湖北黄梅县第一中学2026-2027学年上学期高三数学作业10.13

高三数学作业10.13 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为     A. B. C. D. 2.在平行四边形ABCD中，，，则的取值范围是      A. B. C. D. 3.在直角坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路已知某人从O沿OD走到D用了，从D沿着DC走到C用了若此人步行的速度始终为，则该扇形的半径的长度为    A. B. C. D. 6.如图所示，在同一平面内，点P在两平行直线的同侧，且点P到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为     A. 15 B. 13 C. 12 D. 10 7.已知点G是边长为3的正三角形ABC所在平面内的一点，满足，过点G的动直线分别交线段AB，BC于点E，F，则面积的最大值为     A. B. C. D. 8.已知方程R的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则     A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知复数，，其中a是实数，若是纯虚数，则(    ) A. B. C. D. 10.在中，，，O为内的一点，设，则下列说法正确的是      A. 若O为的重心，则 B. 若O为的内心，则 C. 若O为的外心，则 D. 若O为的垂心，则 11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的两个动点，且记，，下列说法正确的有(    ) A. 为定值 B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下．甲：；乙：；丙：；丁：在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则          . 13.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点如图，若P在上，且，，则的最大值为          . 14.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为          . 四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.如图，在直角梯形ABCD中，，，，BE与AC交于点F，点M在线段AD上． 用和表示，； 设，求的值； 设，证明： 16.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，， ①证明：； ②证明：存在点P使得并求出P的坐标； 过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标. 17.电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，左图，测得米，， 请据此算出电视塔AB的高度； 为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯图右，请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 18.如图，在梯形ABCD中，，，，E、F分别为DC、CB的中点，且，P是线段AB上的一个动点． 若，求mn的值； 求AD的长； 求的取值范围． 19.对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”. 设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围； 若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由； 已知、、均是向量组的“H向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示： 设，，， 则，，设， 因为，所以， 所以M在以C为圆心，3为半径的圆上， 则， 所以的最大值为 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量的数量积与模的关系，属于中档题. 利用得到；再两边平方后可得的表达式，然后可得范围. 【解答】 解：因为， 所以； 不妨设，则， 把两边同时平方可得，即， 由得， 则 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了平面向量的旋转和三角函数值的应用问题，是基础题． 把向量用坐标表示，利用向量的旋转即可求出结果． 【解答】 解：由题意知，向量， 将绕原点按逆时针方向旋转， 得， 则的坐标为 故选： 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查平面向量的基本定理，属于较难题. 设O是AB的中点，AP与OC交于点Q，，利用平面向量的线性运算求出，再利用三点共线得到，再利用相似即可得出. 【解答】 解：， 设O是AB的中点，AP与OC交于点Q，，  ，， ， 由Q，O，C三点共线可得， 即，过点P作交AB于M， 因为O是AB的中点，所以， 故，， 故， ，， 又因为AM为点A到直线PM的距离，AM取得最大值与最小值时，均与内切圆相切， 因为正三角形ABC的边长为2，所以正三角形ABC的内切圆半径为， 故， 即， ， 故选 5.【答案】B  【解析】设该扇形的半径为r m，连接CO，如图所示．  由题意得，，  在中，由余弦定理得，  即，  解得故选 6.【答案】A  【解析】解：由点P位于两平行直线同侧，且P到的距离分别为1，3，可得平行线间的距离为2； 以直线为x轴，以过点P且与直线垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示： 由题意可得点，直线的方程为，设点，点， 则，则， 因，则，得，或； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 综上可得，的最大值为 故选： 7.【答案】C  【解析】解：取AC的中点为M， 由， 则， 所以，① 设，，，，， 则，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则，得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为 故选： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复数集内解方程，属于综合题. 利用复数的四则运算法则，复数相等的条件及其几何意义求解即可. 【解答】 解：由已知得或， 当时，此方程的两个虚数根互为共轭复数， 设，，其中R， 将代入方程得， 整理得，则， 解得，即， 同理可得，当时，该方程的虚数根为， 由复数的几何意义可知，这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形， 则该等腰梯形的面积为，解得， 故选： 9.【答案】BC  【解析】复数，，R，则，因为是纯虚数，所以解得，因此，，又，，，，则，，，，，即有，，所以故选 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了向量数乘与共线向量，考查了等腰三角形的重心、内心、外心与垂心，属于较难题. 通过几何分析，分别得到向量与向量之间的关系即得. 【解答】 解：取BC中点D，连接AD，则的重心、内心、外心与垂心均在AD上. 对于取AC中点E，连接BE交AD于O，过E作BC的平行线交AD于F，则，所以，，所以，所以，即，故选项A正确； 对于设的内切圆半径为r，则，解得，所以，所以，，故选项B错误； 对于令的外接圆半径为R，则，解得，所以，所以，故选项C正确； 对于由题意可得，所以，所以，所以，所以，所以，故选项D正确. 故本题选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查平面向量的综合运用，将问题转化在平面直角坐标系中，通过向量方法求解是解题关键，考查转化思想及数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题． 以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，根据题意可得，然后再逐项分析判断即可． 【解答】 解：由题意，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，其中，， ， ，化简得； 对于A，由于， ， ，选项A正确； 对于B，，选项B错误； 对于C，在中，，则，选项C正确； 对于D，， ，解得或舍， ，当且仅当时取等号，选项D正确． 故选： 12.【答案】2  【解析】设R，则  对于甲：，则；  对于乙：，则；  对于丙：；  对于丁：，，则  甲、乙、丙中任意两个都可推出第三个正确，甲与丁矛盾，丙与丁矛盾，因为四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，所以乙和丁的陈述正确，即，，故 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量基本定理，考查向量的坐标运算，属于中档题. 建立坐标系，求出向量的坐标，利用向量的坐标运算求解得出结论. 【解答】 解：由题意，以BC的中点E为坐标原点，平行于AC，DB的直线分别为x轴，y轴，建立坐标系， 则， P  因为，， 所以， 所以， 因为，所以时，的最大值为， 所以的最大值为 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，利用向量的数量积求向量的模，属于较难题. 由可得的取值范围，再由向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可． 【解答】 解：，为单位向量，则，即， ，得， 令， ， ， ， ， ， 由，则，即，得， ，即 故答案为： 15.【答案】解：， ， ； 由得， 因为A，F，C三点共线，所以， 解得； 证明：由得，设，， 则， 又，不共线， 所以 由，得， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，故   【解析】本题考查平面向量基本定理的应用，平面向量共线定理与三点共线问题，以及向量的加减与数乘混合运算，二次函数的最值，属于较难题． 根据向量的线性运算，用和表示，； 由可得A，F，C三点共线，所以，解方程即可； 设，，根据平面向量基本定理得出方程组，得出x与y的关系，以及y的取值范围，结合二次函数的最值即可得证． 16.【答案】解：①，，，， ，，，， ， ， ； ②由知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心， ，，， ，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点， 点P的坐标为； 故存在点P，使得，点P的坐标为， 由两点间的距离公式可得，，，， 过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分， ， 设E的坐标为，则，， ，， 点E的坐标为  【解析】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. ①利用夹角公式可得；②由条件知点P为四边形ABCD外接圆的圆心，根据，可得，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，然后求出点P的坐标； 根据条件可得，然后设E的坐标为，根据，可得E的坐标． 17.【答案】解：在中，得， 在中，得， 因为， 所以， 解得 故电视塔AB的高度大约是150米． 由图可知，设米， 则 ， 当且仅当，即时等号成立． 显然且在单调递增， 即最大时最大. 答：当BF为米时，欣赏彩灯的视角最大．   【解析】本题考查利用三角形知识解决高度问题，考查两角差的正切公式，利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用直角三角形的知识求出， ，再根据即可得解； 由图可知  ，设米，则，利用基本不等式求最值即可. 18.【答案】解：连接BD，由分别为的中点， 则，， 由图可得， 则，所以； 由可知，， 由，则， ， 可得，解得； 设，则， ， 所以 ， 由，则   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：由题意可得：， 因为，则，， 又因为， 即， 整理得， 解得， 所以实数x的取值范围为； 存在，理由如下： 假设存在“H向量”， 因为， 且， 则由题意，只需要使得， 又因为， 则， 可得， 由， 即， 整理得， 解得， 又因为，即，6，10满足上式， 所以存在“H向量”，分别为，，满足题意； 证明：由题意得：，， 即，， 同理，， 三式相加并化简得：， 即，， 所以， 由，可得， 可得 ， 所以可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．  【解析】本题考查新定义问题，考查阅读理解的能力，属于难题． 根据题意分析可得，结合模长公式列式求解即可； 根据题意可得，，结合，可得，即可分析证明； 根据题意分析可得，求得，结合模长公式分析证明即可． 学科网（北京）股份有限公司 $