重难点03 与圆有关的最值与范围问题讲义- 2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学秋季班同步培优讲义（选择性必修第一册） 重难点03 与圆有关的最值与范围问题 题型一、斜率型最值与范围 【方法点拨】分式的几何含义：圆上动点与定点连线的斜率。 临界状态：直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，解出斜率的边界。 注意：存在竖直切线时，某一侧斜率无界。 【例1】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，然后根据可表示点与点连线斜率，利用数形结合法求解. 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离， 解得或， 又，所以， 当直线经过点时，， 综上 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 2.已知实数满足，则的取值范围_______. 【答案】 【详解】令，则，即 又方程可化为，表示圆心为，半径为的圆， 由题意可知圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得， 即的取值范围是， 故答案为：. 3. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】可得曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆，直线过定点，化出图形，数形结合可求. 【解析】由整理可得，且， 故曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆， 直线过定点， 由图可知，且， 则要使直线与曲线有两个交点，满足， 故k的取值范围是. 题型二、截距型最值与范围 【方法点拨】的最值，令，整理为 圆心到直线距离等于半径：；的变化等价于一组平行直线上下平移，临界位置为直线与圆相切。 【例2】实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1，则x﹣2y的取值范围是 　　． 【分析】根据题意可利用圆的参数方程，将所求的式子的最值问题转化为三角函数的最值问题求解即可． 【解答】解：因为实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1， 可设x＝cosθ，y＝2+sinθ，θ∈[0，2π]， 所以x﹣2y＝cosθ﹣2（2+sinθ）＝﹣2sinθ+cosθ﹣4＝sin（θ+φ）﹣4，其中tanφ＝﹣， 当sin（θ+φ）＝1时，（x﹣2y）有最大值为﹣4， 当sin（θ+φ）＝﹣1时，（x﹣2y）有最小值为﹣﹣4， 所以x﹣2y的取值范围是[﹣﹣4，﹣4]， 故答案为：[﹣﹣4，﹣4]． 【跟踪训练】 1.已知且，则的最大值为_______ 【答案】 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 2. 已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由，得， 它表示以为圆心，1为半径的圆． 设，即， 当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值． 由，得. 故的最小值为. 故答案为： 3.若实数满足，则的最大值是______ 【答案】 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 4.已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动． （1）求的取值范围； （2）求2x+y的取值范围． 【分析】（1）从斜率角度考虑，可看作圆x2+（y﹣1）2＝1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解； （2）设z＝2x+y，数形结合，利用点到直线距离公式求解出z的取值范围． 【解答】解：（1）可看作圆x2+（y﹣1）2＝1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率， 从图中可看出，直线所求的斜率位于直线AB与AC之间， 设直线为y﹣1＝k（x﹣2）， 则圆心到直线距离，解得：， 所以的取值范围为． （2）设z＝2x+y，z表示直线与y轴交点的纵坐标，则画出图象如下： 则圆心D（0，1）到直线z＝2x+y的距离，解得：或，故2x+y的取值范围为． 【点评】本题主要考查圆的方程及其应用，圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题． 题型三、距离的最值与范围 【方法点拨】1、圆上的点到定点的距离的最值问题：连接定点与圆心，连线与圆的两个交点就是取到最大、最小值的位置。 最大值：定点到圆心距离加上半径；最小值：定点到圆心距离减去半径（定点在圆内时为）。 定点在圆内时，最小值不是，要取；不要直接拿半径当做最值。 2、两圆上的动点的距离最值：两圆上各取一动点，两点距离最值由两圆心连线决定。 最大值：；最小值：（内含时为）。 3、圆上的点到直线的距离最值：先求圆心到定直线距离。圆上点到直线距离最大值，最小值；若直线穿过圆内部（），则最小值为。 【例3】设为圆上任意一点，点，则的最大值为______ 【答案】8 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【例4】已知，，则的最小值为______ 【答案】4 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 【例5】已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围. 【详解】的圆心为,半径， 的圆心为,半径， 圆心距， ∴两圆相离， ∴， 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知点到点的距离为，则的最小值是_______ 【答案】7 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 2.已知点是圆上任意一点，则的最大值为______ 【答案】36 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【解析】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 3.已知实数满足，则的取值范围为_____ 【答案】 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，． 4.已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为____ 【答案】5 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 5.已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为____ 【答案】3 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 6.已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为______ 【答案】7 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 7．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解. 【解析】如图所示，由圆，可得， 则圆心，半径， 设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形， 其中，则， 则，所以的最大值为. 故选：D. 8．已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】D 【分析】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的5倍，结合圆的性质即可求解. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，则， 可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 令， 可分别看作点到直线的距离， 则是点到直线的距离的2倍， 且点到直线的距离，则的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 题型四、周长与面积的最值与范围 【方法点拨】1、三角形、四边形面积。常见两类： ①底边固定，面积最值等价于动点到底边的高的最值；高用圆上点到直线距离； ②切线相关四边形：拆成直角三角形，利用切线长求面积。 2、解题步骤 ①固定底边：求圆上动点到底边所在直线距离的最大、最小值； ②，代入高的最值得到面积最值； ③切线四边形：拆为两个全等直角三角形，用切线长计算面积。 【例6】过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可. 【详解】由题意，， 四边形周长为， 当共线且按此顺序排列时，， 则四边形周长最大值为16， 故选：B. 【例7】已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 【跟踪训练】 1.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 【答案】 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】如图：    因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 2.已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______. 【答案】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 3.点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四边形的面积表示为，求得的最大值即可. 【详解】由圆为，可得圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径为， 连接，则在中，， 所以四边形的面积， 所以最大时，四边形面积的最大值， 因为， 所以， 所以四边形面积的最大值为. 故选：D. 题型五、数量积的最值与范围 【方法点拨】圆上动点，。 方法一：坐标法，设圆上点，展开数量积转化为表达式，用几何意义或三角换元； 方法二：向量极化恒等式，（是中点），转化为圆上点到定点距离的最值。 【例8】在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 【跟踪训练】 1.已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为 ，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 2.如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. 3.已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 题型六、坐标与角度的最值与范围 【方法点拨】1、圆上动点产生角；两类模型： ①在圆外：过作两条切线，切线时张角最大；离圆越远，张角越小。 ②定线段，圆上动点使得为定值：利用圆周角定理，找辅助圆，两圆有公共点求参数。 2、解题步骤 ①判断动点位置，分清角是张角还是圆周角； ②切线模型：切线位置取最大角，利用直角三角形三角函数求角度； ③定值角模型：构造辅助圆，两圆有交点，利用圆与圆位置关系列不等式。 【例9】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1与圆O：x2+y2＝1相切于点A，过点B（1，0）作直线l2垂直l1，垂足为M，则点M横坐标的最大值为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，写出切线方程，同时可以写出的方程，联立两直线方程解出交点的横坐标，根据点横坐标的取值范围可得点横坐标的最大值. 【解析】设，当时，， 可得．（时也满足）…①， 直线…② 由①②可得． ∵， ∴当时，取得最大值． 故答案为：. 【例10】过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得圆心为，半径为2，设与圆切于，根据圆的性质结合条件可得，进而即得. 【详解】由，可得圆心为，半径为2， 设与圆切于，则， 在中，，， 又到直线的距离为， 所以，， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 2.已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    3.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，只需到直线的距离小于或等于，再利用点到直线的距离公式列不等式求解． 【详解】解：圆，圆心为：，半径为， 当与圆相切，且直线时，最大， ∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于， ∴只需到直线的距离小于或等于， 故，解得， 4.已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图圆，在直线上， 若圆存在点，使得， 当在直线上运动，极端情况，与圆相切，. 在中，，所以. 所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点. 符合条件的点在线段之间. 所以或. 故的取值范围为. 故答案为： 5.已知，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在圆上，, 则， 如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点. 故选：C 题型七、长度型最值与范围 【例11】若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可. 【解析】由题意知，直线过圆心，即， 化简得在上， 如图，为使最小， 只需圆心与直线上的点的距离最小， 如图所示： 所以的最小值为， 故选：B 【例12】已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 【跟踪训练】 1.由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】/【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离， 结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以.故答案为：. 2.已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】先求得定点A的坐标，再去求点关于直线的对称点的坐标，再去求点到圆上一点N距离的最小值即为的最小值. 【解析】圆的圆心，半径 直线可化为， 令，解得，所以定点A的坐标为. 设点关于直线的对称点为， 由，解得，所以点B坐标为. 由线段垂直平分线的性质可知，， 所以 （当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立）， 所以的最小值为6. 故选：A 3.已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解. 【解析】不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.    故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 4.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，， ．点关于轴的对称点为， ，所以，， 故选：B． 题型八、点或方程中参数的最值与范围 【例13】若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用几何意义得到要想的取值要想与x，y无关，只需圆位于直线与之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出或，通过检验舍去不合要求的解集. 【解析】可看作点到直线与的距离之和， 要想的取值与x，y无关， 只需圆位于直线与之间， 所以圆心到的距离大于等于半径， 即，解得：或， 当时，与位于圆心的同一侧，不合要求，舍去； 当时，与位于圆心的两侧，满足题意. 故选：D 【跟踪训练】 1. 在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求P的轨迹方程为圆，利用两圆相有公共点求解. 【解析】设，由，得， 整理得，即， 即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2. 因为圆上存在点满足， 所以圆C与圆E有公共点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 2.已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等边的边长为2，以边的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，通过向量的坐标运算，将、用表示出来，然后利用辅助角公可求出的最大值 【解析】解：设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、， 以线段直径的圆的方程为， 设点， 则，， ， 由于， 则， 解得， 所以，， 因此，的最大值为， 故选:C. 1、 填空题 1.已知实数满足方程，求的最大值和最小值_______ 【答案】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 2．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 3.已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为_______ 【答案】 【解析】因为圆：经过点， ．又，所以， 可看成是直线在轴上的截距．如图所示， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得， 所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为． 4.如果实数、满足，那么的最大值是_______ 【答案】 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 5.实数满足，则的最小值为_______ 【答案】3 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【解析】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 6.已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 【答案】5 【分析】求出圆心坐标，与直线过定点坐标，再求两点间的距离，即可得解. 【解析】圆：的圆心为，半径， 直线：，即，令，解得， 所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 7.点在曲线上，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. 8.过作两条互相垂直的直线分别交圆于和，则四边形面积的最大值是____． 【答案】23 【分析】把面积最值转化为两条弦长乘积的最值，利用圆的弦长公式把两条弦长转换成圆心到两弦的距离，又因为两弦心距与存在数量关系，再利用基本不等式可求解. 【详解】圆的方程为，圆心为原点，半径. 点在圆内，圆心到点��的距离. 如图，过作交于点，过作交于点. 又因为，所以四边形为矩形，所以.    由于，所以. 在圆中，，所以. 同理可得. 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以. 所以. 9.过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______． 【答案】【解析】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为， 因为，， 所以点O到直线l的距离为，所以，解得． 故答案为： 10.已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是___________. 【答案】 【解析】因为，过点的直线不过圆心， 所以该直线的斜率存在，设其方程为，即， 所以圆心到该直线的距离为， 因为， 所以， 故答案为： 11.已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】因为，所以，，三点共线， 且点在线段外，因为点为线段的中点， 所以，即是直角三角形， 所以，由数量积的定义可得： ， 因为，所以，即， 12.已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为______ 【答案】 【解析】因为直线l：经过定点，圆O：的半径为， 当∠AOB为直角时，此时圆心O到直线l的距离，解得， 则当∠AOB为锐角时，． 又直线与圆相交于A，B两点，则，即， 所以或， 13.若圆关于直线对称，则过点作圆C的切线，切线长的最小值是________． 【答案】12 【解析】将圆C的方程化成标准方程为，圆心为，半径为9， 因为圆C关于直线对称，所以圆心位于该直线上， 将圆心坐标代入直线方程中，有, 即点在直线上， 设，过点D作圆C的切线，切点为E，则， 要使得切线长最短，则只需最短, 的最小值为点C到直线的距离， 此时，所以根据勾股定理，得, 即切线长的最小值是12， 故答案为：12 14.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 15.直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为______．（用区间表示） 【答案】 【分析】求出直线恒过的定点，易知直线过圆心时弦长最大，当圆心与定点连线与直线垂直时，弦长最小，由勾股定理得到最短弦长，即可得解 【详解】直线：， 令，所以直线恒过点， 因为，则点在圆C内部，直线与圆C相交， 圆心，半径，当截得弦长最长时，直线过圆心，即为直径长度6， 当圆心与点连线与直线垂直时，弦长最短，最短弦长为. 所以弦长的取值范围为． 故答案为： 二、选择题 16.已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 17.已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线整理可得，，即直线恒过， 同理可得，直线恒过， 又， 直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为， 圆心距， 两圆相离， ， 的取值范围是． 故选：B． 18.若实数x，y满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】由题意知点在圆上，则点到直线的距离为， 得，从而根据圆的几何性质可求范围. 【详解】设直线的方程为，由得， 由题意知点在圆上，故点到直线的距离为，则， 易知的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为， 所以，即，所以，即，故选：C. 19.已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 20.已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 21.在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，解得（舍去）或=4， 所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称， 由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或. 所以k的取值范围为 故选：A 22.已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设为的中点，由取得的最小值即可求解. 【详解】已知、是圆：上的两点，且， 点为坐标原点，由于，即为， 故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则， 结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上， 又，则， 而， 的最小值为， 则的最小值为. 故选：D 23.已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（  ） A．点P到圆O上的点的最小距离为 B．线段PA长度的最小值为 C．的最小值为3 D．存在点P，使得的面积为 【答案】C 【分析】根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答. 【解析】圆O：的圆心，半径，如图， 对于A，点O到直线l的距离，则点P到圆O上的点的最小距离为，A不正确； 对于B，由选项A知，，由切线长定理得，B不正确； 对于C，依题意，，在中，， 则， 由选项B知，，而函数在上单调递增，则当时，，C正确； 对于D，， ，由选项B知，显然对单调递增， 因此，当时，，D不正确. 故选：C 三、解答题 24.已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 25.已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 26.已知点P（x，y）是圆上的动点.求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； 【答案】（1），（2），（3） 【解析】（1）表示圆上的点到点的距离的平方，只要求出点到圆心的距离，而，从而可得答案 （2）设，则，则直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，从而求出的取值范围即为秘求； （3）设，即，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，从而求出的取值范围即为所求 【详解】解：圆可化为，则圆心，半径， （1）表示圆上的点到点的距离的平方， 因为， 所以，即， 所以， 所以的取值范围为； （2）设，则，则直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围为； （3）设，即，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得，所以的取值范围为 【点睛】方法点睛：此题考查与圆有关的最值问题，求解与圆有关的最值问题的两大规律： （1）借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合的思想求解， （2）建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的方法 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学秋季班同步培优讲义（选择性必修第一册） 重难点03 与圆有关的最值与范围问题 题型一、斜率型最值与范围 【方法点拨】分式的几何含义：圆上动点与定点连线的斜率。 临界状态：直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，解出斜率的边界。 注意：存在竖直切线时，某一侧斜率无界。 【例1】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 2.已知实数满足，则的取值范围_______. 3. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_____ 题型二、截距型最值与范围 【方法点拨】的最值，令，整理为 圆心到直线距离等于半径：；的变化等价于一组平行直线上下平移，临界位置为直线与圆相切。 【例2】实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1，则x﹣2y的取值范围是 　　． 【跟踪训练】 1.已知且，则的最大值为_______ 2. 已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 3.若实数满足，则的最大值是______ 4.已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动． （1）求的取值范围； （2）求2x+y的取值范围． 题型三、距离的最值与范围 【方法点拨】1、圆上的点到定点的距离的最值问题：连接定点与圆心，连线与圆的两个交点就是取到最大、最小值的位置。 最大值：定点到圆心距离加上半径；最小值：定点到圆心距离减去半径（定点在圆内时为）。 定点在圆内时，最小值不是，要取；不要直接拿半径当做最值。 2、两圆上的动点的距离最值：两圆上各取一动点，两点距离最值由两圆心连线决定。 最大值：；最小值：（内含时为）。 3、圆上的点到直线的距离最值：先求圆心到定直线距离。圆上点到直线距离最大值，最小值；若直线穿过圆内部（），则最小值为。 【例3】设为圆上任意一点，点，则的最大值为______ 【例4】已知，，则的最小值为______ 【例5】已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知点到点的距离为，则的最小值是_______ 2.已知点是圆上任意一点，则的最大值为______ 3.已知实数满足，则的取值范围为_____ 4.已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为____ 5.已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为____ 6.已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为______ 7．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 8．已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 题型四、周长与面积的最值与范围 【方法点拨】1、三角形、四边形面积。常见两类： ①底边固定，面积最值等价于动点到底边的高的最值；高用圆上点到直线距离； ②切线相关四边形：拆成直角三角形，利用切线长求面积。 2、解题步骤 ①固定底边：求圆上动点到底边所在直线距离的最大、最小值； ②，代入高的最值得到面积最值； ③切线四边形：拆为两个全等直角三角形，用切线长计算面积。 【例6】过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 【例7】已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【跟踪训练】 1.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 2.已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______. 3.点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型五、数量积的最值与范围 【方法点拨】圆上动点，。 方法一：坐标法，设圆上点，展开数量积转化为表达式，用几何意义或三角换元； 方法二：向量极化恒等式，（是中点），转化为圆上点到定点距离的最值。 【例8】在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B．C． D．3 2.如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 3.已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、坐标与角度的最值与范围 【方法点拨】1、圆上动点产生角；两类模型： ①在圆外：过作两条切线，切线时张角最大；离圆越远，张角越小。 ②定线段，圆上动点使得为定值：利用圆周角定理，找辅助圆，两圆有公共点求参数。 2、解题步骤 ①判断动点位置，分清角是张角还是圆周角； ②切线模型：切线位置取最大角，利用直角三角形三角函数求角度； ③定值角模型：构造辅助圆，两圆有交点，利用圆与圆位置关系列不等式。 【例9】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1与圆O：x2+y2＝1相切于点A，过点B（1，0）作直线l2垂直l1，垂足为M，则点M横坐标的最大值为 ． 【例10】过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为 ． 【跟踪训练】 1.已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 3.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 . 5.已知，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七、长度型最值与范围 【例11】若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【例12】已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【跟踪训练】 1.由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 2.已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 3.已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 4.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 题型八、点或方程中参数的最值与范围 【例13】若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【跟踪训练】 1. 在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 2.已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 1、 填空题 1.已知实数满足方程，求的最大值和最小值_______ 2．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 3.已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为_______ 4.如果实数、满足，那么的最大值是_______ 5.实数满足，则的最小值为_______ 6.已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 7.点在曲线上，则的取值范围是_______ 8.过作两条互相垂直的直线分别交圆于和，则四边形面积的最大值是____． 9.过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______． 10.已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是___________. 11.已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是________ 12.已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为______ 13.若圆关于直线对称，则过点作圆C的切线，切线长的最小值是________． 14.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 15.直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为______．（用区间表示） 二、选择题 16.已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 17.已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18.若实数x，y满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 19.已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 20.已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 21.在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22.已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 23.已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（  ） A．点P到圆O上的点的最小距离为 B．线段PA长度的最小值为 C．的最小值为3 D．存在点P，使得的面积为 三、解答题 24.已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 25.已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 26.已知点P（x，y）是圆上的动点.求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $