章末检测（五） 导数及其应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 本单元卷聚焦导数及其应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面覆盖导数概念、计算及实际应用，适配高中数学单元复习，助力培养数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|导数概念（如第1题平均与瞬时变化率）、切线方程（第3题）|注重基础概念辨析，衔接教材核心内容| |多项选择|3/18|导数与函数性质（如第9题“巧值点”新定义）|通过创新情境考查概念迁移能力| |填空题|3/15|导数应用（如第14题“线性覆盖函数”）|结合新定义考查知识综合运用| |解答题|5/77|实际问题（第16题水渠设计）、不等式证明（第18题）|突出数学建模与逻辑推理，呼应高考命题趋势|

章末检测（五）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）=x2在区间［0，2］上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m=（　　） A．　 B.1　 C.2　 D． 2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）＋ln x，则f′（e）=（　　） A．e－1　　 B．－1　 　 C．－e－1　 　D．－e 3.曲线y=ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（　　） A．（1－e）x－y＋1=0　　 B．（1－e）x－y－1=0 C．（e－1）x－y＋1=0　 D．（e－1）x－y－1=0 4.函数f（x）=x2－ln x的单调递减区间是（　　） A． B． C．， D．， 5.函数f（x）=3x－4x3（x∈［0，1］）的最大值是（　　） A．1　　 B．　 　 C．0　 　D．－1 6.函数f（x）=x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x=－3处取得极值，则a=（　　） A．2　　 B．3　 　 C．4　 　D．5 7.已知y=f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=1，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（　　） A．（0，1） B．（－1，0）⋃（0，1） C．（1，＋∞） D．（－∞，－1）⋃（1，＋∞） 8.已知函数f（x）=bex－2－ln x＋ln b，若f（x）≥2恒成立，则实数b的取值范围为（　　） A．（－∞，e］　　 B．（0，1］ C．［e，＋∞）　 D．［1，＋∞） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）及其导函数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（　　） A．f（x）=x2　　 B．f（x）=e－x C．f（x）=ln x　 　D．f（x）= 10.设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y=xf′（x）的图象的一部分如图所示，则（　　） A．函数f（x）有极大值f（3） B．函数f（x）有极小值f（－） C．函数f（x）有极大值f（） D．函数f（x）有极小值f（－3） 11.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x），对任意的x∈R恒成立，则（　　） A．f（ln 2）＜2f（0）　　 B．f（2）＜e2f（0） C．f（ln 2）＞2f（0）　 　 D．f（2）＞e2f（0） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12.已知函数f（x）=ax－ln x的最小值为0，则a=　　　　． 13.当x＞0时，曲线y=x3－3x与曲线y=－（x－1）2＋a有两个交点，则a的取值范围是　　　　． 14.如果存在函数g（x）=ax＋b（a，b为常数），使得对函数f（x）定义域内任意的x都有f（x）≤g（x）成立，那么g（x）为函数f（x）的一个“线性覆盖函数”．已知f（x）=－2xln x－x2，g（x）=－ax＋3，若g（x）为函数f（x）在区间（0，＋∞）上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围为　　　　． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）=x＋aln x． （1）若a=－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值； （2）若a=1，求函数f（x）在［1，e］上的最大值和最小值． 16.（本小题满分15分）一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使湿周φ=AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少．求此时的高h和下底边长b． 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）=（x－1）•（ex－ax－a），a∈R． （1）若f（x）在x=1处取得极值，求a； （2）若当x≥0时，f（x）≥－a，求a的取值范围． 18.（本小题满分17分）已知函数f（x）=ln x＋－1. （1）求函数f（x）的极值； （2）证明：＋＋…＋＜ln 2（n∈N*）． 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）=x3＋ax2－a2x－1. （1）当a=－5时，过点（0，2）的曲线f（x）的切线有几条？并写出其中一条切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）有唯一零点，求实数a的取值范围． 答案 章末检测（五）　导数及其应用 1.B　函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于＝＝2，由f（x）＝x2，得f'（x）＝2x，所以f'（m）＝2m，因为函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，所以2＝2m，解得m＝1.故选B. 2.C　求导得f'（x）＝2f'（e）＋，把x＝e代入得f'（e）＝e－1＋2f'（e），解得f'（e）＝－e－1，故选C. 3.C　由于y'＝e－，所以y＝ex－ln x在点（1，e）处的导数为e－1，故曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1＝0. 4.A　∵f'（x）＝2x－＝，当0＜x≤时，f'（x）≤0，故f（x）的单调递减区间为. 5.A　f'（x）＝3－12x2，令f'（x）＝0，则x＝－（舍去）或x＝，f（0）＝0，f（1）＝－1，f＝－＝1，∴f（x）在[0，1]上的最大值为1. 6.D　f'（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，∴a＝5. 7.C　设g（x）＝f（x）－x，因为f（1）＝1，f'（x）＞1，所以g（1）＝f（1）－1＝0，g'（x）＝f'（x）－1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）＝0.所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，＋∞）.故选C. 8.C　由题意可知，bex－2－ln x＋ln b≥2恒成立，即eln b＋x－2≥ln x－ln b＋2恒成立，即eln b＋x－2＋ln b＋x－2≥ln x＋x＝eln x＋ln x恒成立，令g（x）＝ex＋x，则g'（x）＝ex＋1＞0，则g（x）在R上单调递增，因g（ln b＋x－2）≥g（ln x）恒成立，则ln b＋x－2≥ln x恒成立，即ln b≥ln x－x＋2恒成立，令h（x）＝ln x－x＋2，x＞0，则h'（x）＝－1＝，由h'（x）＞0得0＜x＜1；h'（x）＜0得x＞1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，则h（x）max＝h（1）＝1，则ln b≥1，得b≥e，则实数b的取值范围为[e，＋∞）.故选C. 9.ACD　A.f'（x）＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值点”；B.f'（x）＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；C.f'（x）＝，方程ln x＝有解，有“巧值点”；D.f'（x）＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值点”. 10.AD　当x＜－3时，y＝xf'（x）＞0，即f'（x）＜0；当－3＜x＜3时，f'（x）≥0；当x＞3时，f'（x）＜0.∴f（x）的极大值是f（3），f（x）的极小值是f（－3）. 11.AB　令g（x）＝，则g'（x）＝＜0，故g（x）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故g（ln 2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，所以f（ln 2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）. 12.　解析：由f（x）＝ax－ln x，得f'（x）＝a－＝，x＞0.若a≤0，则f（x）在（0，＋∞）上单调递减，无最小值，则a＞0，则f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（）＝1＋ln a＝0，解得a＝. 13.（－2，1）　解析：令x3－3x＝－（x－1）2＋a，则a＝x3－3x＋（x－1）2，设φ（x）＝x3－3x＋（x－1）2，求导得φ'（x）＝3x2＋2x－5＝（3x＋5）（x－1），令φ'（x）＝0，得x＝－或x＝1，因为x＞0，所以φ（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.因为曲线y＝x3－3x与y＝－（x－1）2＋a在（0，＋∞）上有两个不同的交点，所以直线y＝a与函数φ（x）在（0，＋∞）上的图象有两个交点.因为φ（0）＝1，φ（1）＝－2，当x→＋∞时，φ（x）→＋∞，所以a的取值范围为（－2，1）. 14.（－∞，4]　解析：由题意可知f（x）≤g（x）对任意的x∈（0，＋∞）恒成立，即－2xln x－x2≤－ax＋3对任意的x∈（0，＋∞）恒成立，从而得a≤2ln x＋x＋对任意的x∈（0，＋∞）恒成立，设h（x）＝2ln x＋x＋，x∈（0，＋∞），则h'（x）＝＋1－＝＝，x∈（0，＋∞），易知h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝4，所以a≤4. 15.解：（1）若a＝－1，则f（x）＝x－ln x， f'（x）＝1－＝（x＞0）， 当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0， 所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以函数f（x）的极小值为f（1）＝1，无极大值. （2）若a＝1，则f（x）＝x＋ln x， f'（x）＝1＋＝＞0（x∈[1，e]）， 所以函数f（x）在[1，e]上单调递增， 所以f（x）max＝f（e）＝e＋1，f（x）min＝f（1）＝1. 16.解：由梯形面积公式得 S＝（AD＋BC）·h（h＞0），　① 其中AD＝2DE＋BC，DE＝h，BC＝b， 所以AD＝h＋b，代入①中得 S＝（h＋2b）·h＝（h＋b）·h，　② CD＝＝h， 由于ABCD是等腰梯形，所以AB＝CD. 所以φ＝h×2＋b.　③ 由②得b＝－h，　④ 将④代入③中得φ＝h＋. 令φ'＝（h＋）'＝－＝0， 所以h＝，列表如下： h （0，） （，＋∞） φ' － 0 ＋ φ 减函数 极小值 增函数 由上表可知，当h＝时，φ取最小值，由④可得b＝. 综上，满足题意的h＝，b＝. 17.解：（1）由题意得f'（x）＝ex－ax－a＋（x－1）·（ex－a）＝x（ex－2a）. 因为f（x）在x＝1处取得极值， 所以f'（1）＝e－2a＝0，解得a＝， 经验证，当a＝时，f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意，故a＝. （2）f'（x）＝x（ex－2a）， 若a≤，则当x≥0时，ex－2a≥0，即f'（x）≥0恒成立， 所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f（0）＝a－1， 由a－1≥－a，得a≥，故a＝. 若a＞，令f'（x）＝0，得x＝0或x＝ln（2a）＞0， 当x∈（0，ln（2a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（ln（2a），＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 所以f（x）min＝f（ln（2a））＝－a[ln（2a）－1]2， 由－a[ln（2a）－1]2≥－a，可得[ln（2a）－1]2≤1，解得＜a≤. 综上，a的取值范围是［，］. 18.解：（1）函数f（x）＝ln x＋－1的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝－＝， 当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以函数f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝0，无极大值. （2）证明：由（1）知，f（x）≥0， 即ln x＋－1≥0，ln x≥1－＝， 因此ln（x＋1）≥，当且仅当x＝0时取等号， 令x＝（n∈N*），ln（＋1）＞，则ln＞，ln（n＋1）－ln n＞， 则ln（2n）－ln n＝ln（n＋1）－ln n＋ln（n＋2）－ln（n＋1）＋ln（n＋3）－ln（n＋2）＋…＋ln（2n）－ln（2n－1）＞＋＋＋…＋，而ln（2n）－ln n＝ln 2， 所以＋＋＋…＋＜ln 2. 19.解：（1）当a＝－5时，f（x）＝x3－5x2－25x－1， f'（x）＝3x2－10x－25， 设切点为（x0，y0）， 因为切线过点（0，2），所以切线斜率存在， 故可设切线方程为y＝kx＋2， 则 化简可得2（x0－1）－3＋3＝0， 即（x0－1）（2－3x0－3）＝0， 由2－3x0－3＝0的判别式Δ＝9＋24＞0知方程有2个不等实根且不为1， 故（x0－1）（2－3x0－3）＝0有3个不等的实根， 所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故k＝3－10－25＝－32， 所以切线方程为y＝－32x＋2. （2）f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（3x－a）（x＋a）， 当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，所以函数在R上单调递增； 当a＞0时，－a＜，所以当x＜－a或x＞时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当－a＜x＜时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当a＜0时，－a＞， 所以x＞－a或x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当＜x＜－a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 综上，a＝0时，f（x）在R上单调递增，无递减区间； 当a＞0时，f（x）在（－∞，－a），（，＋∞）上单调递增，在（－a，）上单调递减； 当a＜0时，f（x）在（－∞，），（－a，＋∞）上单调递增，在（，－a）上单调递减. （3）当a＝0时，f（x）＝x3－1，函数仅有1个零点1； 当a＞0时，由（2）知，f（x）的极大值为f（－a）， 且当x→＋∞时，f（x）→＋∞， 若f（x）有唯一零点，则f（－a）＝－a3＋a3＋a3－1＜0， 解得a＜1，故a∈（0，1）； 当a＜0时，由（2）知，f（x）的极大值为f（）， 同理，若f（x）有唯一零点，则f（）＝－a3－1＜0，解得a＞－， 故a∈（－，0）， 综上，实数a的取值范围为（－，1）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $