专题01 直线的倾斜角与斜率重难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高二数学下学期重难点专题提升精讲精练（沪教版2020选择性必修第一册）

专题01 直线的倾斜角与斜率重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八 倾斜角、直线与线段公共点的问题 知识点01 直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。定α=0° 2.取值范围：倾斜角的取值范围是，当直线与轴垂直时，α=90° 知识点02 直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即。 2.计算公式：给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（x1≠x2），用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率的公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1) 知识点03 斜率与倾斜角的关系 当k＞0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大；当k＜0时，直线与x轴夹角越小（大于π/2），斜率越小 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知是直线的倾斜角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】由题意可知，由求出的值，即可得出结论. 【详解】由题意可知，则， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 1．（24-25高二下·上海普陀·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（23-24高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】将直线化为一般式，得到其斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系，即可得到结果. 【详解】直线方程为，斜率为，则倾斜角为． 故答案为: 3．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【答案】 【分析】根据5颗星的位置情况知，过作轴的平行线并确定的大小，即可知所在直线的倾斜角. 【详解】都为五角星的中心点， 平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为知：， 过作轴的平行线，如下图，则，    直线的倾斜角为. 【经典例题二 直线斜率的定义】 【例2】（2024·上海闵行·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 1．（24-25高二下·上海长宁·期末）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线倾斜角与斜率关系和方向向量与斜率关系求出即可； 【详解】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为， 又方向向量，即，解得. 故选：D. 2．（23-24高二下·上海金山·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由条件知，，， 因为直线的斜率为，又， 所以直线的斜率， 设点的坐标为，则，， 联立，解得，故 所以，，    故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·课后作业）直线在直角坐标平面内的斜率是，向量在直线上，求向量在轴上的投影向量． 【答案】或 【分析】结合题意求得，从而分类讨论，结合投影向量公式即可得解. 【详解】依题意，设向量与轴的夹角为，则， 可设轴正半轴上的单位向量为， 因为，即， 所以，故， 当时，， 所以向量在轴上的投影向量为； 当时，， 所以向量在轴上的投影向量为； 综上：向量在轴上的投影向量为或. 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出a的取值范围. 【详解】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 1．（24-25高二下·上海青浦·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围. 【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例4】（24-25高二下·上海徐汇·期中）过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，若直线过原点，则其斜率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点的坐标表示点的坐标，根据，即可求解. 【详解】设，过点作轴的平行线，交于点， 过点作轴的平行线交于点，由题意可得， 解得或，经检验，不符合，故其斜率为． 故选：B 1．（2024·上海嘉定·三模）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点的所有直线中，下列说法正确的（    ） A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 【答案】C 【分析】分析斜率不存在的直线和斜率为0的直线上的有理点的个数，再在斜率存在且不为0的直线上假设有两个有理点，利用直线的斜率公式推导出矛盾，从而判断各选项． 【详解】显然直线过点且此直线上有无数个有理点，选项D错误； 直线上的所有点都不是有理点， 其它过点斜率存在且不为0的直线上假如有两个有理点，都是有理数， 则此直线的斜率为为有理数，又为无理数，显然，矛盾， 因此此类直线上不可能有两个或以上的有理点．所以AB均错，C正确． 故选：C． 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式应用，斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海虹口·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例5】（24-25高二下·上海普陀·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【分析】设，则利用举步之比可表示出，结合条件，由直线的斜率建立方程，解之即得. 【详解】设，则,， 因,则 由直线的斜率为0.725，可得， 即，解得. 故选：A. 2．（23-24高二下·上海金山·开学考试）已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点 ， ． 【答案】 【分析】根据，在曲线上，设出点，的坐标，由，两点连线的斜率得出，的坐标关系，即可得到满足条件的一组点. 【详解】由题意， 在中，点，在曲线上， 设，， ，两点连线的斜率为2， ∴， 解得：， ∴当时，，． 故答案为：，. 3．（23-24高二下·上海虹口·课后作业）已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 【答案】(1) (2)，此时直线的一个方向向量为 【分析】（1）根据两点求斜率的公式列方程，从而求得. （2）根据倾斜角为列方程求得，再根据方向向量的知识求得直线的一个方向向量. 【详解】（1）由，解得， 所以当时，直线的斜率是. （2）若直线的倾斜角为，则， 此时直线的方程为，与轴平行， 所以直线的一个方向向量为. 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例6】（23-24高二下·上海金山·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可. 【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：D. 1．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 2．（2024高二下·上海奉贤·课后作业）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答； （2）先确定满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率. （2）当点在两点之间时， 由点在线段上， 易知，即， 即， 当P与重合时也满足， 因此， 亦即，且， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 【经典例题七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例7】（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 1．（24-25高二下·上海虹口·期中）已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，函数上一点与连线斜率的倍，求出的范围，即可得出答案. 【详解】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海徐汇·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【经典例题八 倾斜角、直线与线段公共点的问题】 【例8】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 1．（23-24高二下·上海长宁·期中）曲线的方程为，若直线的曲线有公共点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的几何意义可得曲线为线段，根据动点过定点结合斜率公式可求的取值范围. 【详解】曲线C即为平面上到两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹， 但两个定点的距离为，故曲线C的轨迹为线段， 而直线即，它是过定点，斜率为的直线， 要使直线与线段有公共点，即需 故选：A. 2． （23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为 . 【答案】 【分析】利用直线斜率公式、直线及其对称直线的关系分析运算即可得解. 【详解】解：    由斜率公式，射线的斜率为， 射线的斜率为， 如上图，由题意，一束光射向轴，经轴反射，与线段 始终相交，则射线即与关于对称，射线即 与关于对称， ∴，， ∴这束光所在直线的斜率取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 1．（24-25高二下·上海崇明·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海长宁·阶段练习）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 3．（23-24高二下·上海徐汇·开学考试）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由题意得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 当时，取，则， 但，即充分性不成立； 当时，取，则， 但，即必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 5．（24-25高二下·上海徐汇·课后作业）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴平行线，由五角星的内角和可求出，即可求出答案. 【详解】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为.    故选：C. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先根据函数的对称轴是直线，推断出，求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得． 【详解】因为函数图像的一条对称轴是直线， 所以，即，所以， 所以直线的斜率为， 由于，所以直线的倾斜角为， 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断直线过定点，再根据直线与线段相交，求出直线斜率的取值范围，最后根据正切函数的性质，求出倾斜角的取值范围即可. 【详解】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 8．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 【答案】/ 【分析】由直线斜率与倾斜角之间的关系，计算即可得出答案． 【详解】 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3， 建立如图平面直角坐标系， 设对角线OB所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 则 故答案为： 9．（23-24高二下·上海徐汇·课前预习）直线的斜率 （1）斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 . （2）斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 . 【答案】 不存在 不存在 【分析】略 【详解】略 10．（23-24高二下·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    11．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 12．（2024高二·上海静安·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 13．（23-24高二·上海徐汇·课后作业）已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系． 【答案】分类讨论，答案见解析 【分析】由在分别单调递增，且时，；时，，分类讨论分析即得解 【详解】由直线斜率与直线倾斜角的关系： 由于在分别单调递增， 且时，；时， （1）当时，有，， 由在单调递增，有 （2）当时，有，， 由在单调递增，有 （3）当，有，， 由在单调递增，有 （4）当，有， 由在单调递增，有 14．（23-24高二下·上海金山·阶段练习）根据下列条件，求直线的倾斜角； (1)斜率为； (2)经过两点； (3)一个方向向量为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由斜率和倾斜角的关系求倾斜角； （2）由直线的斜率公式求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角； （3）由方向向量的定义求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】（1）设直线的倾斜角为， ∵直线的斜率为，∴， 又∵，∴； （2）由已知得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， ∵，∴； （3）由直线的一个方向向量为，可得斜率， ∵，∴. 15．（23-24高二下·上海静安·课后作业）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    【答案】 【分析】根据题意结合图形求出直线的斜率，直线的斜率，即得直线斜率的取值范围． 【详解】根据图形，∵直线的斜率是， 直线的斜率是， ∴过点的直线与线段有公共点时， 直线的斜率的取值范围是 ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线的倾斜角与斜率重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八 倾斜角、直线与线段公共点的问题 知识点01 直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。定α=0° 2.取值范围：倾斜角的取值范围是，当直线与轴垂直时，α=90° 知识点02 直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即。 2.计算公式：给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（x1≠x2），用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率的公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1) 知识点03 斜率与倾斜角的关系 当k＞0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大；当k＜0时，直线与x轴夹角越小（大于π/2），斜率越小 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知是直线的倾斜角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（24-25高二下·上海普陀·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 2．（23-24高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角为 ． 3．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【经典例题二 直线斜率的定义】 【例2】（2024·上海闵行·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海长宁·期末）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·上海金山·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    3．（23-24高二下·上海·课后作业）直线在直角坐标平面内的斜率是，向量在直线上，求向量在轴上的投影向量． 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海青浦·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例4】（24-25高二下·上海徐汇·期中）过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，若直线过原点，则其斜率为（   ） A．1 B． C． D． 1．（2024·上海嘉定·三模）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点的所有直线中，下列说法正确的（    ） A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）直线过点，，则直线的倾斜角为 3．（23-24高二下·上海虹口·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例5】（24-25高二下·上海普陀·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 2．（23-24高二下·上海金山·开学考试）已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点 ， ． 3．（23-24高二下·上海虹口·课后作业）已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例6】（23-24高二下·上海金山·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 1．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·上海奉贤·课后作业）若三点，， (其中)共线，则 . 3．（23-24高二下·上海·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 【经典例题七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例7】（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海虹口·期中）已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 3．（23-24高二下·上海徐汇·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【经典例题八 倾斜角、直线与线段公共点的问题】 【例8】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海长宁·期中）曲线的方程为，若直线的曲线有公共点，则的取值范围是 A． B． C． D． 2． （23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为 . 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 1．（24-25高二下·上海崇明·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海长宁·阶段练习）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海徐汇·开学考试）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海徐汇·课后作业）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为 . 7．（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 8．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 9．（23-24高二下·上海徐汇·课前预习）直线的斜率 （1）斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 . （2）斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 . 10．（23-24高二下·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .      11．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 12．（2024高二·上海静安·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 13．（23-24高二·上海徐汇·课后作业）已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系． 14．（23-24高二下·上海金山·阶段练习）根据下列条件，求直线的倾斜角； (1)斜率为； (2)经过两点； (3)一个方向向量为． 15．（23-24高二下·上海静安·课后作业）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    学科网（北京）股份有限公司 $$