第1章 平面直角坐标系中的直线（复习讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

第1章 平面直角坐标系中的直线 复习要点 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、点法式和一般式，能根据条件选择恰当的形式求直线方程． 3.能根据直线方程的系数判断两条直线相交、平行、重合与垂直，会求两条直线的交点和夹角． 4.掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 复习重难点 重点：直线方程的各种形式；两条直线的位置关系；点到直线的距离． 难点：含参数直线的位置关系讨论；与斜率、截距、距离有关的最值问题． 知识点 直线的倾斜角与斜率 直线与轴相交时，轴绕交点沿逆时针方向旋转到与重合时所转过的最小正角叫作的倾斜角；与轴平行或重合时，倾斜角为．倾斜角的范围是． 倾斜角时，直线的斜率为；时，斜率不存在．过、（）的直线的斜率为． 注意：倾斜角为的直线没有斜率，含参数的问题要单独讨论这种情形；倾斜角在和上时，斜率都随倾斜角的增大而增大． 要点速测 1．（26-27高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线的倾斜角为（     ） A．180° B．45° C．90° D．0° 【答案】D 【详解】∵此直线平行于轴，设直线的倾斜角为， ∴直线斜率， 又，∴. 2．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）若过点的直线l与以，为端点的线段相交，则直线l的倾斜角取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设直线的倾斜角为，如图，若和线段相交，考虑两个端点和连线的斜率， 由题知，， 根据倾斜角和斜率的关系，则的倾斜角分别是， 结合图形可知，时，和线段相交. 知识点 直线的方程 点斜式：过点、斜率为的直线方程为；斜截式：斜率为、在轴上的截距为的直线方程为． 两点式：过、（且）的直线方程为． 点法式：过点、法向量为的直线方程为；一般式：（、不同时为零），是它的一个法向量． 要点归纳：点斜式、斜截式不能表示斜率不存在的直线；两点式不能表示与坐标轴平行或重合的直线；截距是交点的对应坐标数值，可以为负数或零． 要点速测 3．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由化简得，所以直线斜率为. 4．（26-27高二上·吉林四平·期中）已知直线过点，斜率为，则直线在轴上的截距为（     ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【详解】直线过点，且斜率, 根据直线的点斜式方程可得：，化简得, 令，得,所以直线在轴上的截距为. 知识点 两条直线的位置关系 设：，：．与相交的充要条件是；的充要条件是存在实数，使、，但；与重合的充要条件是、且． 的充要条件是；两条直线的斜率都存在时，的充要条件是． 注意：由求出参数后，要把参数代回检验两条直线是否重合． 要点速测 5．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与直线平行的直线方程为，， 直线过点，将点的坐标代入得： ，解得. 因此所求直线方程为. 6．（26-27高二上·广西·阶段检测）经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 【答案】 【详解】将已知直线化为斜截式，得其斜率. 若两条斜率存在的直线互相垂直，则斜率乘积为，因此所求直线的斜率. 已知所求直线过点，代入直线的点斜式方程得， 即. 知识点 两条直线的夹角 两条相交直线的夹角满足，夹角公式为． 要点归纳：夹角公式由两条直线的法向量的夹角得到，取绝对值是因为法向量的夹角可能是钝角． 要点速测 7．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 知识点 点到直线的距离 点到直线的距离为． 两条平行直线与之间的距离为． 注意：用平行线间距离公式前，要先把两条直线方程中、的系数化成相同的． 要点速测 8．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知为坐标原点，点是直线上任意一点，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】因为点是直线上任意一点， 所以的最小值即是坐标原点到直线的距离，设点到直线的距离为， 又， 所以的最小值为. 9．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）直线：与直线：之间的距离是________． 【答案】 【详解】直线：，则直线：， 则直线与直线之间的距离. 题型1 倾斜角与斜率的计算及范围 ▌例1 （26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，，若直线：与线段有交点，则直线斜率的取值范围_________________． 解题要点 倾斜角与斜率的计算及范围 已知两点用斜率公式求斜率；已知方程先化为斜截式再读斜率． 动直线过定点且与线段有公共点：先求定点与两端点连线的斜率，再看直线能否转到竖直位置． 【答案】 【详解】由直线：， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，则，， 若直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为. ▌迁移练1-1 （26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. (1)直线 的倾斜角为直角; (2)直线 的倾斜角为锐角; (3)直线 的倾斜角为钝角. 【详解】（1）∵直线的倾斜角为直角，所以 . （2）因为直线的倾斜角为锐角， 所以 ， 解得 ， 即的取值范围为， （3）因为直线的倾斜角为钝角， 所以， 解得或， 即的取值范围为. ▌迁移练1-2 （25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 题型2 直线方程的求法 ▌例2 （26-27高二上·贵州·阶段检测）已知点，，． (1)求直线AB的斜截式方程； (2)求与直线AB平行，且经过点C的直线的一般式方程； (3)求过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 解题要点 直线方程的求法 已知一点和斜率用点斜式，已知两点用两点式，已知法向量用点法式，最后按要求化成一般式或斜截式． 与截距有关的条件，要单独讨论直线过原点的情形． 【详解】（1），直线在轴截距为1，斜截式方程为. （2）所求直线与平行，斜率，过，点斜式方程为，整理为一般式方程为. （3）当截距不为 0 时，设，代入得，方程为； 当截距为 0 时，直线过原点，设，代入得，方程为. 综上直线方程为或. ▌迁移练2-1 （26-27高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线经过，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线过点，且，求直线的方程． 【详解】（1）因为直线过点，所以直线方程为， 整理得. （2）由（1）直线，因为，所以可设， 又直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. ▌迁移练2-2 （26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当截距为零时，直线过原点，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 当截距不为零时，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 综上所得，直线的方程为或. 题型3 两条直线平行与垂直的判定及应用 ▌例3 （26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解题要点 两条直线平行与垂直的判定及应用 平行：，并代回检验是否重合；垂直：． 与直线平行的直线可设为，垂直的直线可设为． 【答案】B 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. ▌迁移练3-1 （26-27高二上·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意，两个集合分别为直线和直线上的点集，交集为空说明两直线平行． 对于两条直线，， 平行且不重合的充要条件为， 由，得，解得． 将代入验证：，， 满足，两直线不重合，故符合条件． ▌迁移练3-2 （26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知点，，直线经过点． (1)若与直线平行，求的斜截式方程； (2)若与直线垂直，求的一般式方程； (3)若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 【详解】（1）由题， 因为与直线平行，所以， 所以的方程为． （2）因为与直线垂直，所以， 所以的方程为，即． （3）依题意，， 若与线段延长线有公共点，如图，则的斜率的取值范围是. 题型4 两条直线的交点与直线过定点 ▌例4 （26-27高二上·广西·期中）已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 解题要点 两条直线的交点与直线过定点 两条直线的交点坐标就是两条直线方程组成的方程组的解． 含参数的直线方程整理成，由、求出定点． 【答案】B 【详解】联立方程得，解得，故， 直线：恒过，故， 因为均在轴上， 所以的面积为. ▌迁移练4-1 （26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知直线方程为，则过定点的坐标为________；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是________． 【答案】 【详解】①因为已知直线方程为， 所以， 又因为方程对于任意的都成立，所以有，解得， 所以过定点的坐标为， ②设直线的斜率为，则，所以， 因为的坐标为且满足方程，所以， 当时，斜率不存在； 当时，解得或，不符题意，舍去； 当时，解得， 当时，若，则，， 若，则，， 当时，若，则，， 若，则，， 综上所述，直线的斜率取值范围是. ▌迁移练4-2 （26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线与直线交于点，求过点且垂直于直线的直线的一般式方程为____________________． 【答案】 【详解】联立方程组，解得，即. 因为直线的斜率为， 所以，则. 直线的点斜式方程为，则一般式方程为. 题型5 距离公式的应用 ▌例5 （26-27高二上·山东泰安·阶段检测）与直线平行且距离为的直线方程是__________. 解题要点 距离公式的应用 用点到直线的距离公式前，先把直线方程化成一般式；求平行线间距离前，先统一、的系数． 表示点与点的距离；直线上的点到定点距离的最小值就是定点到直线的距离． 【答案】或 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为， 根据平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以所求直线方程为或. ▌迁移练5-1 （26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知实数满足，则的最小值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当取最小值时， 即为点到直线的距离． ▌迁移练5-2 （26-27高二上·重庆巴南·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】的几何意义是点与原点的距离. 由于点在直线上，因此的最小值即为原点到直线的垂线段长度， 即，所以的最小值为. 难点一 对称问题 难点1：点关于直线的对称点 求点关于直线：的对称点：线段的中点在上，且，由这两个条件列方程组解出、． 难点2：直线关于直线对称与光线反射 在已知直线上取两点（或取它与对称轴的交点，再取一点），分别求出关于对称轴的对称点，由对称点写出所求直线的方程． 光线反射问题中，入射光线上任一点关于反射面所在直线的对称点，都在反射光线所在的直线上． 难点精练 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 【答案】 【详解】设对称点的坐标为， 易得直线：的斜率为2， 由题意知与直线垂直， 则，整理得， 已知，， 则的中点为， 代入直线的方程得，整理得， 联立，可得， 故的坐标为． 2．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意在反射光线上，又也在反射光线上， 所以，故所求方程为，整理得． 3．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，A为坐标原点．将矩形折叠，使A点落在线段上（包括端点），落点记为G． (1)若折痕所在直线的斜率为k，求点G的坐标及折痕所在直线方程（结果均用k表示）； (2)当时，求折痕长的最大值； (3)当时，折痕为线段，设，试求t的最大值． 【详解】（1）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 所以A与G关于折痕所在的直线对称， 有， 故G点坐标为， 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为， 因为在上，所以， 则, 折痕所在的直线方程，即， 由①②得折痕所在的直线方程为：； （2）当时，折痕的长为2， 当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍） 当时，由折痕所在的直线方程为：，令，解得：, 因为,所以,所以折痕与轴的交点在点及其右侧，在矩形的外部， 令，解得：,因为,所以, 所以折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于， 折痕长度的最大值为 ， 而， 故折痕长度的最大值为  ； （3）当时，由折痕所在的直线方程为：，令，解得：, 因为,所以,所以折痕与轴的交点在线段上， 令，解得：,因为,所以, 所以折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于， ， ， ， 当且仅当时取“”号， 当时，t取最大值，t的最大值是． 难点二 与面积、距离有关的最值 难点1：截距与三角形面积 直线过定点且与两坐标轴的正半轴相交时，设方程为（，），则，三角形面积，可用基本不等式求最值，并检验等号能否取到． 难点2：斜率与距离的几何意义 把看作点与点连线的斜率，把看作两点间的距离，画图找出取最值的位置． 难点精练 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 5．（26-27高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，交轴、轴于，两点，为坐标原点，则的最小面积为_______． 【答案】4 【详解】由直线平行关系，可设过点的直线方程为：，则，， 因为，所以，， ， 当且仅当，即：时等号成立，此时的最小面积为4. 6．（26-27高二上·辽宁锦州·阶段检测）已知平面内三点，，，为坐标原点． (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点， ①求面积的最小值及此时的方程； ②求的最小值及此时的方程． 【详解】（1）因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. （2）①设直线的方程为 ， 将代入可得， 由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 则， 此时直线方程为，即； ②由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 基础达标 1．（26-27高二上·天津宁河·阶段检测）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知直线平行于纵轴，即其倾斜角为. 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线与直线都经过点， 所以和分别满足方程，， 即点、的坐标都满足方程， 因此直线的方程为，故B正确. 3．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将直线整理为斜截式，可得其斜率， 设直线的斜率为，因两直线垂直且斜率均存在，故满足， 代入，解得， 设直线的倾斜角为，其中， 由斜率与倾斜角的关系，得， 又因为， 所以. 4．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形. 5．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）直线与直线相交于点，且点为、的中点，则线段的中垂线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线与直线的相交于点， 则将点坐标代入两直线方程，可得． 又有为、的中点， 则由中点坐标公式，可得，即． 由，可得， 将代入，可得， 还可得，即． 所以直线的斜率为， 则由于两直线斜率存在时，若两直线垂直，斜率之积为，可得线段的中垂线的斜率为， 由点斜式方程，可得中垂线的方程为，即． 6．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是__________． 【答案】/ 【详解】设直线上任意一点为， 则当直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度时， 直线上任意一点也进行同样的移动，故平移后得． 由于平移后所得直线与直线重合，则点与点都在直线上， 则直线的斜率． 7．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）直线：与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______． 【答案】 【详解】在直线中令，解得，因此， 将直线的方程变形为斜截式，可得其斜率，设直线的倾斜角为，，由得， 将绕点顺时针旋转，因此直线的倾斜角为，其斜率， 由斜截式得直线的方程为，整理为一般式为. 8．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）若斜率为的直线经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积为________ 【答案】 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 9．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 所以． 10．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 11．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 【详解】（1）直线整理可得，斜率， 由题两直线垂直，故直线l的斜率为， 直线l过点，故由点斜式可知直线为， 整理得的直线方程为：. （2）当x轴上与y轴上的截距都为0时，即直线过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，直线方程为； 当x轴上与y轴上的截距不为0时，即直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得，，直线方程为； 综上所述，所求直线l方程为或. 12．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 因为直线经过，两点，所以直线的斜率为. 因为，所以与互相垂直. 13．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知的顶点坐标分别是，，．求 (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求的面积． 【详解】（1）由已知线段的中点坐标为， 又点的坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为； （2）因为，， 所以直线的斜率， 所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 又线段的中点坐标为， 所以边的垂直平分线所在直线方程为， 故边的垂直平分线所在直线的一般方程为， （3）因为直线的斜率，点的坐标为， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 又， 所以的面积. 14．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程. 【详解】（1）由直线的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为，即. （2）若直线经过原点，设直线方程为，代入可得； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为； 综上，直线的方程为或. 能力进阶 一、选择题 1．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若直线与一个三角形恰有一个交点，则交点只能是顶点． 若交点在某条边的内部而直线不与该边重合，直线会穿过三角形内部，与三角形的交集是一条线段； 若与该边重合，则交点也不止一个． 因此必经过的一个顶点和的一个顶点． 九条顶点连线的斜率分别为： 从出发，，，； 从出发，，，； 从出发，，，． 其中最小的候选斜率为，对应直线． 直线的方程为． 代入、，分别得到、，异号，所以点位于直线的两侧，直线穿过的内部，不符合题意． 再看斜率，对应直线，其方程为． 代入，所得值依次为，均为正数． 因此与直线只有交点，与直线只有交点，故斜率可以取得． 由于候选斜率中比更小的只有，且已被排除，所以直线的斜率最小值为． 2．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 二、填空题 3．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 【答案】 【详解】 如图，角的平分线与交于点. 由题意得，，. 由角平分线定理得，， ∴, 设点坐标为，则， ∴， ∴， ∴直线方程为：，整理得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 【答案】 【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为， 代入方程得：，整理得： ①， 的中点为，， 的中垂线斜率为， 的中垂线方程为，即． 联立，解得， 的外心为． 外心到各顶点距离相等，则， 即， ，整理得：②， 联立①②得：或． 当时重合，舍去， 顶点的坐标是． 故答案为：． 5．（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 三、解答题 6．（26-27高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）若直线过原点，则有，解得，此时直线的方程为，即； 若直线不过原点，可设直线的方程为，整理可得， 此时直线的斜率为，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）对直线的方程变形得，由，解得， 故直线过定点， 由题意，设直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的截距式方程可得， 因为，则，由基本不等式可得，整理可得， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时直线的方程为，即. 7．（25-26高一下·上海·期末）已知直线 过点 且它的斜率为 ，直线 . (1)写出直线 的方程，并求当 时， 与 的夹角 ； (2)若 //，求实数 的值，并求此时直线 到直线 的距离 . 【详解】（1）因为直线的斜率为 ，且过点 ， 所以直线 的方程为，即； 当时，，其斜率为， 所以，， 即或； （2）因为，可化为， 若，，得； 则，即， 所以直线 到直线 的距离. 8．已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 【详解】（1）解：由，可得， 即； 又因为，    所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； （2）解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面直角坐标系中的直线 复习要点 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、点法式和一般式，能根据条件选择恰当的形式求直线方程． 3.能根据直线方程的系数判断两条直线相交、平行、重合与垂直，会求两条直线的交点和夹角． 4.掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 复习重难点 重点：直线方程的各种形式；两条直线的位置关系；点到直线的距离． 难点：含参数直线的位置关系讨论；与斜率、截距、距离有关的最值问题． 知识点 直线的倾斜角与斜率 直线与轴相交时，轴绕交点沿____________方向旋转到与重合时所转过的____________叫作的倾斜角；与轴平行或重合时，倾斜角为．倾斜角的范围是____________． 倾斜角时，直线的斜率为____________；时，斜率____________．过、（）的直线的斜率为____________． 注意：倾斜角为的直线没有斜率，含参数的问题要单独讨论这种情形；倾斜角在和上时，斜率都随倾斜角的增大而____________． 要点速测 1．（26-27高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线的倾斜角为（     ） A．180° B．45° C．90° D．0° 2．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）若过点的直线l与以，为端点的线段相交，则直线l的倾斜角取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点 直线的方程 点斜式：过点、斜率为的直线方程为____________；斜截式：斜率为、在轴上的截距为的直线方程为____________． 两点式：过、（且）的直线方程为____________． 点法式：过点、法向量为的直线方程为____________；一般式：（、不同时为零），是它的一个____________． 要点归纳：点斜式、斜截式不能表示____________的直线；两点式不能表示与坐标轴____________的直线；截距是交点的对应坐标数值，可以为负数或零． 要点速测 3．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·吉林四平·期中）已知直线过点，斜率为，则直线在轴上的截距为（     ） A．1 B． C． D．5 知识点 两条直线的位置关系 设：，：．与相交的充要条件是____________；的充要条件是存在实数，使、，但____________；与重合的充要条件是、且． 的充要条件是____________；两条直线的斜率都存在时，的充要条件是____________． 注意：由求出参数后，要把参数代回检验两条直线是否____________． 要点速测 5．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·广西·阶段检测）经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 知识点 两条直线的夹角 两条相交直线的夹角满足____________，夹角公式为____________． 要点归纳：夹角公式由两条直线的____________的夹角得到，取绝对值是因为法向量的夹角可能是钝角． 要点速测 7．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 知识点 点到直线的距离 点到直线的距离为____________． 两条平行直线与之间的距离为____________． 注意：用平行线间距离公式前，要先把两条直线方程中、的系数化成____________的． 要点速测 8．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知为坐标原点，点是直线上任意一点，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．5 9．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）直线：与直线：之间的距离是________． 题型1 倾斜角与斜率的计算及范围 ▌例1 （26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，，若直线：与线段有交点，则直线斜率的取值范围_________________． 解题要点 倾斜角与斜率的计算及范围 已知两点用斜率公式求斜率；已知方程先化为斜截式再读斜率． 动直线过定点且与线段有公共点：先求定点与两端点连线的斜率，再看直线能否转到竖直位置． ▌迁移练1-1 （26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. (1)直线 的倾斜角为直角; (2)直线 的倾斜角为锐角; (3)直线 的倾斜角为钝角. ▌迁移练1-2 （25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 题型2 直线方程的求法 ▌例2 （26-27高二上·贵州·阶段检测）已知点，，． (1)求直线AB的斜截式方程； (2)求与直线AB平行，且经过点C的直线的一般式方程； (3)求过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 解题要点 直线方程的求法 已知一点和斜率用点斜式，已知两点用两点式，已知法向量用点法式，最后按要求化成一般式或斜截式． 与截距有关的条件，要单独讨论直线过原点的情形． ▌迁移练2-1 （26-27高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线经过，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线过点，且，求直线的方程． ▌迁移练2-2 （26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型3 两条直线平行与垂直的判定及应用 ▌例3 （26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解题要点 两条直线平行与垂直的判定及应用 平行：，并代回检验是否重合；垂直：． 与直线平行的直线可设为，垂直的直线可设为． ▌迁移练3-1 （26-27高二上·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练3-2 （26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知点，，直线经过点． (1)若与直线平行，求的斜截式方程； (2)若与直线垂直，求的一般式方程； (3)若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 题型4 两条直线的交点与直线过定点 ▌例4 （26-27高二上·广西·期中）已知为坐标原点，直线：与：交于点，直线：恒过点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 解题要点 两条直线的交点与直线过定点 两条直线的交点坐标就是两条直线方程组成的方程组的解． 含参数的直线方程整理成，由、求出定点． ▌迁移练4-1 （26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知直线方程为，则过定点的坐标为________；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是________． ▌迁移练4-2 （26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线与直线交于点，求过点且垂直于直线的直线的一般式方程为____________________． 题型5 距离公式的应用 ▌例5 （26-27高二上·山东泰安·阶段检测）与直线平行且距离为的直线方程是__________. 解题要点 距离公式的应用 用点到直线的距离公式前，先把直线方程化成一般式；求平行线间距离前，先统一、的系数． 表示点与点的距离；直线上的点到定点距离的最小值就是定点到直线的距离． ▌迁移练5-1 （26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知实数满足，则的最小值（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2 （26-27高二上·重庆巴南·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为_______． 难点一 对称问题 难点1：点关于直线的对称点 求点关于直线：的对称点：线段的中点在上，且，由这两个条件列方程组解出、． 难点2：直线关于直线对称与光线反射 在已知直线上取两点（或取它与对称轴的交点，再取一点），分别求出关于对称轴的对称点，由对称点写出所求直线的方程． 光线反射问题中，入射光线上任一点关于反射面所在直线的对称点，都在反射光线所在的直线上． 难点精练 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 2．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 3．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，A为坐标原点．将矩形折叠，使A点落在线段上（包括端点），落点记为G． (1)若折痕所在直线的斜率为k，求点G的坐标及折痕所在直线方程（结果均用k表示）； (2)当时，求折痕长的最大值； (3)当时，折痕为线段，设，试求t的最大值． 难点二 与面积、距离有关的最值 难点1：截距与三角形面积 直线过定点且与两坐标轴的正半轴相交时，设方程为（，），则，三角形面积，可用基本不等式求最值，并检验等号能否取到． 难点2：斜率与距离的几何意义 把看作点与点连线的斜率，把看作两点间的距离，画图找出取最值的位置． 难点精练 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（26-27高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，交轴、轴于，两点，为坐标原点，则的最小面积为_______． 6．（26-27高二上·辽宁锦州·阶段检测）已知平面内三点，，，为坐标原点． (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点， ①求面积的最小值及此时的方程； ②求的最小值及此时的方程． 基础达标 1．（26-27高二上·天津宁河·阶段检测）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知三点，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 5．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）直线与直线相交于点，且点为、的中点，则线段的中垂线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是__________． 7．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）直线：与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______． 8．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）若斜率为的直线经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积为________ 9．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 10．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 11．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 12．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 13．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知的顶点坐标分别是，，．求 (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求的面积． 14．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程. 能力进阶 一、选择题 1．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 3．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 5．（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 三、解答题 6．（26-27高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 7．（25-26高一下·上海·期末）已知直线 过点 且它的斜率为 ，直线 . (1)写出直线 的方程，并求当 时， 与 的夹角 ； (2)若 //，求实数 的值，并求此时直线 到直线 的距离 . 8．已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $