第5章 导数及其应用（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学单元自测 第5章 导数及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【解析】因为，所以，， 所以． 2．曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由切线方程可知，切点坐标为，切线斜率为1， 所以，得. 3．函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 【答案】B 【解析】已知函数，其定义域为. 其函数图象如下图： 根据图象易知：函数的单调减区间为，. 4．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（     ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得对恒成立，即. 令，则，显然当时， 所以在上单调递增，从而. 即的最大值为. 5．已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以. 由题意知且，所以， 又因为函数的最大值为，则. 6．工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则在上单调递减，而，， 可得，由零点存在性定理可得，故B正确. 7．函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 【答案】D 【解析】由导函数 的图象可知：当时，，当时，， 对于AC，是函数 的极小值点，无极大值点，故AC错误， 对于B，由导数图象可知，故 在 处切线的斜率大于0，B错误， 对于D, 由于时，，故 在区间 上单调递增,D正确. 8．已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 由题意可得，解得或， 若，则， 可知函数在定义域内单调递增，不存在极值，不符合题意； 若，则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极值，符合题意； 综上所述：，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 10．函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A．在上有三个零点 B．有最大值 C．在处取得极小值 D．既没有最大值也没有最小值 【答案】BC 【解析】，零点为、，只有两个，A错误. 令得. 在小于0、大于0、小于0， 故为极小值点，为极大值点，C正确； 且当时，从而为最大值，B正确； 函数有最大值而无最小值，D错误. 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】对于A，对求导， 可得． 令，解得或． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 因此，为极大值点，为极小值点，共2个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 即，且，因此． 因为在上单调递增，所以，B错误； 对于C，由函数的解析式， 可得，． 当时，，且在上单调递增， 因此在上有1个零点，加上处的零点，共2个零点，故C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若在区间上有最大值，则最大值只能为极大值， 故需满足①极大值点在区间内， 即，解得； ②区间右端点对应的函数值不大于，即． 由C分析，可得． ． 因此等价于，解得， 结合，得的取值范围为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数．在点处的切线与直线垂直，则=______. 【答案】 【解析】， ， 则函数在点处的切线斜率为， 将直线整理为斜截式，可知其斜率为， 由两直线垂直，得，即，解得. 13．函数在上的最大值是____. 【答案】 【解析】，则， 当时，，在上单调递增． 所以. 14．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________； 【答案】 【解析】令，，则的零点个数等于方程的实根个数． 由及，知当时，； 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且． 当趋于负无穷时，从负值一侧趋近于，故在上的值域为； 当趋于正无穷时，趋于正无穷，故在上的值域为． 因此，当时，方程在上述两个单调区间内各有且仅有一个实根，即有两个不同的零点． 当时，只有零点； 当时，没有零点； 当时，只有一个零点，故所求范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【解析】（1）由，求导得，令，解得，， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为.（6分） （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 又因，，， 则可得在上的最大值为，最小值为.（13分） 16．（15分） 已知函数． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，又是的极值点， 所以，即，解得， 当时，， 当时，；当时 所以是函数的极值点，故满足题意.（6分） （2）因为在上是增函数， 所以对任意，恒成立，即，， 即对任意的恒成立， 又易知在上是增函数，当时，， 所以要使对任意的恒成立，即. 当时，恒成立，当且仅当时取等号，所以满足题意， 综上，实数的取值范围.（15分） 17．（15分） 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 【解析】（1）设，代入，得，所以， 所以， 所以．（6分） （2）因为， 所以， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元．（15分） 18．（17分） 已知函数. (1)判断函数的单调性; (2)求函数的极值； (3)方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 【解析】（1）因为的定义域为，则， 令，解得或；令，解得； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减.（4分） （2）由（1）可知：函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为.（9分） （3）若方程在区间内有三个实数解， 等价于与在区间内有三个实数解， 因为，可知函数在，上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 由图可知：，所以实数的取值范围为.（17分） 19．（17分） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，且，证明：． 【解析】（1）当时，，定义域为， 对函数求导得，所以. 所以切线方程为，整理得.（4分） （2）函数定义域为，. 令. ①当时，，恒成立，，在上单调递增； ②当时，的两根为， 且. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.（9分） （3）证明：由题意得，满足， 即，且. . 要证，即证，即证. 设，则. 由可知，当时，单调递增，故，即， 因此.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第5章 导数及其应用·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C D B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）由，求导得，令，解得，， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为.（6分） （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 又因，，， 则可得在上的最大值为，最小值为.（13分） 16．【解析】（1）因为，又是的极值点， 所以，即，解得， 当时，， 当时，；当时 所以是函数的极值点，故满足题意.（6分） （2）因为在上是增函数， 所以对任意，恒成立，即，， 即对任意的恒成立， 又易知在上是增函数，当时，， 所以要使对任意的恒成立，即. 当时，恒成立，当且仅当时取等号，所以满足题意， 综上，实数的取值范围.（15分） 17．【解析】（1）设，代入，得，所以， 所以， 所以．（6分） （2）因为， 所以， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元．（15分） 18．【解析】（1）因为的定义域为，则， 令，解得或；令，解得； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减.（4分） （2）由（1）可知：函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为.（9分） （3）若方程在区间内有三个实数解， 等价于与在区间内有三个实数解， 因为，可知函数在，上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 由图可知：，所以实数的取值范围为.（17分） 19．【解析】（1）当时，，定义域为， 对函数求导得，所以. 所以切线方程为，整理得.（4分） （2）函数定义域为，. 令. ①当时，，恒成立，，在上单调递增； ②当时，的两根为， 且. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.（9分） （3）证明：由题意得，满足， 即，且. . 要证，即证，即证. 设，则. 由可知，当时，单调递增，故，即， 因此.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第5章 导数及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 2．曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 3．函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 4．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（     ）． A．0 B． C． D． 5．已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 6．工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（    ） A． B． C． D． 7．函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 8．已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A．在上有三个零点 B．有最大值 C．在处取得极小值 D．既没有最大值也没有最小值 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数．在点处的切线与直线垂直，则=______. 13．函数在上的最大值是____. 14．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值. 16．（15分） 已知函数． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 17．（15分） 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 18．（17分） 已知函数. (1)判断函数的单调性; (2)求函数的极值； (3)方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 19．（17分） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，且，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第5章 导数及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 2．曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 3．函数的单调减区间是（     ） A． B．， C． D． 4．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（     ）． A．0 B． C． D． 5．已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 6．工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（    ） A． B． C． D． 7．函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 8．已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A．在上有三个零点 B．有最大值 C．在处取得极小值 D．既没有最大值也没有最小值 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数．在点处的切线与直线垂直，则=______. 13．函数在上的最大值是____. 14．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值. 16．（15分） 已知函数． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 17．（15分） 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 18．（17分） 已知函数. (1)判断函数的单调性; (2)求函数的极值； (3)方程在区间内有三个实数解，求的取值范围. 19．（17分） 已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，且，证明：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $