精品解析：四川南充市五星中学2026年秋季10月规范性练习九年级数学试卷

南充市五星中学2026年秋季10月规范性练习 九年级数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题(共10小题，满分40分，每小题4分) 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象是开口向上的抛物线，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 9 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 有最大值 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 9. 定义：如果一元二次方程满足，我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是阿凡达方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (共6小题，满分24分，每小题4分) 11. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 13. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 14. 已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 15. 已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 16. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中，则下列结论：；；；；方程（为常数）有实数根．其中正确的是______． 三．解答题(共9小题，满分86分) 17. 解下列方程： （1）； （2） 18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．求证：； 19. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． （1）求证：平分； （2）若，，求的度数． 20. 已知关于的二次函数为，其图象经过点． （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是_____． 21. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标． 23. 2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． （1）求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． （2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： （1）以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； （2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 25. 已知抛物线经过点，点，与x轴交于另一点C，顶点为D，连接． （１）求该抛物线的解析式； （２）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t， ①当点P在直线的下方运动时，求面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市五星中学2026年秋季10月规范性练习 九年级数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题(共10小题，满分40分，每小题4分) 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简可化简的方程，再根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为且是整式方程，据此逐一判断． 【详解】解：、方程中含，两个字母，若为未知数，则不是一元二次方程，不符合题意； 、方程中只含未知数，的最高次数为，是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、方程中的最高次数为，是一元一次方程，不符合题意； 、化简方程得，整理为，的最高次数为，一定不是一元二次方程，不符合题意． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由于所给的是二次函数的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程求得，然后根据即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 若函数的图象是开口向上的抛物线，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数图象是开口向上的抛物线， ∴函数为二次函数，需满足，且． 由得， 解得． 由得． ∴． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】当时，得到二次函数与轴的交点坐标，将一般式转化为顶点式，得到二次函数的对称轴和顶点坐标，进而根据二次函数的图象和性质判断各选项得出答案． 【详解】解：∵当时，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； ∵， ∴图象的对称轴为直线，故选项正确； ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故选项错误； ∵当时，有最大值，故选项错误． 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 8. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据矩形鸡舍的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又墙长， ， 即的长为， 故选：D． 9. 定义：如果一元二次方程满足，我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是阿凡达方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a-b+c=0，即b=a+c，代入b2-4ac=0得（a+c）2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系． 【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=0， 又∵a-b+c=0， ∴b=a+c， 代入b2-4ac=0得（a+c）2-4ac=0， 化简得（a-c）2=0， 所以a=c． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，关键是熟练掌握：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 10. 如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点，利用菱形的性质及直角三角形的性质即可求出点及点的坐标，再将点及点的坐标代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：作轴于点， 四边形为边长是2的菱形， ， 点A的坐标为， ， ， ， ， 又点在第二象限， 点C的坐标为， 把与代入，得， 解得， 的值为． 二、填空题 (共6小题，满分24分，每小题4分) 11. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n， 由图象可知当x＝1时，y1＞y2， ∴m＞n． 故答案为＞． 点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 13. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 14. 已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向下时，点到对称轴的水平距离越远，函数值越小的规律，计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 分别计算三个点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离大小关系为， ∴对应的函数值大小关系为． 15. 已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或2． 16. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中，则下列结论：；；；；方程（为常数）有实数根．其中正确的是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及与坐标轴交点位置，确定，，的符号及关系；利用和时的函数值符号确定的取值范围；将方程根的问题转化为函数图象交点问题进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，顶点坐标为，与轴交于正半轴， ∴，对称轴为直线，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，故错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵顶点坐标为， ∴， 把代入得， ∵抛物线与轴交点且， ∴当时，， ，即， 当时，， ，即， 联立，解得，故正确； 当时，方程，即方程，该方程显然有实数根； 当时，由方程可化为， 令，， ∴当时，， ∴直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根，故正确； 综上所述，正确的结论是． 三．解答题(共9小题，满分86分) 17. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程，即可作答． （2）先移项，再提取公因式，运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 则， 解得． 18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．求证：； 【答案】证明：连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，平行线的性质，连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证； 【详解】略 19. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． （1）求证：平分； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意，得，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 20. 已知关于的二次函数为，其图象经过点． （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）直线， （2） 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，确定b的值，然后把解析式化成顶点式，求解即可； （2）根据题意，得抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，且为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大，函数值越大，根据增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数为的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， ∴y的取值范围是． 21. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 解：由题意得 ，，， ， 故无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求证即可． （2）根据、是一元二次方程的两个根，则有，然后代入等式，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得 ， ， 整理得：， 解得：，， 故的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握判别式及根与系数的关系是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，则，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得，即 ； 当时，解得或，即或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． （1）求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． （2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 【答案】（1）10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为 （2）当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月销量乘的平方等于11月销量列方程求解； （2）设降价m元，以11月销量为基础表示12月销量，结合单个利润与总利润的关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设毛绒玩具每个降价m元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： （1）以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； （2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 【答案】（1）② （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）据倍根方程定义判断即可； （2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到； （3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①， ， ，， ∴方程不是倍根方程； ②， ，， ∴方程是倍根方程； 【小问2详解】 解：由得： ，， ∵方程是倍根方程， ∴或， ∴或， ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”， ∴根据题意得：， ∴， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此倍根方程为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 25. 已知抛物线经过点，点，与x轴交于另一点C，顶点为D，连接． （１）求该抛物线的解析式； （２）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t， ①当点P在直线的下方运动时，求面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①当时，的面积取得最大值，最大值为；②存在．满足条件的点P坐标为和 【解析】 【分析】（1）将点，点代入抛物线中求出a，b即可； （2）①过点P作轴于点E，交直线于点F，先求出直线BC的解析式，进而设P的坐标为，F的坐标为，从而求出的面积表达式即可求得最值；②分两种情况进行讨论，当点P在直线BC的上方时，当时，则和当点P在直线BC的下方时，设直线PB与CD交于点M，若，则，进而即可求得点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①如图①，过点P作轴于点E，交直线于点F 在抛物线中，令 则，解得， ∴点C的坐标为 由点和点可求得直线的解析式为 设点P的坐标为，由题意可知 则点F的坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴当时，的面积取得最大值，最大值为； ②存在．满足条件的点P坐标为和 ∵ ∴抛物线的顶点D的坐标为 由点和点可求得直线的解析式为 如图②，当点P在直线的上方时，当时，则 设直线的解析式为，把点的坐标代入，得 ∴直线的解析式为 由，解得，（舍去） 当时， ∴点P坐标为； 如图③，当点P在直线的下方时 设直线与交于点M，若，则 过点B作轴于点N，则点 ∴ ∴垂直平分线段 设直线与交于点G，则线段的中点G为．由点和点可求得解析式为 ∵直线，与直线交 ∴由，解得 ∴点M的坐标为 由点和点可求得直线的解析式为 ∴由，解得，（舍去） ∴点P坐标为； ∴综上所述，满足条件的点P坐标为和． 【点睛】本意主要考查了二次函数的几何综合，其中涉及到待定系数法求函数解析式，动点问题，几何图形面积的求法，最值问题等相关内容，熟练掌握二次函数的综合解题方法是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $