轴于，则，所以的中点； （2）令，结合（1）知，而在圆上， 所以，则， 即的中点M的轨迹方程为. 5．【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. ◆题型2 求点关于直线的对称点 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 9．【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直，由此列出方程组，解之即可得解； （2）设，由在直线上及线段中点在直线上列出方程组，求出点的坐标，再根据直线的两点式方程即可得解. 【详解】（1） 由已知，设，则由及线段中点在上可得 ，解得， 所以坐标为； （2）设，则由在直线上及线段中点在直线上可得 ，解得， 所以的坐标为， 所以直线即直线的方程为， 整理得. 10．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. ◆题型3 点的对称轴 11．【答案】 12．【答案】A 13．【答案】/ 14．【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 15．【答案】(1) (2)或，与圆相离； 或，此时与圆相切； 或，此时与圆相交. (3). 【分析】（1）两个点关于直线对称，则线段中点在直线上且两直线垂直，建立方程组，解出答案即可； （2）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系； （3）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值. 【详解】（1）点关于直线的对称点为，且线段的中点坐标为， 解得 的方程为. （2）圆的方程可变形为， 则圆心的坐标为，且，解得或， 圆的半径. 设圆心到的距离为，则. 若，则，解得， 又或或， 此时与圆相离； 若，则或，此时与圆相切； 若，则或，此时与圆相交. （3）由题可知，解得或（舍去）. 当时，圆，圆心，半径. 由题可知圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为， 由切点在劣弧上，知，. 点在线段上，. 当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且. 圆的半径的最大值为. ◆题型4 光线反射问题 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】B 19．【答案】(1)；动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 (2)或 【分析】（1）设，由建立等式化简可得，根据圆的概念可说明轨迹的形状； （2）设点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线斜率为，写出直线方程，根据直线与圆的位置关系建立等式计算即可求解. 【详解】（1）设，因为， 所以，化简可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （2）点关于轴的对称点为， 由题意可得过点的直线斜率存在，则反射光线所在直线斜率也存在， 设过点的直线斜率为，则反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与动点的轨迹相切， 则，解得， 所以反射光线所在直线的方程为或.    20．【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设直线上任意一点的对称点坐标，通过坐标关系求解； （3）计算点关于直线和的对称点分别为，该光线所经过的路程长度即两个对称点间的距离. 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. ◆题型5 直线关于点对称 21．【答案】A 22．【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设为直线上的任意一点，先求出点关于点的对称点，再代入直线的方程即可求解； （2）根据圆的几何性质可求得圆心到直线的距离为1，再分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）设为直线上的任意一点， 而点关于点的对称点为， 则在直线上， 代入直线得，，即， 则直线关于点对称的直线的方程为. （2）由题意，直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为， 则圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为3，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 23．【答案】AD 24．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 25．【答案】(1)直线为，相离； (2)是，. 【分析】（1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. 【详解】（1）点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离；    （2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得， 所以，则， ，则， ， 由，得，则， ， ， 为定值. ◆题型6 直线关于直线对称 26．【答案】 27．【答案】B 28．【答案】 29．【答案】(1) (2) 【详解】解析  ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 30．【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立两直线方程求解可得其焦点坐标，再求出直线的斜率，结合垂直性质即可得； （2）结合截距定义，分该直线过原点与该直线不过原点进行讨论即可得； （3）找出直线上任意一点关于对称的点后，结合点计算即可得解. 【详解】（1）联立，解得，故， 因为直线斜率，则所求直线斜率为， 所以所求直线方程为，即； （2）由（1）得，当所求直线过原点时，方程为，即； 当所求直线不过原点时，可设为，则有，解得， 即所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或； （3）对：，令，得，故是上的点， 设关于对称的点为， 则有，解得，故在所求直线上， 则所求直线方程为，即. ◆题型7 将军饮马问题求最值 31．【答案】C 32．【答案】B 33．【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1） 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， （2） ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 34．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式求方程； （2）计算点到直线的距离，再利用面积公式计算； （3）设点关于直线的对称点为，求出即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； （2）由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； （3）设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 35．【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. ◆题型8 对称解决距离的最值问题 36．【答案】C 37．【答案】 38．【答案】 39．【答案】(1) (2). 【分析】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. 【详解】（1）联立，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 40．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点距离公式求底边，由点到直线距离公式求高，代入面积公式计算； （2）由“垂直”、“平分”列式求解对称点坐标； （3）由求解. 【详解】（1）设边上的高为，则就是点到所在直线的距离， 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 因为， 所以的面积为； （2）因为，所以直线AB方程为， 设，则，解得， 所以点C的坐标为； （3）由（2）知，， 所以， 当C，P，Q三点共线时等号成立，的最小值为. 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C C B A C BC BCD ACD 10． 11．/ 12． 13．(1)， (2)39 (3)， 【分析】(1)根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， （2）根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， （3）求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标. 【详解】（1）设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. （2）因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为.    14．(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； （3）设出的坐标后，可设出直线的截距式方程，代入点可得，因为三点共线且与方向相反，故可表示为，用坐标运算表示出数量积后，再用乘“1”法与基本不等式即可得解. 【详解】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 15．(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用对称关系列出方程求解即可； （2）①设，根据，，列出方程即可求解； ②设，过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线相交于，过作轴的垂线交于，根据全等三角形可得，，，利用列出等式即可求解. 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 点是点关于直线的对称点， 所以，解得：， 所以点的坐标为 （2）①由题可得：，， 则，, ，， 设， 则，解得：，或， 因为以为边向右作正方形，则， 所以点的坐标为； ②由题可得：，， 因为点是直线上的一动点，设， 则, 过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线相交于， 过作轴的垂线交于， 因为正方形，则， 则，， 所以,， 则， 所以， 由于， 所以，解得：或， 所以点坐标为或. 一 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线中的对称问题（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点的对称问题 ◆题型2 求点关于直线的对称点（重） ◆题型3 点的对称轴 ◆题型4 光线反射问题 ◆题型5 直线关于点对称 ◆题型6 直线关于直线对称（难） ◆题型7 将军饮马问题求最值（高频） ◆题型8 对称解决距离的最值问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点的对称问题 1．（2025高二下·湖北·学业考试）已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________． 【答案】 1 【详解】点，是线段的中点， 所以；. 2．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【答案】 【分析】借助中点坐标公式计算即可得. 【详解】设，则有，，故. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得点为，的中点，由中点坐标公式求解即可； （2）设所求直线方程为，代入点，求解即可. 【详解】（1）设， 则点为，的中点， 所以，解得， 所以； （2）设所求直线方程为， 代入点， 则有， 解得， 所以所求直线方程为：. 4．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为D，当点P在圆上运动时，求： (1)设，求的中点M的坐标； (2)求的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，应用中点坐标公式求中点坐标即可； （2）令，结合（1）有，再由点在圆上，代入坐标求中点的轨迹方程. 【详解】（1）由且轴于，则，所以的中点； （2）令，结合（1）知，而在圆上， 所以，则， 即的中点M的轨迹方程为. 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. ◆题型2 求点关于直线的对称点 6．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 7．（2027高三·全国·专题练习）若，点关于直线的对称点在直线上，那么的最小值等于________． 【答案】 【分析】根据点关于直线对称求出对称点，结合题意可得，再由基本不等式“1”的妙用计算求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为． 依题意可知，即． 于是，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 8．（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 9．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知的顶点的平分线所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直，由此列出方程组，解之即可得解； （2）设，由在直线上及线段中点在直线上列出方程组，求出点的坐标，再根据直线的两点式方程即可得解. 【详解】（1） 由已知，设，则由及线段中点在上可得 ，解得， 所以坐标为； （2）设，则由在直线上及线段中点在直线上可得 ，解得， 所以的坐标为， 所以直线即直线的方程为， 整理得. 10．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. ◆题型3 点的对称轴 11．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为__________.（结果用一般式方程表示） 【答案】 【分析】由题意可得直线l为线段的中垂线，求出直线的斜率进而可得l的斜率，由点斜式再化为一般式即可. 【详解】∵已知关于直线l的对称点为， ∴直线l为线段的中垂线． 求得的中点为，即，的斜率为， 故直线l的斜率为，故直线l的方程为，化简可得, ​故答案为:. 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 13．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则______. 【答案】/ 【分析】分析出点在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而联立与，求出，根据的中点在上得到方程，求出答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 显然在上， 由对称性可知，，故点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即， 联立与得， 故点，显然的中点在上， 即，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·吉林·阶段检测）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 15．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知圆，点关于直线的对称点为. (1)求的方程； (2)讨论与圆的位置关系； (3)若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值. 【答案】(1) (2)或，与圆相离； 或，此时与圆相切； 或，此时与圆相交. (3). 【分析】（1）两个点关于直线对称，则线段中点在直线上且两直线垂直，建立方程组，解出答案即可； （2）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系； （3）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值. 【详解】（1）点关于直线的对称点为，且线段的中点坐标为， 解得 的方程为. （2）圆的方程可变形为， 则圆心的坐标为，且，解得或， 圆的半径. 设圆心到的距离为，则. 若，则，解得， 又或或， 此时与圆相离； 若，则或，此时与圆相切； 若，则或，此时与圆相交. （3）由题可知，解得或（舍去）. 当时，圆，圆心，半径. 由题可知圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为， 由切点在劣弧上，知，. 点在线段上，. 当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且. 圆的半径的最大值为. ◆题型4 光线反射问题 16．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 【答案】 【分析】先求点关于直线的对称点，由反射定律知反射光线所在直线就是直线，再由两点式写出方程并整理. 【详解】设点关于直线的对称点为. 因为的斜率为，由得，即①； 又的中点在上，即②. 联立①②解得、，即. 由反射定律知，反射光线所在直线即为直线，其斜率. 所以反射光线所在直线方程为，即. 17．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 【答案】 【分析】建立直角坐标系并利用反射的对称性化折为直，通过对称点连线必过重心的条件解出起点位置，最终计算两对称点之间的距离得出周长. 【详解】因为，所以， 以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则有，设点， 设点关于轴的对称点为，其坐标为， 设点关于直线的对称点为，直线的方程为， 整理得，设，则有， 即，进而有，因此， 由对称可知，且四点共线， 所以的周长等于， 的重心坐标为， 直线的斜率， 进而直线的方程为， 代入重心坐标得，即 整理得，因为是边上异于端点的一点，所以，所以， 所以， ，即的周长等于. 18．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光线反射的性质将光线从到经过的路程转化为的长度，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 19．（25-26高二上·重庆·期末）已知，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)；动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 (2)或 【分析】（1）设，由建立等式化简可得，根据圆的概念可说明轨迹的形状； （2）设点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线斜率为，写出直线方程，根据直线与圆的位置关系建立等式计算即可求解. 【详解】（1）设，因为， 所以，化简可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （2）点关于轴的对称点为， 由题意可得过点的直线斜率存在，则反射光线所在直线斜率也存在， 设过点的直线斜率为，则反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与动点的轨迹相切， 则，解得， 所以反射光线所在直线的方程为或.    20．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设直线上任意一点的对称点坐标，通过坐标关系求解； （3）计算点关于直线和的对称点分别为，该光线所经过的路程长度即两个对称点间的距离. 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. ◆题型5 直线关于点对称 21．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 22．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，点. (1)直线关于点对称的直线的方程： (2)以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设为直线上的任意一点，先求出点关于点的对称点，再代入直线的方程即可求解； （2）根据圆的几何性质可求得圆心到直线的距离为1，再分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）设为直线上的任意一点， 而点关于点的对称点为， 则在直线上， 代入直线得，，即， 则直线关于点对称的直线的方程为. （2）由题意，直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为， 则圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为3，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 23．（25-26高二上·广东·期中）（多选）下列选项正确的是（     ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．直线关于对称的直线为 D．原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】利用平行关系求出直线方程判断A；由斜率求出倾斜角范围判断B；由中心对称判断C；求出直线所过定点判断D. 【详解】对于A，设与直线平行的直线方程为， 而该直线过点，则，解得，所求方程为，A正确； 对于B，当时，，得，B错误； 对于C，直线过点，而关于的对称点不在直线上，C错误； 对于D，直线恒过定点，令原点为，当且仅当垂 直于直线时，原点到该直线距离最大，为，D正确. 故选：AD 24．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 25．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)直线为，相离； (2)是，. 【分析】（1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. 【详解】（1）点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离；    （2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得， 所以，则， ，则， ， 由，得，则， ， ， 为定值. ◆题型6 直线关于直线对称 26．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 27．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 28．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，写出对称直线的方程，再利用直线与圆有公共点的条件，解不等式即可. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，得，所以， 即直线关于对称的直线为直线， 因为， 所以直线的方程为：，即， 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 整理得：，解得， 所以的取值范围是. 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】解析  ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 30．（25-26高二上·四川成都·期中）已知直线：，：的交点 (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线的方程； (3)求直线关于直线对称的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立两直线方程求解可得其焦点坐标，再求出直线的斜率，结合垂直性质即可得； （2）结合截距定义，分该直线过原点与该直线不过原点进行讨论即可得； （3）找出直线上任意一点关于对称的点后，结合点计算即可得解. 【详解】（1）联立，解得，故， 因为直线斜率，则所求直线斜率为， 所以所求直线方程为，即； （2）由（1）得，当所求直线过原点时，方程为，即； 当所求直线不过原点时，可设为，则有，解得， 即所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或； （3）对：，令，得，故是上的点， 设关于对称的点为， 则有，解得，故在所求直线上， 则所求直线方程为，即. ◆题型7 将军饮马问题求最值 31．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 32．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 33．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1） 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， （2） ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 34．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式求方程； （2）计算点到直线的距离，再利用面积公式计算； （3）设点关于直线的对称点为，求出即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； （2）由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； （3）设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 35．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. ◆题型8 对称解决距离的最值问题 36．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】配方转化为平面上点到两定点距离之和，用对称点求最小值，的最大值就是这个最小值. 【详解】对两个根号内的二次式分别配方， ，， 原式表示轴上动点到点、的距离之和， 作关于轴的对称点，由对称性可知， 因此，当且仅当、、三点共线时取等号， ，因此的最小值为5， 若不等式对任意实数恒成立，则，即的最大值为5. 37．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为点到点的距离之和的最小值即可. 【详解】表示点到点的距离之和， 因为当点位于线段上时有最小值， 当点位于线段上时有最小值， 故点是线段的交点时，有最小值，最小值为. 38．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解出顶点的坐标；求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标． 【详解】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 39．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. 【详解】（1）联立，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 40．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点距离公式求底边，由点到直线距离公式求高，代入面积公式计算； （2）由“垂直”、“平分”列式求解对称点坐标； （3）由求解. 【详解】（1）设边上的高为，则就是点到所在直线的距离， 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 因为， 所以的面积为； （2）因为，所以直线AB方程为， 设，则，解得， 所以点C的坐标为； （3）由（2）知，， 所以， 当C，P，Q三点共线时等号成立，的最小值为. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 3．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 4．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当时，将函数转化为直线上点P到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可. 【详解】当时，，可视为与两点间的距离，则P是直线上的动点，，可视为点到直线的距离，设与y轴交于点，过点P作，垂足为B，画出示意图如下： 则待求为的最小值，当三点共线，且时，点A到直线的距离为所求的最小值，此时，. 故选：B. 5．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点到点的距离和它到直线的距离的比为，记点的轨迹为，则下列选项中错误的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．最大值为4 D．最小值为 【答案】C 【分析】先求出点P满足的曲线方程，对于A，将轨迹方程中的与互换，分析曲线方程是否发生改变即可判断选项是否正确；对于B，将轨迹方程中的换为，换为，分析曲线方程是否发生改变即可判断选项是否正确；对于C，结合放缩即可求解；对于D，结合放缩即可求解． 【详解】设，点到直线的距离为， 点到点的距离为， 依题意有，， 两边同时平方并化简得，也即， 对于A，若将轨迹方程中的与互换，方程变为， 与原方程一致，故关于直线对称，故A正确； 对于B，若将轨迹方程中的换为，换为，方程变为， 化简可知与原方程一致，故关于直线对称，故B正确； 对于C，设，则，即求的最值， 由，可得， 即，当且仅当时等号成立，所以，故C错误； 对于D，由C选项可知，满足， 对其进行变换可得， 即，等号当且仅当时成立， 也即时成立，又P点在曲线上，联立可得此时，所以，故D正确． 故选：C． 二、多选题 7．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知直线，则（ ） A．过点与直线平行的直线方程为 B．过点与直线平行的直线方程为 C．与直线关于原点对称的直线方程为 D．与直线关于原点对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】根据两直线平行求直线方程，可判断AB的真假；用代替，代替，可得直线关于原点的对称直线方程，可判断CD的真假. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为平行线过点，所以，解得， 所以过点与直线平行的直线方程为.故A错误，B正确. 用代替，代替，可得直线关于原点对称的直线方程为： ，即为.故C正确，D错误. 8．（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有三个解 【答案】ACD 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】由已知， 设，，，则，如图， 由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确； 显然轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即， 所以，B错； 设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，， ∴， ∴，在轴上点的右侧，， ∴，即 这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； ，， 设，则的解是和， 有一个解，而有两个解，因此有三个解，D对． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题关键是数与形的结合，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决. 三、填空题 10．（微点9 “圆”来如此多娇【练】 -高中同步微点进阶）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为_______. 【答案】 【分析】先分别写出两圆的圆心和半径，根据题意确定l是两圆心连线的垂直平分线，求出两圆心中点坐标，以及圆心连线的斜率，进而可求出所求直线方程. 【详解】的圆心为，半径为； 的圆心为，半径为. 由题意知，直线l是线段的垂直平分线. 线段的中点为，斜率为，所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 11．（25-26高一下·山东威海·期中）在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________． 【答案】/ 【分析】设点关于的对称点为，求得点，结合三角函数的定义，即可求解． 【详解】设点关于的对称点为， 可得，解得， 即角的终边上一点的坐标为， 根据三角函数的定义，可得． 12．（25-26高二上·云南保山·期末）一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 四、解答题 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1)， (2)39 (3)， 【分析】(1)根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， （2）根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， （3）求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标. 【详解】（1）设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. （2）因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为.    14．（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形可知，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）由光的反射原理可知，从点射出的入射光所在直线方程经过点关于轴的对称点，求出后结合直线点斜式方程即可求解； （3）设出的坐标后，可设出直线的截距式方程，代入点可得，因为三点共线且与方向相反，故可表示为，用坐标运算表示出数量积后，再用乘“1”法与基本不等式即可得解. 【详解】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 15．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标． (2)点是直线上的一动点，以为边向右作正方形． ①若点是线段中点，求点坐标． ②连接．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用对称关系列出方程求解即可； （2）①设，根据，，列出方程即可求解； ②设，过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线相交于，过作轴的垂线交于，根据全等三角形可得，，，利用列出等式即可求解. 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 点是点关于直线的对称点， 所以，解得：， 所以点的坐标为 （2）①由题可得：，， 则，, ，， 设， 则，解得：，或， 因为以为边向右作正方形，则， 所以点的坐标为； ②由题可得：，， 因为点是直线上的一动点，设， 则, 过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线相交于， 过作轴的垂线交于， 因为正方形，则， 则，， 所以,， 则， 所以， 由于， 所以，解得：或， 所以点坐标为或. 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线中的对称问题（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点的对称问题 ◆题型2 求点关于直线的对称点（重） ◆题型3 点的对称轴 ◆题型4 光线反射问题 ◆题型5 直线关于点对称 ◆题型6 直线关于直线对称（难） ◆题型7 将军饮马问题求最值（高频） ◆题型8 对称解决距离的最值问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点的对称问题 1．（2025高二下·湖北·学业考试）已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________． 2．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 3．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 4．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为D，当点P在圆上运动时，求： (1)设，求的中点M的坐标； (2)求的中点M的轨迹方程. 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. ◆题型2 求点关于直线的对称点 6．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 7．（2027高三·全国·专题练习）若，点关于直线的对称点在直线上，那么的最小值等于________． 8．（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 9．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知的顶点的平分线所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 10．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. ◆题型3 点的对称轴 11．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为__________.（结果用一般式方程表示） 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则______. 14．（24-25高二上·吉林·阶段检测）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 15．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知圆，点关于直线的对称点为. (1)求的方程； (2)讨论与圆的位置关系； (3)若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值. ◆题型4 光线反射问题 16．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 17．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 18．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·重庆·期末）已知，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 20．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. ◆题型5 直线关于点对称 21．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 22．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，点. (1)直线关于点对称的直线的方程： (2)以为圆心，3为半径作圆，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 23．（25-26高二上·广东·期中）（多选）下列选项正确的是（     ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．直线关于对称的直线为 D．原点到直线的距离的最大值为 24．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 25．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. ◆题型6 直线关于直线对称 26．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 27．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 28．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 30．（25-26高二上·四川成都·期中）已知直线：，：的交点 (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线的方程； (3)求直线关于直线对称的直线的方程. ◆题型7 将军饮马问题求最值 31．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 32．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 34．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 35．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. ◆题型8 对称解决距离的最值问题 36．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 37．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 38．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 39．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 40．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 4．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 5．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点到点的距离和它到直线的距离的比为，记点的轨迹为，则下列选项中错误的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．最大值为4 D．最小值为 二、多选题 7．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知直线，则（ ） A．过点与直线平行的直线方程为 B．过点与直线平行的直线方程为 C．与直线关于原点对称的直线方程为 D．与直线关于原点对称的直线方程为 8．（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有三个解 三、填空题 10．（微点9 “圆”来如此多娇【练】 -高中同步微点进阶）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为_______. 11．（25-26高一下·山东威海·期中）在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________． 12．（25-26高二上·云南保山·期末）一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 四、解答题 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 14．（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 15．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点． (1)求点的坐标． (2)点是直线上的一动点，以为边向右作正方形． ①若点是线段中点，求点坐标． ②连接．若，求点的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $